人教A版數(shù)學選修2-1講義第2章2.32.3.1雙曲線及其標準方程Word版含答案

2.3雙曲線2.3.1雙曲線及其標準方程學習目標核心素養(yǎng)1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(重點)2.掌握雙曲線的標準方程及其求法．(重點)3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．(難點)1.通過雙曲線概念的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.通過雙曲線標準方程的求解、與雙曲線有關的軌跡問題的學習，提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理及數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).1．雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離思考：(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù)，(2)雙曲線的定義中，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數(shù))，且2a<|F1F2|，[提示](1)當距離之差的絕對值等于|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線，端點分別是F1，F(xiàn)2，當距離之差的絕對值大于|F1F2|時(2)點M在雙曲線的右支上．2．雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系c2＝a2＋b21．動點P到點M(1，0)的距離與點N(3，0)的距離之差為2，則點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線D[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線NP.]2．雙曲線eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為()A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)D[c2＝10＋2＝12，所以c＝2eq\r(3)，從而焦距為4eq\r(3).]3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故選C.]4．與雙曲線eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1具有相同焦點的雙曲線方程是________(只寫出一個即可)．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,12)＝1[與eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1具有相同焦點的雙曲線方程為eq\f(x2,8＋k)－eq\f(y2,10－k)＝1(－8＜k＜10)．]雙曲線的定義及應用【例1】若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點．(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若點P是雙曲線上的一點，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．思路探究：(1)直接利用定義求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.[解](1)設|MF1|＝16，根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×64×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3).求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關系式；③通過配方，整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．(2)利用公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|求得面積．1．(1)已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，在平面內滿足下列條件的動點P的軌跡中為雙曲線的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4A[|F1F2|＝4，根據(jù)雙曲線的定義知選A.(2)已知定點A的坐標為(1，4)，點F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點，點P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．9[由雙曲線的方程可知a＝2，設右焦點為F1，則F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，當且僅當A，P，F(xiàn)1三點共線時取等號，此時|AF1|＝eq\r(（4－1）2＋42)＝eq\r(25)＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值為9.]求雙曲線的標準方程【例2】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)a＝4，經過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點，且經過點(3eq\r(2)，2)；(3)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦點在坐標軸上．思路探究：(1)結合a的值設出標準方程的兩種形式，將點A的坐標代入求解．(2)因為焦點相同，所以所求雙曲線的焦點也在x軸上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系數(shù)法求解，或設出統(tǒng)一方程求解．(3)雙曲線焦點的位置不確定，可設出一般方程求解．[解](1)當焦點在x軸上時，設所求標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，把點A的坐標代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)法一：∵焦點相同，∴設所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①∵雙曲線經過點(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二：設所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵雙曲線過點(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(3)設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.∵點P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.1．求雙曲線標準方程的步驟(1)確定雙曲線的類型，并設出標準方程；(2)求出a2，b2的值．2．當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時，需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當已知雙曲線經過兩個點時，可設雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)來求解．2．(1)與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦點且過點P(2，1)的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C.eq\f(x2,2)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1C[設所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,c2＝a2＋b2＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b2＝1，))所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝1.](2)已知雙曲線中心在坐標原點，且一個焦點為F1(－eq\r(5)，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0，2)，則該雙曲線的方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1B[由雙曲線的焦點可知c＝eq\r(5)，線段PF1的中點坐標為(0，2)，所以設右焦點為F2，則有PF2⊥x軸，且PF2＝4，點P在雙曲線右支上．所以PF1＝eq\r(（2\r(5)）2＋42)＝eq\r(36)＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，選B.]與雙曲線有關的軌跡問題[探究問題]1．到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差是常數(shù)(小于|F1F2|[提示]一支．2．求以兩定點F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線方程時，應如何建系？[提示]以直線F1F2和線段F1F2的垂直平分線分別為x軸和y【例3】如圖所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三個內角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當?shù)淖鴺讼?，求頂點C的軌跡方程．思路探究：eq\x(\a\al(建立平面直,角坐標系))→eq\x(\a\al(由已知條件得,到邊長的關系))→eq\x(\a\al(判斷軌跡,的形狀))→eq\x(寫出軌跡方程)[解]以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．由正弦定理，得sinA＝eq\f(|BC|,2R)，sinB＝eq\f(|AC|,2R)，sinC＝eq\f(|AB|,2R)(R為△ABC的外接圓半徑)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝eq\f(|AB|,2)＝2eq\r(2)<|AB|.由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．由題意，設所求軌跡方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x>a)，∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.即所求軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．求與雙曲線有關的點的軌跡問題的方法(1)列出等量關系，化簡得到方程．(2)尋找?guī)缀侮P系，由雙曲線的定義，得出對應的方程．提醒：①雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸．②檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支．3．如圖所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．[解]圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5，0)，半徑r1＝1.圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5，0)，半徑r2＝4.設動圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).∴動圓圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))).1．雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當2a＝|F2．在雙曲線的標準方程中，a＞b不一定成立．要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別．在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2.3．用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設出標準方程后，由條件列出關于a，b，c的方程組．如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解.1．已知m，n∈R，則“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，必有mn＜0；當mn＜0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，所以“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n