布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤引理、BS公式（后篇）

布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤引理、BS公式（后篇）1前文回顧本系列的前篇從布朗運(yùn)動(dòng)出發(fā)，介紹了布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)并解釋了為什么使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)是被投資界廣泛接受的。此外，前文給出了伊藤引理的最基本形式，它是隨機(jī)分析的基礎(chǔ)，為分析衍生品定價(jià)提供了堅(jiān)實(shí)的武器。作為本系列的后篇，本文將從擴(kuò)展伊藤引理出發(fā)，并用它求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)，然后推導(dǎo)BS微分方程以及BS公式（也稱(chēng)Black-Scholes-Merton公式）。在介紹BS公式時(shí)，論述的重點(diǎn)會(huì)放在衍生品定價(jià)中的一個(gè)核心方法，即風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論。此外，我們會(huì)花一定的筆墨來(lái)解釋BS公式中的兩個(gè)核心要素（即N(d_1)和N(d_2)的業(yè)務(wù)含義），明白它們對(duì)理解BS公式至關(guān)重要。閱讀提示：下文中將涉及大量數(shù)學(xué)公式，對(duì)閱讀體驗(yàn)造成影響，我們表示歉意。我們當(dāng)然不是在寫(xiě)學(xué)術(shù)論文，但是必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)對(duì)于理解期權(quán)定價(jià)模型至關(guān)重要。如果你對(duì)閱讀大數(shù)學(xué)實(shí)在不感興趣，可以跳過(guò)第二、三兩節(jié)，從第四節(jié)開(kāi)始看。在那之前，先來(lái)點(diǎn)輕松的，看看Black，Scholes和Merton三位大咖長(zhǎng)什么樣子。Scholes和Merton因在衍生品定價(jià)方面的杰出工作于1997年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Black沒(méi)有在列的原因是他不幸地于1995年去世，而諾貝爾獎(jiǎng)不追授給頒獎(jiǎng)時(shí)已故6個(gè)月以上的學(xué)者。2伊藤引理的一般形式在前篇中，我們介紹了帶有漂移（drift）和擴(kuò)散（diffusion）的布朗運(yùn)動(dòng)有如下形式的隨機(jī)微分方程。在這里，μ和σ被假定為常數(shù)。更一般的，漂移和擴(kuò)散的參數(shù)均可以是隨機(jī)過(guò)程X(t)以及時(shí)間t的函數(shù)。假設(shè)我們令a(X(t),t)和b(X(t),t)表示漂移和擴(kuò)散參數(shù)（則在上面這個(gè)例子中，a(X(t),t)=μ而b(X(t),t)=σ）。我們稱(chēng)滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程（stochasticdifferentialequation，或SDE）的隨機(jī)過(guò)程為伊藤漂移擴(kuò)散過(guò)程（Itōdrift-diffusionprocess，下稱(chēng)伊藤過(guò)程）：令f(X(t),t)為X(t)的二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（并對(duì)t一階可導(dǎo)），由伊藤引理可知（省略自變量以簡(jiǎn)化表達(dá)）：將dX=a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dB帶入上式，并且略去所有比dt更高階的小量，最終可以得到伊藤引理的一般形式：由f的SDE可知，作為X和t的函數(shù)，f本身也是一個(gè)伊藤過(guò)程。更重要的是，伊藤引理說(shuō)明，df表達(dá)式右側(cè)的布朗運(yùn)動(dòng)dB恰恰正是dX表達(dá)式中的那個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。換句話(huà)說(shuō)，在f和X的隨機(jī)性由同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)決定，而非兩個(gè)獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)。這一點(diǎn)在下文中推導(dǎo)BS微分方程時(shí)至關(guān)重要。下面我們就利用伊藤引理求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)。3幾何布朗運(yùn)動(dòng)求解對(duì)于股票價(jià)格S，可以用滿(mǎn)足如下SDE的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述。上式中μ是股票的期望年收益率，σ是股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。顯然，這是一個(gè)伊藤過(guò)程（a=μS，b=σS）。為了求解S，令f=lnS（S的自然對(duì)數(shù)）并對(duì)df使用伊藤引理（注：為了保持符號(hào)和前篇的一致性，我們用S而非X代表股票價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程）得到lnS的SDE：這個(gè)式子說(shuō)明，lnS是一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，它的漂移率為μ–0.5σ^2，波動(dòng)率為σ。