圓形薄膜的自由振動

圓形薄膜的自由振動

膜結(jié)構(gòu)是20世紀(jì)70年代迅速發(fā)展的一種新型張力結(jié)構(gòu)形式。膜結(jié)構(gòu)的特點在于剛度小、重量輕、受力作用后變形大。由于膜結(jié)構(gòu)的上述特點,膜結(jié)構(gòu)對風(fēng)振作用很敏感,因此,研究膜結(jié)構(gòu)的動力特性尤為重要,尤其是研究其自振特性。但是,直至目前,對于膜的自振特性分析的研究尚少,只有部分文獻(xiàn)以數(shù)值方法計算膜的自振特性,部分文獻(xiàn)從物理實驗方面測試膜的固有頻率,少數(shù)文獻(xiàn)研究矩形膜的理論解。專著先假設(shè)膜的振型函數(shù),然后根據(jù)能量法求解矩形膜的固有頻率,而專著則先假設(shè)膜為簡諧振動,然后采用分離變量法求出膜的振型函數(shù)和頻率。本文研究圓形膜的自由振動,根據(jù)哈密頓原理建立薄膜橫向振動方程,采用分離變量法求解周邊固定的圓形薄膜、扇形薄膜自由振動的固有頻率及其固有模態(tài)。同時,應(yīng)用ANSYS有限元計算軟件計算上述幾種類型的自由振動模態(tài)和頻率并與理論解進(jìn)行比較。1薄膜自由振動的動力學(xué)方程薄膜是指不能抵抗彎曲變形和剪切變形的平面薄片,它完全依靠張力來平衡橫向荷載。因此,可設(shè)薄膜是一完全柔性的等厚度薄片,在任何方向被均勻的拉力張拉著。取xoy平面與薄膜變形前的平面一致,z軸垂直于薄膜平面,構(gòu)成右手坐標(biāo)系,如圖1所示。記薄膜單位長度上的張力為T,單位面積上的質(zhì)量為ρ,沿z軸方向的位移為W。薄膜振動前的表面積為振動中處于撓曲后位置時,薄膜的表面積成為A1=∫∫√1+(?W?x)2+(?W?y)2dxdy≈∫∫[1+12(?W?x)2+12(?W?y)2]dxdyA1=∫∫1+(?W?x)2+(?W?y)2????????????????????√dxdy≈∫∫[1+12(?W?x)2+12(?W?y)2]dxdy振動過程中,薄膜的勢能為Up=Τ2?ΔA=Τ2∫∫[(?W?x)2+(?W?y)2]dxdy(1)Up=T2?ΔA=T2∫∫[(?W?x)2+(?W?y)2]dxdy(1)動能為Τk=ρ2∫∫(?W?t)2dxdy(2)Tk=ρ2∫∫(?W?t)2dxdy(2)根據(jù)哈密頓原理δ∫t2t1t2t1(Tk-Up)dt=0(3)經(jīng)變分運算可得?2W?t2=a2(?2W?x2+?2W?y2)(4)?2W?t2=a2(?2W?x2+?2W?y2)(4)其中a2=T/ρ(5)方程(4)就是薄膜自由振動的動力學(xué)方程,是典型的二維波動方程,其中a為波的傳播速度。2自由振動的解析法計算考慮半徑為l周邊固定的圓形薄膜的自由振動,如圖2所示。由于邊界是圓周,采用極坐標(biāo)(r,θ)求解較為方便。在極坐標(biāo)下,邊界條件為W(l,θ,t)=0,W(r,0,t)=W(r,2π,t)(6)方程(4)成為?2W?t2=a2(?2??r2+1r???r+1r2?2??θ2)(7)?2W?t2=a2(?2??r2+1r???r+1r2?2??θ2)(7)采用分離變量法求解,令W(r,θ,t)=?(r,θ)q(t)(8)代入方程(7)可導(dǎo)出變量分離的二個微分方程??q(t)+ω2q(t)=0(9)q??(t)+ω2q(t)=0(9)?2??r2+1r???r+1r2?2??θ2+ω2a2??=0(10)?2??r2+1r???r+1r2?2??θ2+ω2a2??=0(10)其中ω為待求的常數(shù)。方程(9)的解為q(t)=c1sin(ωt+φ)(11)即以ω為固有頻率的簡諧振動。再用分離變量法求解方程(10),為此,令?(r,θ)=R(r)Φ(θ)(12)把方程(12)代入方程(10),可分離出兩個關(guān)于r和θ的常微分方程d2Φdθ2+n2Φ=0(13)d2Φdθ2+n2Φ=0(13)r2R?d2Rdr2+rRdRdr+r2λ2=n2(14)r2R?d2Rdr2+rRdRdr+r2λ2=n2(14)其中λ2=ω2/a2(15)方程(13)的解為Φ(θ)=c2sin(nθ+ψ)(16)由邊界條件(6)可知,Φ(0)=Φ(2π)(17)代入式(16),可得n必須是整數(shù)。