高三北師大版文科數(shù)學(xué)第23講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)（二十三）［第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用]（時(shí)間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1（基礎(chǔ)熱身)1．為了測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，那么塔ABA．201＋eq\f(\r（3)，3）mB．201＋eq\f（\r(3）,2)mC．20(1＋eq\r（3）)mD．30m2．已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東10°D．南偏西10°3．某人向正東方向走xkm后,向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新的方向走了3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3)km，則x＝(）A.eq\r(3）B．2eq\r（3)C.eq\r（3）或2eq\r(3）D．3或eq\r（3)圖K23－14．［2012·粵西北九校聯(lián)考]如圖K23－1，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50m,∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后,就可以計(jì)算出A，BA．50eq\r（2)mB．50eq\r（3)mC．25eq\r(2）mD。eq\f(25\r（2），2)meq\a\vs4\al\co1(能力提升)圖K23－25．[2012·大連聯(lián)考]如圖K23－2，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔ABA．10mB．10eq\r(2)C．10eq\r(3)mD．10eq\r(6）m6．［2012·太原模擬］一艘海輪從A處出發(fā),以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行,30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．10eq\r（2）nmileB．10eq\r(3)nmileC．20eq\r（2)nmileD．20eq\r(3）nmile7．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2θ,繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為A．200mBC．400mD．100eq\r（3）8．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40A．0.5hB．1hC．1。5hD．2h9．某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°A．15mBC．10mD10．如圖K23－3，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,已知AB＝50m,BC＝120m,于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C圖K23－3圖K23－411．如圖K23－4,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD。已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，則該扇形的半徑為________12．［2012·臨沂二模]已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔的距離為2km，B船在燈塔C北偏西處40°，A，B兩船間的距離為3km，則13．△ABC中，A＝eq\f（π,3)，BC＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為________（用B表示)．14．(10分)[2013·松原質(zhì)檢］如圖K23－5，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β,CD＝s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB。圖K23－515．(13分)[2012·長(zhǎng)春質(zhì)檢］在某海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向，距離A處(eq\r（3）＋1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西15°的方向，距離A處eq\r（6)nmile的C處的緝私船奉命以5eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以5nmile/h的速度從B處按照北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以追上走私船，并指出緝私船航行方向．圖K23－6eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破）16．（12分)［2012·鄭州質(zhì)檢]鄭州市某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖K23－7所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC，△ABD，經(jīng)測(cè)量AD＝BD＝7m，BC＝5m，AC＝8（1）求AB的長(zhǎng)度;(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低(請(qǐng)說(shuō)明理由），最低造價(jià)為多少？(eq\r（3）＝1.732，eq\r（2）＝1.414）圖K23－7

課時(shí)作業(yè)(二十三）【基礎(chǔ)熱身】1．A［解析］如圖,h＝20tan30°＋20tan45°＝201＋eq\f(\r(3）,3)（m），故選A.2．B[解析］如圖，∠CBA＝eq\f(1，2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故選B。3．C［解析]作出圖形，由余弦定理有x2＋32－2×3×xcos30°＝3,得x2－3eq\r(3）x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3)。4．A［解析]在△ABC中，由正弦定理得eq\f（AC,sin30°)＝eq\f（AB，sin45°），AB＝50eq\r(2）.【能力提升】5．D[解析］在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°）＝eq\f（CD,sin30°），BC＝eq\f(CDsin45°，sin30°）＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)。6．A［解析］如圖所示，由已知條件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°,AB＝40×eq\f（1,2）＝20（nmile)．∴∠BCA＝45°?！嘤烧叶ɡ砜傻胑q\f(AB,sin45°)＝eq\f（BC，sin30°).∴BC＝eq\f(20×\f(1，2),\f(\r(2），2)）＝10eq\r（2)（nmile)．7．B［解析］如圖，△BED，△BDC為等腰三角形,BD＝ED＝600,BC＝DC＝200eq\r（3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋（200\r（3)）2－（200\r(3））2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r（3）,2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°。在Rt△ABC中,AB＝BC·sin4θ＝200eq\r（3)×eq\f(\r（3)，2）＝300，故選B.8．B［解析］設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化簡(jiǎn)得x2－40eq\r(2)x＋700＝0。設(shè)該方程的兩根為x1,x2，則|x1－x2|2＝（x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即CD＝20，故t＝eq\f（CD，v)＝eq\f（20,20）＝1。故選B.9．C［解析］如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°,則OC＝OA＝h。在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3）h.在△OCD中,∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即（eq\r(3）h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）．10.eq\f（16，65）[解析］作DM∥AC交BE于N，交CF于M。由題中數(shù)據(jù)可得，MD＝AC＝50＋120＝170，MF＝CF－CM＝CF－AD＝110－80＝30，DN＝AB＝50，EN＝BE－BN＝200－80＝120，所以DF＝eq\r(MF2＋MD2）＝eq\r(302＋1702）＝10eq\r（298）,DE＝eq\r（DN2＋EN2）＝eq\r（502＋1202）＝130,EF＝eq\r（（BE－FC）2＋BC2)＝eq\r(902＋1202）＝150.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2，2DE·EF）＝eq\f（1302＋1502－102×298，2×130×150)＝eq\f(16,65)。11．50eq\r(7)［解析]依題意得OD＝100m,CD＝150m,連接OC,易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos∠ODC即OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f（1,2),解得OC＝50eq\r（7）（m)．12.eq\r(6)－1[解析]由題意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2，AB＝3，設(shè)B船到燈塔的距離為x，即BC＝x。由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，即9＝4＋x2－2×2x－eq\f(1，2)，整理得x2＋2x－5＝0,解得x＝－1－eq\r(6)（舍去）或x＝－1＋eq\r（6）.13．6sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6））)＋3[解析］在△ABC中，由正弦定理得eq\f（AC,sinB）＝eq\f（3,\f（\r（3），2）），化簡(jiǎn)得AC＝2eq\r（3）sinB，eq\f（AB，sin\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(B＋\f(π，3))）)))＝eq\f(3，\f（\r（3)，2)）,化簡(jiǎn)得AB＝2eq\r(3）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－B)），所以三角形的周長(zhǎng)為：3＋AC＋AB＝3＋2eq\r（3)sinB＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－B）)＝3＋3eq\r(3）sinB＋3cosB＝6sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)）)＋3.14．解:在△BCD中，∠CBD＝π－α－β。由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD).所以BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sin(α＋β)）.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·tanθsinβ,sin（α＋β））。15．解：設(shè)緝私船至少經(jīng)過(guò)th可以在D點(diǎn)追上走私船，則CD＝5eq\r（3）t，BD＝5t.在△ABC中,由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos(15°＋30°)＝4,∴BC＝2，由正弦定理得，eq\f（BC，sin45°)＝eq\f（AC，sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f（\r（3）,2)，∠ABC＝60°，∴點(diǎn)B在C的正東方向上，∠DBC＝120°。又在△DBC中，由正弦定理得eq\f(CD,sin120°）＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴sin∠BCD＝eq\f（1,2)，∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC，即5t＝2，∴t＝eq\f(2，5)。又∠BCD＝30°，故緝私船至少經(jīng)過(guò)eq\f（2,5）h可以追上走私船，緝私船的航行方向?yàn)楸逼珫|60°。【難點(diǎn)突破】16．解：（1）在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC）＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5）.①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝eq\f（AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