北師大版高中數(shù)學(xué)2-3第二章概率4二項(xiàng)分布導(dǎo)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§4二項(xiàng)分布自主整理進(jìn)行n次試驗(yàn),如果滿(mǎn)足以下條件：（1）每次試驗(yàn)只有________________相互________________的結(jié)果,可以分別稱(chēng)為“________________”和“________________”;（2）每次試驗(yàn)“成功"的概率均為p，“失敗"的概率均為_(kāi)_______________;（3）各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.設(shè)X表示這n次試驗(yàn)中________________次數(shù),則P（X=k）=________________(其中k可以取________________).一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為_(kāi)_________.高手筆記1。二項(xiàng)分布的識(shí)別策略(1）凡是所考慮的試驗(yàn)可以看作是一個(gè)只有兩個(gè)可能結(jié)果A和A的試驗(yàn)的n次獨(dú)立重復(fù)，則n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X就服從二項(xiàng)分布。(2）凡是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量一定只取有限個(gè)實(shí)數(shù)為其值,否則,隨機(jī)變量不服從二項(xiàng)分布。例如:某射手射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8,從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)X.分析:本例中的試驗(yàn)雖然滿(mǎn)足：①一次試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)，“擊中”和“不擊中”；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,且每次試驗(yàn)“擊中”發(fā)生的概率都是0.8.但是X的取值不是有限個(gè)，而是無(wú)限個(gè),即1,2，3，4，…,故本例中X不服從二項(xiàng)分布。事實(shí)上，X服從幾何分布,其分布列為P（X=k）=（1-p）k-1·p(k=1,2，3,…）。(3)凡服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在被看作觀察n次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)，此事件在每次觀察中出現(xiàn)的概率相等,否則不服從二項(xiàng)分布。例：(1)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件次品,采用不放回抽樣方法,用X表示n(n≤N—M且n≤M)次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).(2）有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件次品,采用放回抽樣方法，用Y表示n（n≤N-M且n≤M）次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).(1）中X不服從二項(xiàng)分布,而服從超幾何分布,P（X=k)=(k=0,1,2，…,n)（2)中Y服從二項(xiàng)分布，因?yàn)椤胺呕亍背闃幽鼙ＷC第一次、第二次、第三次、……抽取時(shí)抽到次品的概率為。2.對(duì)P(X=k）=C（1—p）n—k(k=0,1，2，…，n）的理解與認(rèn)識(shí)如果1次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率是p，那么A發(fā)生的概率就是1—p。由于在1次試驗(yàn)中事件A要么發(fā)生，要么不發(fā)生，所以在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次,則在另外的n—k次中A沒(méi)有發(fā)生，但A發(fā)生.因?yàn)镻（A）=p，P（A）=1—p,所以公式P(X=k)=Cpk（1-p）n-k恰好為［（1-p）+p]n展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)，這一點(diǎn)充分揭示了排列組合、二項(xiàng)式定理和概率三者之間的密切聯(lián)系。名師解惑1。“恰有k次發(fā)生”和“某指定的k次發(fā)生”的區(qū)別剖析:對(duì)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，恰有k次發(fā)生實(shí)質(zhì)上是k種彼此互斥事件的情況,其概率為Cpk(1—p）n—k,而某指定的k次發(fā)生是指某指定的試驗(yàn)要發(fā)生,另外的試驗(yàn)則不發(fā)生,其概率為pk(1—p）n—k。