第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)的原理和條件

第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)的原理和條件

20世紀70年代中期，美國著名的運動家尼古拉斯塔普賽德（ahp）教授的tl薩aty提出了這一問題。這是對多指標系統(tǒng)的分類和評估的一般方法之一。隨著多元統(tǒng)計方法的普及與應用,主成分分析法(PrincipalComponentAnalysis,簡稱PCA)也成為構造系統(tǒng)排序評估指數(shù)的常用方法之一。文中有用第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)對系統(tǒng)進行評估的成功案例。本文介紹了Perron-Frobenius定理——AHP中特征根法排序和第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)的理論基礎,以及標準化變量的樣本主成分的性質;討論了第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)的原理和條件;最后研究了PCA和AHP的排序公式及其內在的、本質的聯(lián)系,并指出了PCA與AHP的適用情況,對正確選擇使用PCA與AHP評價方法具有參考意義。1處理的a定理1:設A為非負不可約陣,則:①A有最大的正特征根λmax。這里λmax是單根,其余特征根的模小于等于λmax。②λmax對應的A的特征向量可以由正分量組成,除差一個常數(shù)倍數(shù)外它是唯一的。λmax=maxx∈R+nminxi>0(Ax)ixi=minx∈R+nmaxxi>0(Ax)ixiλmax=maxx∈R+nminxi>0(Ax)ixi=minx∈R+nmaxxi>0(Ax)ixi其中R+n={x=(x1,x2,…,xn)T|xi≥0,x≠0}2主要成分分析及系統(tǒng)評估的應用2.1y的參數(shù)ls設p維隨機向量X=(X1,X2,…,Xp)T的觀測數(shù)據(jù)陣為Xn×p。Xn×p的相關陣R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0,相應的標準正交的特征向量為a1,a2,…,ap,用Y1,Y2,,…,Yp表示樣本主成分。其中Yk=aTkX(k=1,2,…,p),記A=(a1,a2,…,ap),Y=(Y1,Y2,…,Yp),則Y=ATX。性質1Y的協(xié)方差陣D(Y)=Λ=diag(λ1,λ2,…,λp)。性質2p∑i=1λi=p∑i=1pλi=p性質3主成分Yk與標準化變量Xi的相關系數(shù)ρ(Yk,Xi)為ρ(Yk,Xi)=√λkaikρ(Yk,Xi)=λk??√aik。其中ak=(a1k,a2k,…,apk)T是R對應于λk的單位正交特征向量,(k,i=1,2,…,p)。性質4p∑k=1ρ2(Yk?Xi)=p∑k=1λka2ik=1(i=1,2,…,p)性質5p∑i=1ρ2(Yk?Xi)=p∑i=1λka2ik=λk(k=1,2,…,p)2.2y1成為第一主成分在實際工作中會遇到多指標系統(tǒng)的排序評估問題,如對某類企業(yè)的經(jīng)濟效益進行評估比較,影響企業(yè)經(jīng)濟效益的指標有很多,如何更科學、更客觀地將一個多指標問題綜合為單個指數(shù)的形式。主成分分析方法為樣品排序或多指標系統(tǒng)評估提供可行的方法。如果只選一個綜合變量來代表原有的原始變量Xj(j=1,2,…,p),最佳的選擇便是第一主成分Y1。一方面由主成分的性質5有p∑i=1ρ2(Y1?Xi)=λ1,知Y1與原始標準化變量X1,X2,…,Xp的綜合相關程度最強;另一方面,由Var(Y1)=λ1知第一主成分Y1對應于數(shù)據(jù)變異最大的方向。這說明Y1是使數(shù)據(jù)信息損失最小、精度最高的一維綜合變量,因此Y1有可能成為構造系統(tǒng)排序評估指數(shù)。然而Y1能否真正成為一個尺度因子,還要看Y1與原變量Xj(j=1,2,…,p)的相關情況。如果Y1與所有Xj均正相關,Y1可以成為系統(tǒng)評估排序指數(shù)。檢驗Y1是否與Xj正相關,依據(jù)主成分的性質3知ρ(Y1,Xi)=√λ1ai1(i=1,2,?,p)。這里ai1是特征值λ1的特征向量a1的第i個分量,所以檢驗Y1是否與Xj正相關等價于檢驗ai1>0,即第一主成分的系數(shù)均為正值。根據(jù)代數(shù)學中的Perron-Frobenius定理可知下述結論成立。定理若協(xié)方差矩陣的所有元素均為非負數(shù),則第一主成分的系數(shù)均為正數(shù)。假定第一主成分中各變量的系數(shù)均為正數(shù),則由正交性一定可以推出其它主成分的系數(shù)是有正、負的,于是第一主成分便可解釋為尺度因子,而其它被選中的主成分可以解釋為不同的形狀因子。3相對標度的確定和ahp的排序(1)主成分分析法和AHP都有堅實的數(shù)學基礎,由兩兩比較測度(即判斷矩陣)導出排序測度(即排序權值)常采用特征根法。這與用第一主成分被作為排序評估指數(shù)有相同的數(shù)學基礎——Perron-Frobenius定理。