專(zhuān)題10.8統(tǒng)計(jì)、概率結(jié)合其他知識(shí)（解析版）

PAGE1專(zhuān)題10.8統(tǒng)計(jì)、概率結(jié)合其他知識(shí)題型一統(tǒng)計(jì)概率與函數(shù)題型二統(tǒng)計(jì)概率與導(dǎo)數(shù)題型三統(tǒng)計(jì)概率與不等式題型四統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列題型一 統(tǒng)計(jì)概率與函數(shù)例1．體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對(duì)其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病．對(duì)于份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次.二是混合檢驗(yàn)，將份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了﹔如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪些為陽(yáng)性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則份血液檢驗(yàn)的次數(shù)共為次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為，而且各體檢人是否患該疾病相互獨(dú)立.（1）若，求位體檢人的血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率;（2）某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:方案一:采用混合檢驗(yàn);方案二:平均分成兩組，每組位體檢人血液樣本采用混合檢驗(yàn).若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問(wèn)方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，方案一更“優(yōu)”；當(dāng)或時(shí)，方案一、二一樣“優(yōu)”；當(dāng)時(shí)，方案二更“優(yōu)”.【解析】（1）根據(jù)題意，3人混檢樣本為陰性的概率為，故根據(jù)對(duì)立事件得答案；（2）采取方案一，檢驗(yàn)次數(shù)記為，可能取值為，進(jìn)而列概率分布列，求期望；采取方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為，可能取值為，進(jìn)而列概率分布列，求期望得，再作差分情況討論即可得答案.【詳解】解：(1)該混合樣本陰性的概率是，根據(jù)對(duì)立事件可得，陽(yáng)性的概率為(2)方案一:混在一起檢驗(yàn)，方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，其分布列為:則，方案二:由題意分析可知，每組份樣本混合檢驗(yàn)時(shí)，若陰性則檢測(cè)次數(shù)為概率為，若陽(yáng)性，則檢測(cè)次數(shù)為，概率為，方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，;其分布列為:則，，當(dāng)或時(shí)，可得，所以方案一更“優(yōu)”當(dāng)或時(shí)，可得，所以方案一、二一樣“優(yōu)”當(dāng)時(shí)，可得，所以方案二更“優(yōu)”.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率分布列與數(shù)學(xué)期望，考查知識(shí)遷移與運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意寫(xiě)出方案一與方案二的概率分布列，求解對(duì)應(yīng)事件的概率是難點(diǎn)，理解并應(yīng)用獨(dú)立事件的概率求解是解決概率的基本方法，進(jìn)而根據(jù)分布列求期望，并作差分類(lèi)討論.例2．從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為；乙全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.（2）分別求出選擇1,2,3個(gè)選項(xiàng)三個(gè)情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：：甲四道全對(duì)；乙一道全對(duì)，一道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得20分，乙得7分.：甲三道全對(duì)，一道部分選對(duì)；乙兩道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得17分，乙得4分.：甲三道全對(duì)，一道選錯(cuò)；乙一道部分選對(duì)，三道選錯(cuò)，即甲得15分，乙得2分（2）若為甲出方案.則甲可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，則期望為.記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，，，此時(shí)期望為.記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，，此時(shí)期望為.∵，.∴甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).若為乙出方案.則乙可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，類(lèi)比甲的情況，則記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，此時(shí).記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，此時(shí).∵.∴當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2或3個(gè)選項(xiàng)都有希望得到更理想的成績(jī).練習(xí)1．在排查新冠肺炎患者期間，一戶(hù)4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶(hù)”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才能確定為“感染高危戶(hù)”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可．【詳解】設(shè)事件為：檢測(cè)了3個(gè)人確定為感染高危戶(hù)，設(shè)事件為：檢測(cè)了4個(gè)人確定為感染高危戶(hù)，事件為第一個(gè)人不是陽(yáng)性，第二個(gè)人不是陽(yáng)性，第三個(gè)人是陽(yáng)性，所以，同理即，設(shè)，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即.故選：A練習(xí)2．為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率一級(jí)品二級(jí)品三級(jí)品（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)分層抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求至少有2件一級(jí)品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器平均利潤(rùn)率較大？