晶體的宏觀對稱 點群 對稱型課件

第二章晶體的宏觀對稱

對稱的概念晶體對稱的特點對稱要素和對稱操作晶體的對稱定律對稱要素的組合點群和對稱型的概念及其推導(dǎo)晶體的分類對稱型的國際符號和圣佛利斯符號晶體的宏觀對稱點群對稱型2.5對稱要素的組合晶體學(xué)任意兩個對稱要素同時存在一個晶體上時，將產(chǎn)生新的對稱要素，且產(chǎn)生的個數(shù)一定。立方體上3L44L36L29PC

L66L27PC（綠柱石）晶體的宏觀對稱點群對稱型四、對稱要素的組合從上面的結(jié)果可以看出什么規(guī)律？◆對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律；◆當對稱要素共存時，也可導(dǎo)出新的對稱要素。晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型定理1：Ln

P//LnnP//（P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）逆定理：兩個P相交，其交線必為一Ln，其基轉(zhuǎn)角為P

夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個包含Ln的P。思考:兩個對稱面相交60°,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸?對稱要素組合定理：晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型對稱要素的組合晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型對稱要素組合定理：定理2：Ln

L2

LnnL2

（相鄰L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半）逆定理：

L2與L2相交，在其交點且垂直兩L2會產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4

L2

L44L2,L3

L2

L33L2晶體學(xué)思考:兩個L2相交30°,交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?晶體的宏觀對稱點群對稱型對稱要素的組合晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型定理3：Ln

P

LnP

C

（n為偶數(shù)）逆定理：

Ln

C

LnP

C

（n為偶數(shù)）

PCLnP

C（n為偶數(shù)）這一定理說明了Ln、P、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。對稱要素組合定理：晶體學(xué)正長石：L2+P⊥=L2PC。晶體的宏觀對稱點群對稱型

定理4：LinL2

=LinP//

Linn/2L2

n/2P//

（n為偶數(shù)）

LinnL2

nP//（n為奇數(shù)）

逆定理：如有一L2與一P斜交，P的法線與L2的交角為δ，則平行P且垂直于L2的直線必為一n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lni，n＝360°/2δ。對稱要素的組合晶體學(xué)例：四方四面體

Li42L22P黃銅礦

Li4+L2⊥(或P//)=Li4

2L22P晶體的宏觀對稱點群對稱型五、32個對稱型及其推導(dǎo)

晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對稱型或點群。一般來說，當強調(diào)對稱要素時稱對稱型，強調(diào)對稱操作時稱點群。為什么叫點群？因為對稱型中所有對稱操作可構(gòu)成一個群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且在操作時有一點不動，所以稱為點群。

根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點群）是非常有限的，僅有32個。那么，這32個對稱型怎么推導(dǎo)出來？

晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型1）對稱軸Ln單獨存在，可能的對稱型為L1；L2；L3；L4；L6

。2）對稱軸與對稱軸的組合。在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律Ln

L2→LnnL2，可能的對稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個的高次軸，這時就不屬于A類了。1.A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型3）對稱軸Ln與垂直它的對稱面P的組合。考慮到組合規(guī)律Ln（偶次）

P⊥→Ln（偶次）PC，則可能的對稱型為：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合。根據(jù)組合規(guī)律Ln

P∥→LnnP，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型5）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合。垂直Ln的P與包含Ln的P的交線必為垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥

L2⊥

=LnnL2（n+1）P（C）（C只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生），可能的對稱型為：（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC;（L33L24P=Li63L23P）;L44L25PC;L66L27PC。A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨存在?？赡艿膶ΨQ型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合。根據(jù)組合規(guī)律，當n為奇數(shù)時LinnL2nP，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當n為偶數(shù)時Lin(n/2)L2(n/2)P可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型

