第11章 動量矩定理

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一、是非題(正確的在括號內(nèi)打“√〞、錯誤的打“×〞)

1.質(zhì)點系對某固定點(或固定軸)的動量矩，等于質(zhì)點系的動量對該點(或軸)的矩。(×)2.質(zhì)點系所受外力對某點(或軸)之矩恒為零，則質(zhì)點系對該點(或軸)的動量矩不變。(√)3.質(zhì)點系動量矩的變化與外力有關，與內(nèi)力無關。(√)4.質(zhì)點系對某點動量矩守恒，則對過該點的任意軸也守恒。(√)5.定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩，等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度之積。(×)6.在對所有平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量中，以對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為最大。(×)

ndLO7.質(zhì)點系對某點的動量矩定理??MO(Fie)中的點“O〞是固定點或質(zhì)點系的質(zhì)心。

dti?1(√)

8.如圖11.23所示，固結在轉(zhuǎn)盤上的均質(zhì)桿AB，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0?JA?mr2

1?ml2?mr2，式中m為AB桿的質(zhì)量。(×)3nd9.選中質(zhì)點系速度瞬心P為矩心時，動量矩定理一定有LP??MP(Fie)的形式，而

dti?1不需附加任何條件。(×)

10.平面運動剛體所受外力對質(zhì)心的主矩等于零，則剛體只能做平動；若所受外力的主矢等于零，剛體只能作繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。(×)

ArlBO?

圖11.23

二、填空題

1.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。

2.質(zhì)量為m，繞z軸轉(zhuǎn)動的旋繞半徑為?，則剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jz?m?2。3.質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積稱為質(zhì)點系的動量。

4.質(zhì)點系的動量對某點的矩隨時間的變化規(guī)律只與系統(tǒng)所受的外力對該點的矩有關，而與系統(tǒng)的內(nèi)力無關。

5.質(zhì)點系對某點動量矩守恒的條件是質(zhì)點系所受的全部外力對該點之矩的矢量和等于零，質(zhì)點系的動量對x軸的動量矩守恒的條件是質(zhì)點系所受的全部外力對x軸之矩的代數(shù)

·125·

·126·理論力學

和等于零。

6.質(zhì)點M質(zhì)量為m，在O如圖11.24所示。其運動方程為x?acoskt，xy平面內(nèi)運動，

y?bsinkt，其中a、b、k為常數(shù)。則質(zhì)點對原點O的動量矩為LO?abk。

7.如圖11.25所示，在鉛垂平面內(nèi)，均質(zhì)桿OA可繞點O自由轉(zhuǎn)動，均質(zhì)圓盤可繞點A自由轉(zhuǎn)動，桿OA由水平位置無初速釋放，已知桿長為l，質(zhì)量為m；圓盤半徑為R，質(zhì)

1量為M。則當桿轉(zhuǎn)動的角速度為?時，桿OA對點O的動量矩LO?ml2?；圓盤對點O

3的動量矩LO?Ml2?；圓盤對點A的動量矩LA?0。

yMOOAx

圖11.24圖11.25

8.均質(zhì)T形桿，OA=BA=AC=l，總質(zhì)量為m，繞O軸轉(zhuǎn)動的角速度為?，如圖11.26所示。則它對O軸的動量矩LO?ml2?。

9.半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤,在其上挖去一個半徑為r=R/2的圓孔，如圖11.27

13所示。則圓盤對圓心O的轉(zhuǎn)動慣量JO?mR2。

32O?B2lARlCOr圖11.26圖11.27

10.半徑同為R、重量同為G的兩個均質(zhì)定滑輪，一個輪上通過繩索懸一重量為Q的重物，另一輪上用一等于Q的力拉繩索，如圖11.28所示。則圖11.28(a)輪的角加速度?1?2Qg2Qg；圖11.28(b)輪的角加速度?2?。

(G?2Q)RGRRORO?1?2QQ(a)(b)

圖11.28

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第11章動量矩定理·127·三、選擇題

1.均質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，兩端用張緊的繩子系住，繞軸O轉(zhuǎn)動，如圖11.29所示。則桿AB對O軸的動量矩為A。

(A)

