第九章 三重積分及其計算

三重積分及其計算一、三重積分的概念將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，就得到三重積分的定義2021/5/912021/5/92其中

dv

稱為體積元，其它術(shù)語與二重積分相同若極限存在，則稱函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則一定可積由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景以

f(x,y,z)為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計算方法。2021/5/93二、在直角坐標(biāo)系中的計算法

如果我們用三族平面x

=常數(shù)，y

=常數(shù),

z=常數(shù)對空間區(qū)域進行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體其體積為故在直角坐標(biāo)系下的面積元為三重積分可寫成和二重積分類似，三重積分可化成三次積分進行計算具體可分為先單后重和先重后單2021/5/94①先單后重2021/5/95——也稱為先一后二，切條法（先z次y后x

）注意用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。2021/5/96化三次積分的步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點—下限，穿出點—上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法例1將化成三次積分其中為長方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面解將投影到xoy面得D，它是一個矩形在D內(nèi)任意固定一點（x,y)作平行于

z

軸的直線交邊界曲面于兩點，其豎坐標(biāo)為

l

和

m（l

<m)2021/5/97oxyzmlabcdD。(x,y)例2計算其中是三個坐標(biāo)面與平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域2021/5/98Dxyzo解畫出區(qū)域D2021/5/99解2021/5/9102021/5/9112021/5/912

除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分若

f(x,y,z)在上連續(xù)介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截得區(qū)域則②先重后單2021/5/913

易見，若被積函數(shù)與x,y

無關(guān)，或二重積分容易計算時，用截面法較為方便，

就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算尤其當(dāng)f(x,y,z)與

x,y

無關(guān)時2021/5/9142021/5/915例5計算解故2021/5/916例6解一解二先單后重將投影到xoy

面得D先重后單2021/5/917（用極坐標(biāo)，用對稱性）

此例介紹的是一種計算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計算法2021/5/918三、小結(jié)三重積分的定義和計算（計算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標(biāo)系下的體積元素2021/5/919思考題選擇題:2