高三北師大版文科數(shù)學(xué)第32講 數(shù)列的綜合應(yīng)用 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)（三十二）［第32講數(shù)列的綜合應(yīng)用］(時(shí)間：45分鐘分值：100分）eq\a\vs4\al\co1（基礎(chǔ)熱身）1．[教材改編試題］已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（）A．－4B．－6C．－8D2．某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每天衰減3%，若此物質(zhì)衰減到其質(zhì)量的一半以下，則至少需要的天數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg0.97＝－0。0132，lg0。5＝－0.3010）（）A．22B．23C．24D．253．在數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),an＋1＝an＋2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＋1＝2an,則a6＝（）A．11B．17C．22D4．[2012·長春調(diào)研］各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an｝中，3a1，eq\f(1，2）a3，2a2成等差數(shù)列，則eq\f（a10＋a12，a8＋a10）＝()A．1B．3C．6Deq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知數(shù)列｛an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，則數(shù)列通項(xiàng)an＝（)A。eq\f（1,n)B。eq\f(2,n）C．－eq\f(1，n)D．－eq\f（2，n）6．［2012·紅河州檢測]若一等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1＝－5,其前11項(xiàng)的平均值為5，又若從中抽取一項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值為4,則抽去的是（)A．a(chǎn)8B．a(chǎn)9C．a(chǎn)10D．7．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝eq\f(3，5），an＝1－eq\f(1，an－1）(n≥2），則a2012＝（)A．－eq\f（1，2）B．－eq\f（2,3）C.eq\f（3,5）D。eq\f(5，2）8．［2012·開封模擬］已知數(shù)列｛an}滿足a1＝1,log2an＋1＝log2an＋1（n∈N*），它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1025的最小n值是（)A．9B．10C．11D9．[2012·鄭州檢測]已知函數(shù)f(x)＝eq\f（1,5）x5＋x3＋4x（x∈R)，數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，a3〉0，則f(a1)＋f（a3）＋f(a5）的值()A．恒為正數(shù)B．恒為負(fù)數(shù)C．恒為0D．可正可負(fù)10．某廠在2011年底制訂生產(chǎn)計(jì)劃，要使2021年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長率為________．11．已知數(shù)列｛an｝中，a201＝2，an＋an＋1＝0(n∈N＋），則a2012＝________．12．[2012·日照一中月考］已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，對于函數(shù)y＝lnx－x，當(dāng)x＝b時(shí)取到極大值c，則ad等于________．13．[2012·濟(jì)南模擬］觀察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49,……照此規(guī)律,第n個(gè)等式為________________________________________________________________________．14．（10分)［2012·紅河州檢測］已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)；（2)求數(shù)列{2an＋n}的前n項(xiàng)和Sn。15．（13分)[2013·惠州一中二調(diào)]設(shè)Sn為數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，對任意的n∈N＋，都有Sn＝（m＋1）－man（m為正常數(shù)）．(1）求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;（2）數(shù)列｛bn｝滿足b1＝2a1,bn＝eq\f（bn－1,1＋bn－1）（n≥2，n∈N＋），求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；（3）在滿足(2）的條件下，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(2n＋1，bn))）的前n項(xiàng)和Tn.eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破）16．(12分）［2012·江西八校聯(lián)考］已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正偶數(shù),且a5≥10，S15<255.（1）求通項(xiàng)an;（2）若數(shù)列a1,a3，ab1，ab2，ab3,…，abn，…，成等比數(shù)列，試找出所有的n∈N＊，使cn＝eq\f(bn－1，4)為正整數(shù)，說明你的理由．