【答案】（1）；（2）①二級(jí)品數(shù)的分布列見(jiàn)詳解，；②投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.【分析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為0.6，根據(jù)分層抽樣，計(jì)算10件減排器中一級(jí)品的個(gè)數(shù)，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少2件一級(jí)品的概率；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，二級(jí)品的概率，三級(jí)品的概率為，若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取3件，則二級(jí)品數(shù)所有可能的取值為，且，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.②由題意分別求出甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值和乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值，由此求出投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.【詳解】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級(jí)品為（件）則至少有2件一級(jí)品的概率，；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，二級(jí)品的概率，三級(jí)品的概率為，若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取3件，則二級(jí)品數(shù)所有可能的取值為，且，所以，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望：；②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值：；乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值：；，又，則，所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖及分層抽樣和互斥事件概率的算法．求解隨機(jī)變量的分布列及期望和利用函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用.練習(xí)3．為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技有限公司進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).先對(duì)所有白鼠服藥，然后對(duì)每只白鼠的血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若檢測(cè)樣本結(jié)果呈陽(yáng)性，則白鼠感染病毒;若檢測(cè)樣本結(jié)果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現(xiàn)隨機(jī)抽取只白鼠的血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，有如下兩種方案:方案一:逐只檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次;方案二:混合檢驗(yàn)，將只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則只白鼠未感染病毒;若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則對(duì)這只白鼠的血液樣本逐個(gè)檢驗(yàn)，此時(shí)共需要檢驗(yàn)次.(1)若，且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率為.①采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為，求檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望;②若，每次檢驗(yàn)的費(fèi)用相同，判斷哪種方案檢驗(yàn)的費(fèi)用更少?并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)①；②答案見(jiàn)解析.【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好檢驗(yàn)3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率；（2）①次數(shù)為可能取值為1，，利用對(duì)立事件概率求法求各值的概率，進(jìn)而求其期望；②由①得，根據(jù)其單調(diào)性及其零點(diǎn)，判斷方案檢驗(yàn)的費(fèi)用的大小關(guān)系.【詳解】（1）根據(jù)題意，恰好在第一、三次確定兩只感染病毒白鼠的概率，恰好在第二、三次確定有兩只感染病毒白鼠的概率，所以恰好檢驗(yàn)3次就能確定有兩只白鼠感染病毒的概率．（2）①設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為，可能取值為1，．則，，所以．②方案二的檢驗(yàn)次數(shù)期望為，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，由得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，選擇方案二檢驗(yàn)費(fèi)用少，當(dāng)時(shí)，選擇方案一檢驗(yàn)費(fèi)用少，當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案檢驗(yàn)費(fèi)用相同．練習(xí)4．2022北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場(chǎng)舉辦了一場(chǎng)贏取吉祥物掛件的“定點(diǎn)投籃”活動(dòng)，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否則得0分，累計(jì)所得分?jǐn)?shù)記為；方案二：共進(jìn)行三輪投籃，每輪最多投三次，直到投中兩球?yàn)橹沟?分，否則得0分，三輪累計(jì)所得分?jǐn)?shù)記為．累計(jì)所得分?jǐn)?shù)越多，所獲得獎(jiǎng)品越多．現(xiàn)在甲準(zhǔn)備參加這個(gè)“定點(diǎn)投籃”活動(dòng)，已知甲每次投籃的命中率為，每次投籃互不影響．(1)若，甲選擇方案二，求第一輪投籃結(jié)束時(shí)，甲得3分的概率；(2)以最終累計(jì)得分的期望值為決策依據(jù)，甲在方案一，方案二之中選其一，應(yīng)選擇哪個(gè)方案？【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，將甲得3分的事件分拆成兩個(gè)互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式計(jì)算即可.（2）求出甲選方案一，方案二得分的期望，再比較大小作答.【詳解】（1），甲選擇方案二，甲得3分的事件是3次投籃，前兩球投進(jìn)與最后一次才投進(jìn)第2球的事件和，所以，所以第一輪投籃結(jié)束時(shí)，甲得3分的概率為.（2）選方案一，則，選方案一得分的數(shù)學(xué)期望為，選方案二，每一輪得分只有0和3，能得3分的概率為，進(jìn)行三輪投籃，得3分的次數(shù)為隨機(jī)變量，則，，進(jìn)行三輪總得分，則選擇方案二得分的期望為，顯然，當(dāng)，，兩種方案期望相同，所以選方案一，二都可以；