由布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知，在任何時(shí)間T，lnS的變化符合正態(tài)分布：如果一個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)滿(mǎn)足正態(tài)分布，我們說(shuō)這個(gè)隨機(jī)變量本身滿(mǎn)足對(duì)數(shù)正態(tài)分布（lognormaldistribution）。因此，當(dāng)我們用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)波動(dòng)時(shí)，得到的股價(jià)滿(mǎn)足對(duì)數(shù)正態(tài)分布。通過(guò)對(duì)lnS的SDE兩邊積分，再對(duì)等式兩邊取指數(shù)，便可很容易的寫(xiě)出股價(jià)隨時(shí)間變化的解析式：上式乍一看好像有悖于我們的直覺(jué)。我們已知股票的年收益率期望為μ。但在上式中，拋開(kāi)B(T)帶來(lái)的隨機(jī)性不談而僅看時(shí)間T的系數(shù)，股價(jià)的增長(zhǎng)速率是μ–0.5σ^2而不是μ。這意味著什么呢？數(shù)值μ–0.5σ^2又是否是什么別的收益率呢？正確答案是，μ–0.5σ^2恰恰是股票每年的連續(xù)復(fù)利期望收益率。利用股價(jià)S的對(duì)數(shù)正態(tài)特性可以說(shuō)明這一點(diǎn)。假設(shè)x代表股票每年的連續(xù)復(fù)利收益率。因此有S(T)=S(0)e^(xT)，或x=(1/T)×(lnS(T)-lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T)–lnS(0)符合均值為(μ–0.5σ^2)T、方差為(σ^2)T的正態(tài)分布。因此每年的連續(xù)復(fù)利收益率x也是正態(tài)分布并且滿(mǎn)足：直觀(guān)比較股票的每年期望收益率μ和每年連續(xù)復(fù)利期望收益率μ–0.5σ^2，后者考慮了波動(dòng)σ，它們的區(qū)別就是年收益率序列算數(shù)平均值和幾何平均值的區(qū)別。來(lái)看一個(gè)例子。假設(shè)某股票在過(guò)去五年的年收益率分別為15%，20%，30%，-20%和25%。這個(gè)序列的算數(shù)平均值為14%，因此該股票的每年的（樣本）期望收益率μ=14%。再來(lái)看看它每年連續(xù)復(fù)利期望收益率是多少。假設(shè)我們?cè)谖迥昵盎?00塊買(mǎi)入它并持有5年，那么在5年后我們的回報(bào)是100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25=179.4。因此每年（樣本）連續(xù)復(fù)利期望收益率（即這個(gè)收益率序列的幾何平均值）為12.4%，顯然它低于算數(shù)平均值。4Black-Scholes微分方程本節(jié)介紹Black-Scholes期權(quán)定價(jià)微分方程。細(xì)心如你一定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，“隨機(jī)”兩個(gè)字被拿掉了，而B(niǎo)S方程是一個(gè)微分方程，說(shuō)明它不再具備任何隨機(jī)因素，這是喜聞樂(lè)見(jiàn)的，因?yàn)闆](méi)有多少人喜歡隨機(jī)性。讀完本節(jié)你就會(huì)明白這是為什么。首先來(lái)看推導(dǎo)BS微分方程時(shí)用到的假設(shè)：期權(quán)的行權(quán)方式為歐式，即只有到期日才可以行權(quán)。股票的價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即股票的不確定性滿(mǎn)足對(duì)數(shù)正態(tài)分布?？梢宰隹兆C券，且證券可以被分割（如可以買(mǎi)賣(mài)半手股票）。市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在交易費(fèi)用和稅收。在期權(quán)期限內(nèi)，標(biāo)的股票不支付股息。在期權(quán)期限內(nèi)，標(biāo)的股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σ已知且保持不變。市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。標(biāo)的資產(chǎn)交易是連續(xù)的（如股票市場(chǎng)始終開(kāi)市）。短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（由r表示）為常數(shù)并已知。顯然，有些假設(shè)在真實(shí)交易中是不可能出現(xiàn)的，但是在確定期權(quán)的理論價(jià)值時(shí)，這些假設(shè)還是普遍被接受的。當(dāng)然，自BS模型發(fā)明以來(lái)，衍生品定價(jià)也有了長(zhǎng)足的發(fā)展。很多改進(jìn)的模型相繼被提出，用于修正BS模型中各種假設(shè)。下面以歐式看漲期權(quán)（Europeancalloption）為例介紹BS微分方程。令C代表歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，顯然它是標(biāo)的股票價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)，記為C(S,t)。對(duì)C運(yùn)用伊藤引理可得：讓我們來(lái)看看在一個(gè)微小的時(shí)間區(qū)間Δt內(nèi)股價(jià)S和期權(quán)價(jià)格C如何變化。