多個高次軸的組合。

1·原始式：四面體的對稱軸3L24L3

2·中心式：原始式與對稱中心組合3L24L33PC

3·軸式：原始式與對稱軸的組合3L44L36L2

4·面式：原始式與對稱面的組合3Li44L36P

5·軸面式：軸式的基礎(chǔ)上加對稱面3L44L36L29PC2.B類對稱型（高次軸多于一個）晶體學(xué)5個B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導(dǎo)。晶體的宏觀對稱點群對稱型這樣推導(dǎo)出來的對稱型共有32個，見下表。原始式軸式面式中心式軸面式倒轉(zhuǎn)原始式倒轉(zhuǎn)軸面式共同式LnLnnL2Ln

P(C)LnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2P

A

類L1Lin=

CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLi3=L3CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24PB類3L24L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶族（crystalcategory）的劃分

根據(jù)高次軸的有無及多少而將晶體劃分為三個晶族高級晶族（highercategory）中級晶族（intermediatecategory）低級晶族（lowercategory）問題:什么是高次軸?最多有多少高次軸?晶體學(xué)六、晶體的對稱分類及點群符號1、晶族、晶系、晶類的劃分晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體的對稱分類晶系（crystalsystem）的劃分 根據(jù)對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸軸次的高低以及它們數(shù)目的多少，總共劃分為如下七個晶系,分屬于三個晶族等軸晶系（isometricsystem）,又稱立方晶系（cubicsystem）六方晶系（hexagonalsystem）四方晶系（tetragonalsystem）三方晶系（trigonalsystem）斜方晶系（orthorhombicsystem）,亦稱正交晶系單斜晶系（monoclinicsystem）三斜晶系（triclinicsystem）晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體的對稱分類

表3－2

thebelowandnextpage晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體的宏觀對稱點群對稱型2.對稱型的國際符號

對稱型的國際符號很簡明，國際符號既表明了對稱要素的組合，也表明了對稱要素的方位。有以下幾個特點：

它不將所有的對稱要素都寫出來；并且可以表示出對稱要素的方向性；但它不容易看懂。

注：在國際符號中有1～3個序位，每一序位中的一個對稱要素符號可代表一定方向的、可以互相派生（或復(fù)制）的多個對稱要素，即凡是相同的對稱要素和可以推導(dǎo)（派生）出來的對稱要素都省略了。對稱軸以1，2，3，4，6表示;對稱面以m表示,旋轉(zhuǎn)反伸軸以1、2、3、4、6表示,若對稱面與對稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示（由此可以看出，對稱中心C就不必再表示出來了，因為偶次軸垂直對稱面定會產(chǎn)生一個C）。晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型

由于1=Li1=C，2=Li2=P=m，習(xí)慣用1代表對稱中心。m代表2。所謂的相同對稱要素，并不僅僅指同種對稱要素，而且必須是能夠借助于對稱型中其他對稱要素的變換作用而相互重復(fù)的同種對稱要素。例如：3m（L33P）對稱型中的三個P全部是相同對稱要素；但在4/mmm（L44L25PC）對稱型中，垂直于L4的P與其它4P都不相同，而且剩下的4個P之中，只有相互垂直的兩個P才構(gòu)成一組相同對稱要素，而以45°交角相鄰的任二P都不是相同的對稱要素。晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型

具體的寫法為:設(shè)置三個序號位(最多只有三個),每個序號位中規(guī)定了具體方向上(a,b,c,a+b,a+b

+c,2a+b)的對稱要素，對稱意義完全相同方向上的對稱要素，不管有多少,只寫一個就行了。

不同晶系中，這三個序號位所代表的方向完全不同，所以，不同晶系的國際符號的寫法也就完全不同，一定不要弄混淆。

每個晶系的國際符號寫法見表3-3(此表很重要，要熟記?。?/p>

對稱型的國際符號晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型點群的國際符號各個序位的方向4/mmm123晶系三個位所表示的方向（依次列出）等軸ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]單斜b

[010]