當(dāng)，，方案二期望大，所以甲應(yīng)該選方案二；

當(dāng)，，方案一期望大，所以甲應(yīng)該選方案一．練習(xí)5．從2021年起，全國(guó)高考數(shù)學(xué)加入了新題型多選題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選擇中有多項(xiàng)是正確的，其中回答錯(cuò)誤得0分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據(jù)以前做過(guò)的多項(xiàng)選擇題統(tǒng)計(jì)得到，多選題有兩個(gè)選項(xiàng)的概率為p，有三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.(1)若，小明對(duì)某個(gè)多項(xiàng)選擇題完全不會(huì)，決定隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，求小明得2分的概率；(2)在某個(gè)多項(xiàng)選擇題中，小明發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，下面小明有三種不同策略：Ⅰ：選擇A，再?gòu)氖Ｏ碌腃，D選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)，小明該題的得分為X；Ⅱ：選擇ACD，小明該題的得分為Y；Ⅲ：只選擇A、小明該題的得分為Z；在p變化時(shí)、根據(jù)該題得分的期望來(lái)幫助小明分析該選擇哪個(gè)策略.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)分類(lèi)加法求概率.（2）分別求出三種策略下的得分均值，通過(guò)比較均值的大小來(lái)確定選擇哪個(gè)策略.【詳解】（1）若答案是兩個(gè)選項(xiàng)，所有的可能有：共6種，則小明只選一個(gè)得2分的概率為：；答案是三個(gè)選項(xiàng)，所有的可能有：有共4種，則小明只選一個(gè)得2分的概率為：；故小明得2分的概率為（2）選策略Ⅰ，則小明得分為的分布為：025

得分的期望為選策略Ⅱ，則小明得分為的分布為：05得分的期望為策略Ⅲ，得分為,則當(dāng)，此時(shí)，故此時(shí)選擇策略Ⅰ，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)選擇策略Ⅱ，當(dāng)時(shí)，策略Ⅰ,Ⅱ概率一樣，都可以.題型二 統(tǒng)計(jì)概率與導(dǎo)數(shù)例3．今年5月以來(lái)，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多．9月19日，中國(guó)疾控中心發(fā)布了我國(guó)首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過(guò)天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過(guò)天花疫苗者感染病毒的比例較大．對(duì)該國(guó)家200個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率．現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶(hù)進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶(hù)3口之家與確診患者有過(guò)密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè)．每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立．記：該家庭至少檢測(cè)了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時(shí)，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒(méi)有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)(2)(3)當(dāng)時(shí)，最大【分析】（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無(wú)關(guān)，根據(jù)題意求得判斷；（2）易得該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，再利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)求解；（3）易得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無(wú)關(guān)，依題意有，故假設(shè)不成立，沒(méi)有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān).（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的4人中至多有1人感染病毒為事件，則，（3）記事件為：檢測(cè)了2名成員確定為“感染高危家庭”；事件為：檢測(cè)了3名成員確定為“感染高危家庭”；則則，，令，則（舍去）隨著的變化，的變化如下表：+0遞增極大值遞減綜上，當(dāng)時(shí)，最大．例4．汽車(chē)尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，某汽車(chē)制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷(xiāo)量萬(wàn)輛1012172026(1)統(tǒng)計(jì)表明銷(xiāo)量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量最早在哪一年能突破50萬(wàn)輛；(2)為了解當(dāng)?shù)氐馁?gòu)車(chē)種類(lèi)（分為新能源汽車(chē)與傳統(tǒng)燃油汽車(chē)），該企業(yè)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)的購(gòu)車(chē)情況.設(shè)購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為，若將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有車(chē)主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車(chē)的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．附：為回歸方程，．【答案】(1)，2028年(2)當(dāng)時(shí)最大【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，再利用導(dǎo)函數(shù)分析的最大值即可.【詳解】（1）由題意可知，，，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量最早在2028年能突破50萬(wàn)輛．（2）由題意知，則，當(dāng)時(shí)，知，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，知，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得最大值.練習(xí)6．某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機(jī)變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機(jī)變量的觀測(cè)值繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記為事件“”.