為此，將S和C的隨機(jī)微分方程離散化：在本文第二節(jié)我們?cè)?jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，一個(gè)伊藤過(guò)程X的函數(shù)f也是一個(gè)伊藤過(guò)程，且f和X這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程中的不確定性來(lái)自同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可知，股價(jià)和期權(quán)價(jià)格的變化，即ΔC和ΔS中，的布朗運(yùn)動(dòng)也是同一個(gè)。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)是非常關(guān)鍵的，因?yàn)槲覀兛梢允褂霉善焙推跈?quán)來(lái)構(gòu)建一個(gè)投資組合把這個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)完全干掉?？紤]下面這個(gè)投資組合：該組合做空1份期權(quán)，并做多?C/?S份股票。將期權(quán)和股票的權(quán)重帶入ΔC和ΔS可以很容易的驗(yàn)證，布朗運(yùn)動(dòng)ΔB被完美的對(duì)沖掉了。這種構(gòu)建投資組合以消除隨機(jī)性的方法稱(chēng)為Delta對(duì)沖。用P表示該投資組合的價(jià)值，則它在時(shí)間Δt內(nèi)的變化為：不出意外，ΔB不存在于ΔP的表達(dá)式中，它僅有一個(gè)時(shí)間項(xiàng)。換句話(huà)說(shuō)，通過(guò)賣(mài)出1份期權(quán)并同時(shí)買(mǎi)入?C/?S份股票，我們?cè)讦內(nèi)完美的消除了任何風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的市場(chǎng)中，該投資組合在Δt內(nèi)的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，即ΔP=rPΔt。將ΔP和P=-C+(?C/?S)S帶入該式并進(jìn)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就推導(dǎo)出：這便是大名鼎鼎的Black-Scholes微分方程。由于我們通過(guò)Delta對(duì)沖消除了隨機(jī)性，該方程中沒(méi)有任何隨機(jī)變量，所以它是一個(gè)一般的（偏）微分方程，而非隨機(jī)微分方程。求解這個(gè)微分方程需要給定的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，它的邊界條件為當(dāng)時(shí)間t=T（行權(quán)時(shí)刻）時(shí)，期權(quán)的價(jià)格C必須滿(mǎn)足C=max(S(T)-K,0)，這里K是行權(quán)價(jià)格。最后引用衍生品研究領(lǐng)域的著名學(xué)者約翰·赫爾（JohnC.Hull）在其著作Options,Futures,andOtherDerivatives中的一段話(huà)來(lái)總結(jié)BS微分方程的推導(dǎo)過(guò)程：'我們之所以可以建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)交易組合是由于股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格均受同一種不定性的影響：股票價(jià)格的變動(dòng)。在任意一段短時(shí)期內(nèi)，衍生產(chǎn)品的價(jià)格與股票價(jià)格有完美的相關(guān)性；在建立了一個(gè)適當(dāng)?shù)墓善迸c期權(quán)的組合后，由股票所帶來(lái)的盈虧總是可以抵消由期權(quán)所帶來(lái)的盈虧。這樣一來(lái)，交易組合在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)的價(jià)值變化也就成為已知而沒(méi)有不確定性。'5風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論其實(shí)，使用給定的邊界條件求解BS微分方程就可以得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C。然而，在衍生品的定價(jià)理論中還有一個(gè)非常重要的方法怎么強(qiáng)調(diào)都不為過(guò)，這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論（Risk-neutralvaluation）。使用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)可以繞過(guò)求解BS微分方程，更加方便的求出C。僅僅看到這里也許你會(huì)誤解：既然不用求解BS微分方程，那么費(fèi)那么大力氣推導(dǎo)它干什么？然而，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論恰恰來(lái)自BS微分方程中的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：'BS微分方程不涉及任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量，在方程中出現(xiàn)的變量包括股票的當(dāng)前價(jià)格、時(shí)間、股票價(jià)格波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，而它們均與風(fēng)險(xiǎn)選擇無(wú)關(guān)。'從BS微分方程可知，標(biāo)的股票的期望收益率μ沒(méi)有出現(xiàn)在方程中。顯然，μ與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)：投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，對(duì)任何股票，相應(yīng)的μ也會(huì)越高。