第九章 三重積分及其計算

三重積分及其計算一、三重積分的概念將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，就得到三重積分的定義2021/5/912021/5/92其中

dv

稱為體積元，其它術語與二重積分相同若極限存在，則稱函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則一定可積由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景以

f(x,y,z)為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計算方法。2021/5/93二、在直角坐標系中的計算法

如果我們用三族平面x

=常數(shù)，y

=常數(shù),

z=常數(shù)對空間區(qū)域進行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體其體積為故在直角坐標系下的面積元為三重積分可寫成和二重積分類似，三重積分可化成三次積分進行計算具體可分為先單后重和先重后單2021/5/94①先單后重2021/5/95——也稱為先一后二，切條法（先z次y后x

）注意用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。2021/5/96化三次積分的步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點—下限，穿出點—上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法例1將化成三次積分其中為長方體，各邊界面平行于坐標面解將投影到xoy面得D，它是一個矩形在D內(nèi)任意固定一點（x,y)作平行于

z

軸的直線交邊界曲面于兩點，其豎坐標為

l

和

m（l

<m)2021/5/97oxyzmlabcdD。(x,y)例2計算其中是三個坐標面與平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域2021/5/98Dxyzo解畫出區(qū)域D2021/5/99解2021/5/9102021/5/9112021/5/912

除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關于某兩個變量的二重積分再求關于另一個變量的定積分若

f(x,y,z)在上連續(xù)介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截得區(qū)域則②先重后單2021/5/913

易見，若被積函數(shù)與x,y

無關，或二重積分容易計算時，用截面法較為方便，

就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算尤其當f(x,y,z)與

x,y

無關時2021/5/9142021/5/915例5計算解故2021/5/916例6解一解二先單后重將投影到xoy

面得D先重后單2021/5/917（用極坐標，用對稱性）

此例介紹的是一種計算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標系下的計算法2021/5/918三、小結(jié)三重積分的定義和計算（計算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標系下的體積元素2021/5/919思考題選擇題:2