5213241ml?(B)ml?(C)ml2?(D)ml2?6123122.均質(zhì)圓環(huán)繞z軸轉(zhuǎn)動，在環(huán)中的A點處放一小球，如圖11.30所示。在微擾動下，小

球離開A點運動。不計摩擦力，則此系統(tǒng)運動過程中B。

(A)?不變，系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒(B)?改變，系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒(C)?不變，系統(tǒng)對z軸的動量矩不守恒(D)?改變，系統(tǒng)對z軸的動量矩不守恒

3.跨過滑輪的輪繩，一端系一重物，另一端有一與重物重量相等的猴子，從靜止開始以速度v向上爬，如圖11.31所示。若不計繩子和滑輪的質(zhì)量及摩擦，則重物的速度B。

(A)等于v，方向向下(B)等于v，方向向上(C)不等于v(D)重物不動

Olz?lrAAlB?圖11.29圖11.30

4.在圖11.32中，擺桿OA重量為G，對O軸轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧的剛性系數(shù)為k，桿在鉛垂位置時彈簧無變形。則桿微搖擺微分方程為D(設sin???)。

????ka2??Gb????ka2??Gb?(A)J?(B)J?????ka2??Gb?(D)?J????ka2??Gb?(C)?J?rObaO?Ckv??A??圖11.31圖11.32

5.在圖11.33中，一半徑為R。質(zhì)量為m的圓輪，在以下狀況下沿水平面作純滾動：(1)

·127·

·128·理論力學

輪上作用一順時針的力偶矩為M的力偶；(2)輪心作用一大小等于M/R的水平向右的力F。若不計滾動摩擦，二種狀況下C。

(A)輪心加速度相等，滑動摩擦力大小相等(B)輪心加速度不相等，滑動摩擦力大小相等(C)輪心加速度相等，滑動摩擦力大小不相等(D)輪心加速度不相等，滑動摩擦力大小不相等

6.如圖11.34所示組合體由均質(zhì)修長桿和均質(zhì)圓盤組成，均質(zhì)修長桿質(zhì)量為M1，長為L，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為M2，半徑為R，則剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為A。

M121L?M2R2?M2(R?L)232M1(B)J0?1L2?M2R2?M2(R?L)2

122M1(C)J0?1L2?M2R2?M2L2

32M1(D)J0?1L2?M2R2?M2R2

32(A)J0?OMRCRCLFRC

圖11.33圖11.34

四、計算題

11-1各均質(zhì)物體的質(zhì)量均為m，物體的尺寸及繞固定軸轉(zhuǎn)動角速度方向如圖11.35所示。試求各物體對通過點O并與圖面垂直的軸的動量矩。

OlO??ORC?RA(a)(b)圖11.35

(c)

解：（a）桿OA對通過點O并與圖面垂直的軸的動量矩為

·128·

第11章動量矩定理·129·1mR2?2（b）圓盤對通過點O并與圖面垂直的軸的動量矩為

1LO?JO??mR2?

2（c）圓盤對通過點O并與圖面垂直的軸的動量矩為

13LO?JO??(mR2?mR2)??mR2?

2211-2如圖11.36所示，鼓輪的質(zhì)量m1?1800kg，半徑r?0.25m，對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量LO?JO??JO?85.3kg?m2。現(xiàn)在鼓輪上作用力偶矩M0?7.43kN?m來提升質(zhì)量m2?2700kg的物體

A。試求物體A上升的加速度，繩索的拉力以及軸承O的反力。繩索的質(zhì)量和軸承的摩擦都忽略不計。

解：（1）選整體為研究對象，受力分析如下圖。應用質(zhì)點系動量矩定理，有(JO?m2r2)??M0?m2gr

解得鼓輪轉(zhuǎn)動的角加速度為

M?m2gr7430?2700?9.8?0.25??0??3.21(rad/s2)22JO?m2r85.3?2700?0.25物體A上升的加速度為

aA?r??0.8(m/s2)

（2）要求繩索的拉力，可選物體A為研究對象，受力分析如下圖。應用質(zhì)點運動微

分方程，有

m2a?FT?m2g

解得繩索的拉力為FT?m2g?m2a?2700?9.8?2700?0.8?28.62(kN)

（3）要求軸承O的反力，可選鼓輪為研究對象，受力分析如下圖。應用質(zhì)心運動定理，有