(2)對p個指標n個待評估的樣本點v1,v2,…,vn的系統(tǒng)進行排序,如果已知觀測數(shù)據(jù)陣Xn×p,則:①將數(shù)據(jù)陣標準化(標準化后的數(shù)據(jù)陣仍記為Xn×p),計算標準化后數(shù)據(jù)陣Xn×p的協(xié)方差陣,這時樣本協(xié)方差陣就是樣本相關陣R;②求R的最大特征值λmax和相應的特征向量l=(l1,l2,…,lp)T;③若l>0,令:Y1=Xn×pl=(xij)n×pl=(Y1(1),Y1(2),?,Y1(n))Τ(1)由式(1)知:Y1(i)=p∑j=1xijlj(i=1,2,?,n)(2)然后按Y1(1),Y1(2),…,Y1(n)的大小進行評估。這實際上是用第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)對系統(tǒng)進行評估。用第一主成分作為系統(tǒng)評估指數(shù)對系統(tǒng)進行評估的精度為第一主成分的貢獻率λ1/p。由于社會經(jīng)濟系統(tǒng)許多問題的屬性常有相對的性質,因此不可能對這類屬性的測度確定一種絕對的標度。例如國家的安全就無法用絕對的標度去衡量,對它的估計只能在比較中確定。這提示我們可以在社會經(jīng)濟系統(tǒng)某些問題的測度上考慮一種相對標度。AHP提供了測度決策因素(尤其是社會經(jīng)濟因素)的基本方式。這種方式充分利用人的經(jīng)驗和判斷,采用相對標度形式,能夠統(tǒng)一有形與無形、可定量與不可定量的因素進行測度。對p個指標n個待評估的樣本點v1,v2,…,vn的系統(tǒng)進行排序或評估,如果對于指標n個待評估的樣本點不能用絕對的標度去衡量,便要采取相對標度,那末AHP法是最好的選擇之一。一般地,如果一個系統(tǒng)可以分解為如圖1的三個層次:最高層次(目標層)為b,第二層次(準則層)為{x1,x2,…,xp},第三層次(方案層)為{y1,y2,…,yn}。設已得到x對b的排序權值向量為:Wb(x)=(Wb(x1),Wb(x2),??Wb(xp))Τy對xi的權向量寫成矩陣:By=[Wx1(y1)Wx2(y1)?Wxp(y1)Wx1(y2)Wx2(y2)?Wxp(y2)????Wx1(yn)Wx2(yn)?Wxp(yn)]由此可以得到合成排序(層次總排序)為:Wb(y)=ByWb(x)=(Wb(y1),Wb(y2),?,Wb(yn))Τ(3)其中Wb(y)=(Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn))T是y對b的權向量。由式(3)知Wb(y)的分量為:Wb(yi)=p∑j=1Wxj(yi)Wb(xj)(i=1,2,?,n)(4)按Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn)的大小進行排序。下面分析采用第一主成分排序與采用AHP排序的結果。將式(2)與式(4)相比較,可知主成分分析與層次分析的實質是相同的。在系統(tǒng)綜合時,主成分分析的排序向量的第i個分量是第i個樣本點(或對象)的p個指標觀測值xij(j=1,2,…,p)的加權平均,權系數(shù)lj(j=1,2,…,p)是第一主成分的系數(shù),這實際上是第i個樣本點(或對象)的p個指標在絕對標度下取值的加權平均。而AHP的總排序向量的第i個分量是第i個樣本點(或對象)的p個指標在相對標度下取值的加權平均,權系數(shù)Wb(xj)(j=1,2,…,p)是指標層x對最高層b的排序權值向量的分量。由討論可知,要對一個系統(tǒng)中的樣本排序或進行評估,如果在絕對標度下可以得到樣本的p個指標的觀測值,且系統(tǒng)中的指標正相關,就可采用主成分分析法;如果對系統(tǒng)中樣本的屬性(或指標)不可能確定一種絕對的標度,如前面提到國家的安全就無法用絕對的標度去衡量,對它的估計只能在比較中確定,采取相對標度,該系統(tǒng)評估時可采用AHP法。使用AHP法需進行一致性檢驗。(3)心理學家GAMiller的實驗表明,在某種屬性上對若干不同物體進行辨別時,普通人能正確辨別的物體數(shù)目在5～9個之間。Miller認為,心理學上的極限應為9。當元素或方案的個數(shù)超過9的情況下,利用AHP時應將元素或方案分組,每組的方案不超過9個。當?shù)谝淮畏纸M之后,編組的個數(shù)超過9,再進行上層編組,使得從目標開始向下形成一個遞階樹狀層次結構。理論上已證明,在方案個數(shù)超過9的情況下,采取分組方式以形成遞階層次結構要比不分組的作法更有效。利用主成分分析時指標或方案的個數(shù)可以超過9。(4)層次分析法是解決指標之間的對比量化問題,并不解決指標的選擇問題。指標的選取憑借于人的定性判斷,而主成分的一個重要用途是用來選取指標,主成分評價所選取的主成分是原來指標的綜合,包含了原來指標的大部分信息。這從AHP與PCA兩種評價方法本身便可知這一點。4農村地區(qū)lyity綜合指數(shù)的建立例表1是我國16個地區(qū)農民在1982年支出情況的抽樣調查數(shù)據(jù),該資料反映了每人平均生活消費支出情況的六個指標。試根據(jù)調查資料利用主成分得分對16個地區(qū)的生活水平進行排序。調用SPSS11.5的FactorAnalysis菜單進行PCA分析,以59.412%的精度得到了評價的綜合指數(shù)(第一主成分Y1):Y1=1√3.565(0.907X1+0.871X2+0.083X3+0.881X4+0.914X5+0.605X6)按第一主成分得分由大到小對16個地區(qū)農民的生活水平排序為:上海(205.072),北京(166.928),浙江(137.517),天津(121.718),遼寧(118.836),江蘇(118.530),吉林(112.195),安徽(106.726),山東(103.412),福建(101.968),江西(96.479),內蒙(93.36),黑龍江(88.942),河南(83.616),河北(79.091),山西(76.654)。5