(1)寫(xiě)出（用表示，組合數(shù)不必計(jì)算）；(2)研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)之間的關(guān)系為.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)的值使得概率最大，稱(chēng)是的最大似然估計(jì)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知隨機(jī)變量，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式求解；（2）設(shè)事件，再根據(jù)頻數(shù)分布圖和二項(xiàng)分布的概率公式可求出，令，化簡(jiǎn)后利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，并求出此時(shí)的，代入中可求得.【詳解】（1）由題知隨機(jī)變量，所以.（2）設(shè)事件，由題圖可知，則，即.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值，所以，即，解得或，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二項(xiàng)分布的概率公式的應(yīng)用，考查獨(dú)立事件的概率，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式表示出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.練習(xí)7．生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為（），優(yōu)等品的概率為0.4，若20個(gè)此特殊零件中恰有4件廢品的概率為，設(shè)的最大值點(diǎn)為．(1)求；(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為．（?。纳a(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取個(gè)零件，設(shè)其中優(yōu)等品的個(gè)數(shù)為，記，，已知時(shí)優(yōu)等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率為，每個(gè)零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價(jià)150元，同時(shí)對(duì)不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)為合格品后正常售賣(mài)，若仍不合格則以每件10元的價(jià)格出售，若每個(gè)不合格零件修復(fù)為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個(gè)零件至少獲利50元，試求一個(gè)零件的修復(fù)費(fèi)用最高為多少元．【答案】(1)(2)（?。?2；（ⅱ）30【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）（i）根據(jù)二項(xiàng)分布，寫(xiě)出的分布列，再根據(jù)最大求出n的范圍；（ii）根據(jù)數(shù)學(xué)期望求出最高維修費(fèi)用.【詳解】（1）由題意得：，（），所以，在遞增，在遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值；（2）（?。┰O(shè)優(yōu)等品的個(gè)數(shù)為，則，，，若時(shí)，有最大值，則，即，解得，所以的最小值為12；（ⅱ）設(shè)工廠生產(chǎn)一個(gè)零件獲利元，零件的修復(fù)費(fèi)用為元?jiǎng)t的可能取值為：70，，，，

，,所以，一個(gè)零件需要修復(fù)費(fèi)用最高為30元；綜上，（1），（2）（i）的最小值為12，（ii）一個(gè)零件需要修復(fù)費(fèi)用最高為30元.練習(xí)8．今年月以來(lái)，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病練習(xí)，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多.我國(guó)目前為止尚無(wú)猴痘病練習(xí)報(bào)告.我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署.同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過(guò)天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力.據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察天.在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過(guò)天花疫苗者感染病毒的比練習(xí)較大.對(duì)該國(guó)家個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗接種天花疫苗(1)是否有％的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率.現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率；(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶(hù)進(jìn)行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶(hù)口之家與確診患者有過(guò)密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè).每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立.記：該家庭至少檢測(cè)了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為.求當(dāng)為何值時(shí)，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒(méi)有(2)(3)【分析】（1）提出假設(shè)，由參考公式求的值，比較其與臨界值的大小，由此判斷結(jié)論；（2）求該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率值，再利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)求解；（3）先求的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無(wú)關(guān)依題意有，故假設(shè)不成立沒(méi)有99%的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；（2）由題意得：該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的人中至多有人感染病毒為事件，則；（3）則，令，則（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，該家庭至少檢測(cè)了名成員才能確定為“感染高危家庭”的可能性最大.