方程(14)可化為r2d2Rdr2+rdRdr+(r2λ2-n2)R=0(18)r2d2Rdr2+rdRdr+(r2λ2?n2)R=0(18)這是n階Bessel(貝塞爾)方程,其解為R(r)=c3Jn(λr)+c4Yn(λr)(19)其中,Jn(λr)是第一類貝塞爾函數(shù),Yn(λr)是第二類貝塞爾函數(shù)。考慮到R(0)應(yīng)該有界,但Yn(0)=∞,所以必須取c4=0,于是,R(r)=c3Jn(λr)(20)由邊界條件(5),可得R(l)=0,即Jn(λl)=0(21)記第m個正零點為β(n)m(n)m,則方程(21)的固有值為λ(n)ml=β(n)m(n)m(22)于是有ωmn=β(n)m?al(23)ωmn就是固有頻率,其對應(yīng)的固有振型為?mn(r,θ)=Jm(β(n)mrl)sin(nθ+ψ)(24)最后,得到周邊固定圓形薄膜的自由振動的通解為W(r,θ,t)=∑m=1∑n=0Amn?mn(r,θ)sin(ωmnt+φ)(25)方程(24)、(25)中的系數(shù)Amn和φ由初始條件決定。表1給出半徑l=1.5m,張力T=23000N/m,單位面積質(zhì)量ρ=7.805kg/m2的周邊固定圓形薄膜各階固有頻率及其對應(yīng)固有振型(模態(tài))。表中m為沿環(huán)向半波數(shù),n沿徑向半波數(shù)。3mnmn物權(quán)和固有振型模態(tài)考慮夾角為α周邊固定的扇形薄膜的橫向振動,采用極坐標(biāo)系表示如圖3所示。其邊界條件為W(l,θ,t)=0(26)W(r,0,t)=W(r,α,t)=0(27)采用分離變量后,有W(r,θ,t)=R(r)Φ(θ)q(t)(28)q(t)滿足方程(9),其解取(11)式;R(r)滿足Bessel方程(18),其解取(20)式;Φ(θ)滿足方程(13),其解取(16)式。根據(jù)邊界條件(27),可得Φ(0)=0,Φ(α)=0導(dǎo)出ψ=0(29)n=kπ/α,k=1,2,3…(30)所以Φ(θ)=c5sinkπαθ(31)最后可得周邊固定的扇形薄膜自由振動的通解為W(r,θ,t)=∑m=1∑n=0Amn?mn(r,θ)sin(ωmnt+φ)(32)?mn(r,θ)=Jm(β(n)mrl)sinkπαθ(33)ωmn=β(n)m?al(34)其中,ωmn是固有頻率,?mn(r,θ)是對應(yīng)ωmn的固有振型。系數(shù)Amn和φ由初始條件決定。表2給出半徑l=1.5m,張力T=23000N/m,單位面積質(zhì)量ρ=7.805kg/m2,扇形夾角α=30°的周邊固定扇形薄膜的各階固有頻率及其對應(yīng)的固有振型(模態(tài))。表中m示沿環(huán)向半波數(shù),k表示沿徑向半波數(shù)。4薄膜各階固有頻率的特性為檢驗上述理論解的正確性,我們采用ANSYS大型軟件,進(jìn)行有限元計算。取圓形膜和扇形膜均取半徑l=1.5m,張力T=23000N/m,單位面積質(zhì)量ρ=7.805kg/m2時,采用三維薄膜單元shell41。圓形薄膜沿圓周方向劃分60等份,半徑方向30等份,共1800個單元,5403個自由度。扇形薄膜取夾角α=30°,沿圓周向劃分15等份,半徑向15等份,共225個單元,723個自由度。兩種薄膜各階固有頻率的計算結(jié)果分別列于表1和表2,與理論解比較。從表1和表2可以看出,數(shù)值結(jié)果和理論解二者非常接近,數(shù)值結(jié)果略大于理論解。理論解是數(shù)值解的下限。這說明數(shù)值解和理論解都是正確的,因為,根據(jù)有限元理論,有限元法計算固有頻率的近似值是實際頻率的上限。5薄膜強(qiáng)迫振動理論解的驗證(1)本文采用分離變量法求得圓形膜和扇形膜自由振動的固有頻率及其對應(yīng)振型的解析表達(dá)式。理論結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果相比較,非常接近,相互印證彼此結(jié)果的正確性。這一理