例:社會(huì)福利組織定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券,每券1元，中獎(jiǎng)率為p,某人購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券,如果沒(méi)有中獎(jiǎng),下次再繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)1張，直到中獎(jiǎng)為止，求此人購(gòu)買(mǎi)次數(shù)X的分布列。解：購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券次數(shù)X的可能取值為全體自然數(shù)，事件“X=k”表示“此人購(gòu)買(mǎi)第k張獎(jiǎng)券，前k—1張都沒(méi)有中獎(jiǎng)，而第k張中獎(jiǎng)”,由于各期中獎(jiǎng)與否是相互獨(dú)立的,因此P（X=k）=(1—p)k-1p(k=1,2，3，4，…)。X12…k……Pp（1—p）p…（1-p)k—1p……獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),每次試驗(yàn)都有兩種結(jié)果（事件A要么成功要么失?。⑶以谌魏我淮卧囼?yàn)中，事件發(fā)生的概率是均等的.在本題中中獎(jiǎng)之前是一定要發(fā)生“不中獎(jiǎng)”這一事件，因此為獨(dú)立事件，而不是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。這一點(diǎn)很易引起誤解，一定要區(qū)分開(kāi)。2.區(qū)別“事件A恰好發(fā)生k次”與“最后一次一定是事件A發(fā)生"的差異剖析：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,如果X表示事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則事件“A恰好發(fā)生k次”的概率是P（X=k)=Cpk（1—p)n-k，而“最后一次一定是事件A發(fā)生”暗含在前n—1次試驗(yàn)中事件A應(yīng)出現(xiàn)k—1次，此時(shí)事件A發(fā)生的概率為P（X=k）=Cpk—1（1—p）n—kp=Cpk（1-p)n—k.例:甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽,單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，比賽實(shí)行五局三勝制,X為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)，求X的概率分布列。解：?jiǎn)尉直荣惣钻?duì)勝乙隊(duì)的概率為0。6,則乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1-0。6=0.4,比賽三局結(jié)束有兩種情況：甲隊(duì)勝三局或乙隊(duì)勝三局,因而有P(X=3)=0.63+0。43=0。28;比賽四局結(jié)束有兩種情況:前三局中甲勝2局,第四局甲勝或前三局中乙勝2局，第四局乙勝,因而P(X=4）=C×0.62×0。4×0。6+C×0。42×0。6×0.4=0.3744;比賽五局結(jié)束有兩種情況:前四局中甲勝2局乙勝2局，第五局甲勝或乙勝,P(X=5)=C×0。62×0。42×0.6+C×0.42×0。62×0.4=0.3456.所以X的概率分布列為：X345P0.280.37440。3456在本題中，獲勝的隊(duì)都是最后一局要取得勝利,也就是說(shuō)事件A在最后一次要發(fā)生,前n-1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k—1次，因此在計(jì)算二項(xiàng)分布的概率時(shí)應(yīng)先計(jì)算前n—1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k—1次的概率Cpk-1（1—p）n-k,然后再乘上最后一次事件A發(fā)生的概率p即可.講練互動(dòng)【例1】在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次,每次抽1個(gè),求:（1)不放回抽樣時(shí),抽到次品數(shù)X的分布列;（2)放回抽樣時(shí)，抽到次品Y的分布列（保留三位有效數(shù)字）.分析：首先確定X和Y的可取值，然后求出每種取值下的隨機(jī)事件的概率，列出對(duì)應(yīng)表格即為分布列.解:（1)不放回抽樣，抽到的次品數(shù)X=0，1,2，而P(X=0)=，P（X=1)=，P(X=2)==,故X的分布列為：X012P(2）放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù)Y=0,1,2,3,而P(Y=0)=0。83=0.512,P(Y=1）=C（0.8）2×0。2=0.384，P（Y=2)=C·0.8×（0。2)2=0.096,P(Y=3）=0.23=0.008.故Y的分布列為：Y0123P0.5120.3840.0960.0088綠色通道:從本例中可以看出超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系：超幾何分布是不放回抽樣；二項(xiàng)分布是有放回抽樣。變式訓(xùn)練1.某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5％,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件,其中次品數(shù)X的概率分布是X012P解析：由題意“任意地連續(xù)取出2件”可認(rèn)為兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X—(2,0。