可喜的是在采用Delta對(duì)沖構(gòu)投資組合并推導(dǎo)BS微分方程時(shí)，μ也正好消失了！我們通過(guò)Delta對(duì)沖想要干掉布朗運(yùn)動(dòng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不僅布朗運(yùn)動(dòng)被干掉了，連μ也一起被拿下了，這真是一個(gè)happyaccident！既然風(fēng)險(xiǎn)偏好在方程中不出現(xiàn)，那么意味著它的任何取值都不會(huì)影響方程的解。因此，在計(jì)算C時(shí)，我們可以使用任意的風(fēng)險(xiǎn)偏好，那么顯然我們想要一個(gè)最簡(jiǎn)單的，即假設(shè)所有的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。對(duì)于任何衍生品定價(jià)來(lái)說(shuō)，我們無(wú)外乎需要知道以下兩點(diǎn)：在到期（行權(quán)日）時(shí)它的期望價(jià)格。由于衍生品的價(jià)格是標(biāo)的價(jià)格的函數(shù)，這顯然和標(biāo)的投資品的收益率參數(shù)μ有關(guān)。我們需要根據(jù)衍生品在行權(quán)日的價(jià)格推算出在當(dāng)前時(shí)刻該衍生品的價(jià)格，這意味著必須知道適合于該衍生品的折現(xiàn)率。不幸的是，在現(xiàn)實(shí)世界中，這兩個(gè)參數(shù)都很難被準(zhǔn)確的估計(jì)。因此能夠假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性對(duì)于衍生品定價(jià)至關(guān)重要。正如約翰·赫爾所論述的那樣：'在每一個(gè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有投資的回報(bào)率期望均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，原因是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，不需要額外的回報(bào)而使他們承受風(fēng)險(xiǎn)。另外，在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值都可以通過(guò)對(duì)其期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)來(lái)得到。因此，在假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)能夠大大地簡(jiǎn)化對(duì)衍生產(chǎn)品的分析。'利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理對(duì)衍生品定價(jià)的過(guò)程如下：假定標(biāo)的資產(chǎn)的收益率期望為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（即假定μ=r）；計(jì)算衍生產(chǎn)品到期時(shí)收益的期望；用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r對(duì)衍生品收益期望進(jìn)行貼現(xiàn)。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是獲得期權(quán)定價(jià)公式的一個(gè)人為工具，但它所得到的解不僅在這個(gè)虛擬的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中成立，而且在所有世界里（自然也就包括真是世界）也都是成立的。當(dāng)我們從風(fēng)險(xiǎn)中性世界換到風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界時(shí)，兩件事會(huì)發(fā)生：股票價(jià)格變動(dòng)的增長(zhǎng)率期望以及對(duì)衍生產(chǎn)品收益所必需使用的貼現(xiàn)率都將會(huì)變化，而這兩種變化剛好相互抵消。下一節(jié)將會(huì)介紹如何使用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論求解歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C。6Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式歐式看漲期權(quán)在行權(quán)日T的期望價(jià)值為E[max(S(T)–K,0)]，其中S(T)為股票在T時(shí)刻的價(jià)格，K為行權(quán)價(jià)。股價(jià)S滿(mǎn)足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論下，S的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，且期權(quán)的折現(xiàn)率也等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r。因此，期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格C為：根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以方便的計(jì)算出E[max(S(T)–K,0)]，從而得到著名的BS期權(quán)定價(jià)公式（同時(shí)給出看漲期權(quán)價(jià)格C和看跌期權(quán)價(jià)格P）：根據(jù)公式并利用計(jì)算機(jī)，只要輸入五個(gè)變量——當(dāng)前股價(jià)S(0)、行權(quán)價(jià)格K，行權(quán)日距現(xiàn)在的時(shí)間（按年計(jì)算）T，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，以及標(biāo)的股票的年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差σ——就可以計(jì)算出歐式看漲（看跌）期權(quán)的理論價(jià)格，這無(wú)疑非常方便。