三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]112332表3-3：晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型符號順序：依不同晶系的規(guī)定排列符號位數(shù)：不超過三個符號表示：每個位分別表示晶體該方向上所存在的全部對稱要素。即：對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸垂直的對稱面當這兩類對稱要素在同一方向上同時存在時，則寫成分式的形式，例如：4/m；不存在對稱要素時，則將該位空著。對稱型國際符號的書寫晶體學(xué)舉例：L2PC的國際符號的寫法

L2PC屬于單斜晶系，只一個序位，代表方向b；第1方向（Y軸）上的對稱要素，一個L2和垂直的對稱面P，寫成2／m。第二、第三位空著。在此符號中沒有寫出c，它可根據(jù)組合定理推導(dǎo)出來。晶體的宏觀對稱點群對稱型舉例：L44L25PC的國際符號的寫法L44L25PC四方晶系，國際符號三個位的方向：c、a、（a+b）。第I方向（Z軸）c：L4（4）和垂直L4對稱面P（m），寫做4/m；第Ⅱ方向（X軸）a：一個L2（2）和垂直的對稱面P（m），寫做2/m；第Ⅲ位（X軸與Y軸的角平分線）（a+b）：一個L2（2）和垂直的對稱面P（m），寫做2/m。將三個位的符號按照序位排列：4/m2/m2/m。其余的沒有直接寫出來，但根據(jù)組合定理可由符號中寫出的對稱要素推導(dǎo)出來。實際上簡化成4/mmm仍然可以導(dǎo)出對稱型的全部對稱要素。所以，L44L25PC的國際符號通常都寫成4/mmm。

對稱型國際符號的書寫晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型點群國際符號應(yīng)用和舉例1.根據(jù)國際符號判斷所屬晶系①低級晶族對稱特點判斷：無2無m者為三斜晶系；2或m不多于1者為單斜晶系；2或m，多于1者為斜方晶系。②國際符號中有一個高次軸時，首位符號確定晶系。如首位是4或-4者為四方晶系；③國際符號中第二位是3或-3者為等軸晶系。

晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型2.由國際符號寫出點群（對稱型）首先確定所屬晶系；明確三個序位所代表方向上的對稱要素；運用組合定理推導(dǎo)出全部的對稱要素，之后組合成點群。例如：6／mmm首位6為六方晶系。國際符號的三個位c、a、（2a+b）。第I方向c，z軸，有L6和垂直L6的P，新產(chǎn)生對稱中心C；第II方向a，x軸，有包含L6的P；所以L66P，包含L6的P（第Ⅱ方向）與垂直L6的P（第1方向上）的交線，為垂直L6的L2，所以6L2；第Ⅲ方向上的P平行L6，與第II方向上重復(fù)，推導(dǎo)完畢。最后，將原有的、新產(chǎn)生的對稱要素組合在一起，便得到對稱型L66L27PC。

晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型3.對稱型的圣弗利斯符號對稱型的圣弗利斯符號，是根據(jù)對稱要素組合的幾種基本規(guī)律，用不同字母來表示對稱型中對稱要素的基本組合而寫出的。現(xiàn)分別加以說明。

Cn——表示Ln單獨存在，如L1、L2、L3、L4、L6分別以Cl，C2、C3、C4、C6表示。

Cnh——表示Ln×P⊥=LnP（C）。如P、L2PC、L3P(Li6)、L4PC、L6PC分別以Clh、C2h、C3h、

C4h、

C6h表示。晶體學(xué)晶體的宏觀對稱點群對稱型

Cnv——表示Ln×P∥=LnnP

，如L22P、L33P、L44P、L66P分別以C2v、C3v、C4v、C6v表示。

Dn——表示Ln×L2⊥=LnnL2，如L22L2

（3L2）、L33L2

、L44L2、L66L2分別以D2、D3、D4、D6表示。

Dnh——表示Ln×L2⊥×P⊥=LnnL2（n+1）P（C），如3L23PC、L33L24P（Li63L23P）、L44L25PC、L66L27PC分別以D2h、D3h、D4h、

D6h表示。

Dnd——表示對稱面不包含L2，而是處于平分L2的夾角的位置上，