05),∴X=0時(shí)，P0=C02（0。95）2=0.9025；X=1時(shí),P1=C0.95×0.05=0.095;X=2時(shí)，P2=C0。052=0。0025.則X的概率分布為：X012P0。90250。0950。0025答案：0。90250。0950。0025【例2】A、B兩位同學(xué)各有五張卡片,現(xiàn)以拋擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲,當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí),A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片,如果某人已贏得所有卡片，則游戲中止,求投硬幣的次數(shù)不大于7時(shí)游戲中止的概率。分析：本題首先要確定離散型隨機(jī)變量X的取值,然后利用互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率知識(shí)求解。解：設(shè)X表示游戲中止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n,則可得當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí),X=5；當(dāng)m=6，n=1或m=1,n=6時(shí),X=7.所以X的取值為5,7。P（X≤7）=P(X=5）+P（X=7）=2×()5+2C（）7=綠色通道:本題綜合考查了等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算，入手點(diǎn)高，綜合性強(qiáng)，運(yùn)用限制條件進(jìn)行分類(lèi)討論和枚舉X的取值是本題的一大特色。.變式訓(xùn)練2.甲、乙兩名圍棋手進(jìn)行比賽，已知每一局甲獲勝的概率是0。6，乙獲勝的概率是0.4，比賽時(shí)可采用三局兩勝或五局三勝制，問(wèn)：在哪一種比賽制度下,甲獲勝的可能性較大？解：在三局兩勝中,甲獲勝的情況有:兩局全勝;三局中前兩局一勝一負(fù)、第三局勝，則甲獲勝的概率為P1=0.62+C×0。6×0。4×0.6=0.648.在五局三勝中,甲獲勝的情況有：三局全勝;四局中前三局二勝一負(fù)，第四局勝;五局中前四局二勝二負(fù),第五局勝。則甲獲勝的概率為:P2=0。63+C0。62×0。4×0.6+C×0。62×0.42×0。6=0.68256.∵P1＜P2，∴五局三勝的情況下，甲獲勝的可能性大.【例3】某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0。5（相互獨(dú)立）。求：(1）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；（2）至少幾個(gè)人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0。3.分析：本題是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用相應(yīng)的概率公式列式計(jì)算.解：（1)至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率,等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率,即1—C（0.5)6—C(0.5)6-C（0.5)6=1—=。(2)至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為C(0.5)6+C（0.5)6+C（0.5)6=＞0。3.至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為（C+C）(0。5）6=＜0.3。因此，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0。3。綠色通道:若設(shè)6個(gè)員工中同時(shí)上網(wǎng)的人數(shù)為X,則X—B（6，)。變式訓(xùn)練3。設(shè)有兩門(mén)高射炮，每一門(mén)擊中飛機(jī)的概率是0。6,試求：（1）同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)的概率是多少?（2）若有一架飛機(jī)侵犯，要以0。99的概率擊中它,問(wèn)需多少門(mén)高射炮?解:（1）兩門(mén)高射炮同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)包括兩發(fā)炮彈中恰有一發(fā)命中或兩發(fā)都命中。設(shè)命中飛機(jī)為事件A，則P（A）=Cp(1-p）+Cp2=2×0。6×0。4+0.62=0.84，即兩門(mén)高射炮同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)的概率為0。84.（2)設(shè)需n門(mén)高射炮，同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈命中飛機(jī)的概率為0。99,則P（A)=Cp（1-p)n-1+Cp2（1—p）n—2+…+Cpn=1—p(）=1—Cp0(1-p）n=1—0.4n=0。99.即0。