遼寧省大連市大世界高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

遼寧省大連市大世界高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.22．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（）A. B.C. D.3．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元4．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個(gè)橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設(shè)橢圓的方程為，則下列滿足題意的方程為（）A. B.C. D.5．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過5分鐘的概率是（）A. B.C. D.6．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.7．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A. B.C. D.8．已知，是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，半焦距為c，過點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.10．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3611．已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為雙曲線上除A、B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.312．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將4名志愿者分配到3個(gè)不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）14．已知，，，…，為拋物線：上的點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)．在等比數(shù)列中，，，，…，．則的橫坐標(biāo)為__________15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為____________16．一個(gè)四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3處取得極值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]內(nèi)的最值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求.19．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.20．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點(diǎn)（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC21．（12分）如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點(diǎn)，試問直線上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點(diǎn)，，分別在邊，上，且，將它卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關(guān)于對稱軸對稱，于是.故選：A.2、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.3、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項(xiàng)公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進(jìn)借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進(jìn)貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解4、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長分別為，由矩形面積為48，得，對于選項(xiàng)B，D由于，不符合條件，不正確.對于選項(xiàng)A，，滿足題意.對于選項(xiàng)C，不正確.故選：A.5、B【解析】求出小明等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車的時(shí)長，即可計(jì)算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B6、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.7、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D8、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由，不妨設(shè)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以有，或舍去，故選：B9、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計(jì)算面積列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為O，中，，又點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D10、C【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)有，結(jié)合已知求值即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故選：C11、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則故選：C.12、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時(shí),常利用垂徑定理解決問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個(gè)不同的場館，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】將4人分到3個(gè)不同的體育場館，要求每個(gè)場館至少分配1人，則必須且只能有1個(gè)場館分得2人，其余的2個(gè)場館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對應(yīng)3個(gè)場館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：3614、【解析】利用在拋物線上可求得，結(jié)合等比數(shù)列的公比可求得，利用拋物線的焦半徑公式即可求得結(jié)果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線；數(shù)列為等比數(shù)列，又，，公比，，即，解得：，即的橫坐標(biāo)為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積.【詳解】由題可得，設(shè)，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.16、1【解析】由已知中一個(gè)四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個(gè)面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案【詳解】一個(gè)四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設(shè)除PC外的棱均為2，設(shè)P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當(dāng)P到平面ABC距離h最大時(shí)，三棱錐體積最大，故當(dāng)平面PAB⊥平面ABC時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個(gè)根為﹣1和3，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，（2）由（1）可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值.【詳解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由題意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的兩個(gè)根為﹣1和3，則，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【點(diǎn)睛】本題考查利用極值求函數(shù)的參數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題18、（1），（2）2【解析】（1）消參數(shù)即可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，從而曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，即可得的值.【小問1詳解】由，消去參數(shù)，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】將代入，整理得，則，令方程的兩個(gè)根為由韋達(dá)定理得，所以.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)連結(jié)，證明EF∥PD即可；(2)證明BD⊥平面PAC即可【小問1詳解】連結(jié)，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，又平面，面，平面【小問2詳解】∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，是菱形，，又，平面，又平面，∴平面平面﹒21、（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：因?yàn)闉閳A的一條直徑，且是圓上異于、的點(diǎn)，故，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過點(diǎn)，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由