課時(shí)作業(yè)(三十二）【基礎(chǔ)熱身】1．B［解析]∵a1a4＝aeq\o\al（2，3）,∴(a2－2)（a2＋4)＝（a2＋2)2.∴2a2＝－12?！郺2＝－6.2．B［解析]依題意有(1－3％)n<0.5，所以n〉eq\f（lg0.5，lg0。97）≈22.8。故選B。3．C［解析]逐項(xiàng)計(jì)算得該數(shù)列的前6項(xiàng)依次為：2,4，8，10，20，22，故選C.4．D［解析］由已知a3＝3a1＋2a2，于是q2＝3＋2q，由數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，解得q＝3，所以eq\f(a10＋a12，a8＋a10）＝q2＝9。故選D.【能力提升】5．C[解析］已知變形為eq\f(1，an＋1）－eq\f(1,an)＝－1,設(shè)bn＝eq\f（1,an)，則{bn}是等差數(shù)列，b1＝－1,bn＝－1＋（n－1）×(－1)＝－n，所以an＝－eq\f（1,n).故選C.6．D［解析]S11＝11a1＋eq\f(11×10，2)d＝11×5,可得d＝2.由S11－an＝40，得an＝15，即an＝a1＋(n－1）d＝15。∴n＝11.故選D。7．B［解析］由遞推公式得a2＝－eq\f(2,3)，a3＝eq\f(5，2)，a4＝eq\f（3，5),a5＝－eq\f（2,3)，…，所以數(shù)列｛an｝是周期數(shù)列，周期為3，于是a2012＝a2010＋2＝a2＝－eq\f（2，3).故選B。8．C[解析]∵log2an＋1＝log2an＋1，∴l(xiāng)og2eq\f（an＋1，an)＝1，∴eq\f（an＋1,an)＝2，所以，數(shù)列｛an}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列,所以Sn＝eq\f（1－2n,1－2）＝2n－1>1025，∴2n〉1026.又210<1026<211,∴n〉10,∴nmin＝11.故選C.9．A［解析]因?yàn)楹瘮?shù)f（x)＝eq\f（1，5)x5＋x3＋4x是奇函數(shù)且在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)，所以f(a3）>f(0)＝0，又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a5＝2a3〉0，∴a1〉－a5，所以f(a1）〉f(－a5)，即f(a1)＋f（a5)〉0，所以f(a1）＋f(a3）＋f(a5)>0。故選A.10.eq\r（10,4)－1［解析］令2011年底的產(chǎn)量為1，則2021年底的產(chǎn)量為4，則（1＋x)10＝4，所以x＝eq\r（10，4）－1.11．－2[解析］由已知得an＋1＝－an，所以a202＝－2,a203＝2，a204＝－2，…，可以看出，奇數(shù)項(xiàng)為2，偶數(shù)項(xiàng)為－2,所以a2012＝－2。12．－1[解析]對函數(shù)求導(dǎo)得y′＝eq\f(1，x）－1＝eq\f（1－x,x）（x∈(0,＋∞)),當(dāng)0〈x〈1時(shí)，y′>0，當(dāng)x〉1時(shí)，y′〈0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值為y＝ln1－1＝－1，所以b＝1,c＝－1。因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c,d成等比數(shù)列,所以ad＝bc＝－1.13．n＋（n＋1）＋(n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2[解析］依題意,等式的第一項(xiàng)依次為1，2，3，…，由此知等式的第n項(xiàng)為n；最后一項(xiàng)為1，4，7，10，…，由此知最后一項(xiàng)為3n－2.于是,第n個(gè)等式為n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2）＝(2n－1)2.故填n＋(n＋1）＋（n＋2）＋…＋(3n－2)＝(2n－1）2。14．解：(1）由題設(shè)知公差d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列得eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d，1＋2d），解得d＝1或d＝0（舍去），故an＝1＋（n－1）＝n。（2）由（1）知2an＝2n，所以數(shù)列{2an＋n}的前n項(xiàng)和Sn＝（2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋4＋…＋n)＝2n＋1＋eq\f（n（n＋1）,2）－2。15．解：(1）證明：當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝(m＋1）－ma1，解得a1＝1。當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man,即（1＋m）an＝man－1。又m為常數(shù)，且m〉0，∴eq\f（an,an－1）＝eq\f(m,1＋m）（n≥2)．∴數(shù)列｛an}是首項(xiàng)為1,公比為eq\f（m，1＋m)的等比數(shù)列．(2)b1＝2a1∵bn＝eq\f（bn－1,1＋bn－1），∴eq\f（1，bn)＝eq\f（1,bn－1)＋1，即eq\f（1，bn）－eq\f（1，bn－1)＝1(n≥2）．∴eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f（1，bn）））是首項(xiàng)為eq\f(1,2），公差為1的等差數(shù)列．∴eq\f（1,bn）＝eq\f(1,2）＋(n－1)·1＝eq\f(2n－1，2)，即bn＝eq\f（2,2n－1)(n∈N＊）．(3）由(2)知bn＝eq\f(2,2n－1)，則eq\f（2n＋1，bn）＝2n（2n－1）．所以Tn＝eq\f(22，b1）＋eq\f(23,b2)＋eq\f（24，b3)＋…＋eq\f(2n,bn－1）＋eq\f(2n＋1，bn）,即Tn＝21×1＋22×3＋23×5＋…＋2n－1×（2n－3)＋2n×(2n－1)，①則2Tn＝22×1＋23×3＋24×5＋…＋2n×(2n－3)＋2n＋1×(2n－1），②②－①得Tn＝2n＋1×（2n－1）－2－23－24－…－2n＋1,故Tn＝2n＋1×（2n－1)－2－eq\f(23（1－2n－1）,1－2)＝2n＋1×(2n－3)＋6?！倦y點(diǎn)突破】16．解:(1)因?yàn)镾15＝15a8，設(shè){an｝的公差為d，則有eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1＋4d≥10，①，a1＋7d〈17，②)）由①得－a1－4d≤－10，③②＋③有3d<7?d<eq\f(7，3)，所以d＝2。將d＝2代入①、②有a1≥2且a1〈3，所以a1＝2。故an＝2＋（n－1）×2,即an＝2n(n∈N＊）．（2）由(1）可知a1＝2，a3＝6，∴公比q＝eq\f（a3,a1）＝3，abn＝2·3（n＋2）－1＝2·3n＋1。又abn＝a1＋(bn－1）×2＝2bn，∴2·3n＋1＝2bn，即bn＝3n＋1，故cn＝eq\f（3n＋1－1，4）.此