然而我們需要了解定價(jià)公式背后的含義。對(duì)于任何一個(gè)期權(quán)，在定價(jià)時(shí)有兩個(gè)不確定性需要考慮：這個(gè)期權(quán)到行權(quán)日到底是不是實(shí)值期權(quán)（in-the-money），就是到底有沒(méi)有行權(quán)的價(jià)值（比如說(shuō)我買(mǎi)了一個(gè)看漲期權(quán)，但是行權(quán)日股價(jià)S低于K，那么這個(gè)期權(quán)就沒(méi)有價(jià)值）。如果行權(quán)了，那么我們的（期望）收益到底能有多少（比如行權(quán)價(jià)是100，在行權(quán)日股價(jià)是110，那么每股我們能賺10塊；而如果股價(jià)是120，則每股我們能賺20塊）。這兩個(gè)不確定性恰恰就對(duì)應(yīng)著由BS定價(jià)公式中的N(d_1)和N(d_2)。以看漲期權(quán)為例來(lái)解釋這一點(diǎn)。在BS公式中，N代表了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)，因此N(d_1)和N(d_2)就代表兩個(gè)概率。其中，N(d_2)正是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被行權(quán)的概率，即prob(S(T)>K)。因此C公式中的第二項(xiàng)Ke^(-rT)N(d_2)就是在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)、考慮了行權(quán)概率后的行權(quán)費(fèi)的期望（即為了在T購(gòu)買(mǎi)股票所需的期望成本）。至于N(d_1)，對(duì)于它的理解遠(yuǎn)沒(méi)有N(d_2)直觀(guān)。先拋開(kāi)N(d_1)不說(shuō)，而來(lái)看看C公式中的第一項(xiàng)。由于第二項(xiàng)代表著期望成本，那么第一項(xiàng)必然代表著行權(quán)得到股票的期望收益。由于只有S(T)大于K才會(huì)行權(quán)，因此在行權(quán)的條件下，股票在行權(quán)時(shí)的期望價(jià)值是一個(gè)條件期望，即E[S(T)|S(T)>K]。用這個(gè)條件期望乘以行權(quán)的概率N(d_2)再把它折現(xiàn)到今天（乘以e^(-rT)）就應(yīng)該是C公式中的第一項(xiàng)。因此有：將S(0)替換為e^(-rT)E[S(T)]并帶入上式可知：由于E[S(T)|S(T)>K]>E[S(T)]，因此N(d_1)>N(d_2)（這從d_1大于d_2且N是單調(diào)增函數(shù)也可以驗(yàn)證）。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們可以把N(d_1)理解為風(fēng)險(xiǎn)中性世界中、按照股票價(jià)格加權(quán)的行權(quán)概率。這是因?yàn)楹凸潭ǖ男袡?quán)成本K不同（K是獨(dú)立于股價(jià)S的），收益和股價(jià)之間不是獨(dú)立的。N(d_1)在數(shù)學(xué)上還有另外的解釋?zhuān)恰耙怨善辈▌?dòng)率σ為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)，并在以股票為計(jì)價(jià)單位時(shí)，期權(quán)被行權(quán)的概率”。如果你覺(jué)著這句話(huà)是天書(shū)也沒(méi)有任何問(wèn)題，因?yàn)橐忉屗枰婕暗綔y(cè)度變換、等價(jià)鞅、以及計(jì)價(jià)單位變換等高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些顯然超出本文的范疇。如果我們使用C的公式對(duì)S求偏導(dǎo)數(shù)，那么不難發(fā)現(xiàn)N(d_1)恰恰等于?C/?S。因此在現(xiàn)實(shí)中，投資者把N(d_1)理解為看歐式漲期權(quán)價(jià)格C對(duì)標(biāo)的股票價(jià)格S的變化的敏感程度?？吹竭@里，也許你會(huì)發(fā)問(wèn)：BS定價(jià)公式僅僅給出了一個(gè)基于各種嚴(yán)格假設(shè)的理論價(jià)格，它在現(xiàn)實(shí)中到底有沒(méi)有用？真的會(huì)有人因?yàn)槔碚搩r(jià)格和實(shí)際交易價(jià)格不同來(lái)構(gòu)建策略并且賺錢(qián)嗎？BS定價(jià)公式的核心價(jià)值在于它構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以此我們可以求出期權(quán)的各種風(fēng)險(xiǎn)敞口，這對(duì)于將期權(quán)（或任何衍生品）作為配置資產(chǎn)的投資者至關(guān)重要。由BS公式出發(fā)可以方便的求出期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)、時(shí)間、利率、波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)，從而確定期權(quán)在這些因素上的風(fēng)險(xiǎn)敞口。在投資中，常用的風(fēng)險(xiǎn)敞口有五類(lèi)（通常用希臘字母來(lái)表示），它們是：我們會(huì)在后續(xù)的文章中進(jìn)一步介紹這些風(fēng)險(xiǎn)敞口。除此之外，BS