4n=0.01,∴n==5,即要以0.99的概率擊中敵機(jī)，需5門(mén)高射炮.【例4】將一枚骰子，任意地拋擲500次，問(wèn)1點(diǎn)出現(xiàn)（指1點(diǎn)的面向上）多少次的概率最大？分析：設(shè)500次中1點(diǎn)恰好出現(xiàn)X次，則X—B（500，），通過(guò)比較P（X=k)和P(X=k+1）的大小來(lái)判斷P(X=k)的單調(diào)性,進(jìn)而求出概率最大的X值.解：=.注意到k為正整數(shù)，由＞1，得k≤82,即當(dāng)k≤82時(shí),P(X=k）＜P（X=k+1）,這時(shí)P（X=k）是單調(diào)增加的.當(dāng)k≥83時(shí),P(X=k)是單調(diào)減小的，從而P（X=82）是最大的。故擲500次中1點(diǎn)出現(xiàn)82次的概率最大。綠色通道:本題巧妙地利用P(X=k）的單調(diào)性，求得P（X=k)的最大值。變式訓(xùn)練4.某小組有10臺(tái)各為7.5千瓦的機(jī)床，如果每臺(tái)機(jī)床的使用情況是相互獨(dú)立的,且每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)開(kāi)動(dòng)12分鐘，問(wèn)全部機(jī)床用電超過(guò)48千瓦的可能性有多大？解:由于每臺(tái)機(jī)床正在工作的概率是=，而且每臺(tái)機(jī)床有“工作”與“不工作”兩種情況，故某一時(shí)刻正在工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X—B（10，）且P（X=k）=C(）k（)10-k（k=0,1，2，…，10）.48千瓦可供6臺(tái)機(jī)床同時(shí)工作，“用電超過(guò)48千瓦"就意味著“有7臺(tái)或7臺(tái)以上的機(jī)床在工作”,這一事件的概率為P（X≥7）=P(X=7)+P(X=8）+P(X=9）+P(X=10）=C(）7(）3+C（)8(）2+C（)9（)1+C（）10()0=.【例5】有一批食品出廠前，要進(jìn)行五項(xiàng)指標(biāo)抽檢,如果有兩項(xiàng)指標(biāo)不合格，則這批食品不能出廠.已知每項(xiàng)指標(biāo)抽檢是相互獨(dú)立的，且每項(xiàng)抽檢出現(xiàn)不合格的概率是0。2.（1）求這批食品不能出廠的概率（保留三位有效數(shù)字);(2）求直至五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢,才能確定該批食品是否出廠的概率（保留三位有效數(shù)字）.分析：設(shè)五項(xiàng)指標(biāo)中抽檢時(shí)不合格的指標(biāo)數(shù)為X,則X-B（5，0。2)。解：(1)五項(xiàng)指標(biāo)抽檢，有2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)、5項(xiàng)指標(biāo)不合格,則這批食品均不能出廠，其對(duì)立事件是五項(xiàng)指標(biāo)抽檢，全合格或有一項(xiàng)指標(biāo)不合格，所以這批食品不能出廠的概率為P(X≥2)=1-P（X=0）—P(X=1）=1-［C(1-0.2）5+C0.21（1-0。2)4］=0。26272≈0。263.（2)直至五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢,才能確定該批產(chǎn)品是否出廠,即為：前4項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)中恰有一項(xiàng)指標(biāo)不合格，故所求的概率為p2=C0。21(1—0.2）3=0。4096≈0.410.綠色通道:(1）中利用了對(duì)立事件的概率來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算；(2）中的隨機(jī)變量雖然也服從二項(xiàng)分布，但參數(shù)發(fā)生了變化,由(1)中的n=5變?yōu)閚=4。變式訓(xùn)練5。某金工車(chē)間有10臺(tái)同類(lèi)型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)的功率為10千瓦,已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開(kāi)動(dòng)12分鐘，且開(kāi)動(dòng)與否是相對(duì)獨(dú)立的，現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張,供電部門(mén)只提供50千瓦的電力給這10臺(tái)機(jī)床，問(wèn)這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率為多大？解：設(shè)X表示某一時(shí)間同時(shí)工作的機(jī)床數(shù)，則P（X=k)=C()k()10-k，0≤k≤10，由于供電部門(mén)只提供50千瓦，所以同時(shí)工作的機(jī)床數(shù)不超過(guò)5臺(tái)時(shí),均能正常工作。所以能正常工作的概率:p=(X=k）=（）k·()10—k。教材鏈接［P49思考交流］下列隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎?如果服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)各是什么?(1)擲n枚相同的骰子，X為“1