練習(xí)9．今年月以來(lái)，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病練習(xí)，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多．月日，中國(guó)疾控中心發(fā)布了我國(guó)首練習(xí)“輸入性猴痘病練習(xí)”的溯源公告．我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過(guò)天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過(guò)天花疫苗者感染病毒的比練習(xí)較大．對(duì)該國(guó)家個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗是否有關(guān)？(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率．現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率：(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶(hù)進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶(hù)口之家與確診患者有過(guò)密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè)．每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立．記：該家庭至少檢測(cè)了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時(shí)，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒(méi)有(2)(3)【分析】（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無(wú)關(guān)，根據(jù)題意求得判斷；（2）易得該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，再利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)求解；（3）易得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）解：假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無(wú)關(guān)，依題意有故假設(shè)不成立，∴沒(méi)有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的人中至多有人感染病毒為事件，則；（3），則，令；則（舍去），隨著的變化，的變化如下表：p+0-遞增極大值遞減綜上，當(dāng)時(shí)，最大．練習(xí)10．某醫(yī)療用品生產(chǎn)商用新舊兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)防護(hù)口罩，產(chǎn)品成箱包裝，每箱500個(gè)．(1)若從新舊兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100箱作為樣本，其中新設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設(shè)備生產(chǎn)的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫(xiě)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“有不合格品”與“設(shè)備"有關(guān)聯(lián)？單位：箱是否有不合格品設(shè)備無(wú)不合格品有不合格品合計(jì)新舊合計(jì)(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱口罩中任取20個(gè)做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有口罩做檢驗(yàn)．設(shè)每個(gè)口罩為不合格品的概率都為，且各口罩是否為不合格品相互獨(dú)立．記20個(gè)口罩中恰有3件不合格品的概率為，求最大時(shí)的值．(3)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20個(gè)，結(jié)果恰有3個(gè)不合格品，以（2）中確定的作為的值．已知每個(gè)口罩的檢驗(yàn)費(fèi)用為0.2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則生產(chǎn)商要為每個(gè)不合格品支付5元的賠償費(fèi)用．以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望為決策依據(jù)，是否要對(duì)這箱產(chǎn)品余下的480個(gè)口罩做檢驗(yàn)？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【答案】(1)填表見(jiàn)解析；認(rèn)為箱中有不合格品與新舊設(shè)備有關(guān)聯(lián)(2)(3)應(yīng)該對(duì)余下的480個(gè)口罩進(jìn)行檢驗(yàn)【分析】（1）根據(jù)題中的條件可填寫(xiě)列聯(lián)表，利用卡方計(jì)算公式計(jì)算出卡方值，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)誤差可以判斷出關(guān)聯(lián)性；（2）利用獨(dú)立重復(fù)性實(shí)驗(yàn)的計(jì)算公式得出20個(gè)口罩中恰有3件不合格品的概率為的表達(dá)式，利用求導(dǎo)方法解出的最大時(shí)的；（3）先設(shè)表示余下的480件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量，符合二項(xiàng)分布，解出期望，再設(shè)產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，找出、的等式關(guān)系，即可求出，進(jìn)而判斷結(jié)果.【詳解】（1）解：

單位：箱是否有不合格品設(shè)備無(wú)不合格品有不合格品合計(jì)新9010100舊7525100合計(jì)16535200零假設(shè)為：有不合格品與新舊設(shè)備無(wú)關(guān)聯(lián)．由列聯(lián)表可知的觀測(cè)值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為箱中有不合格品與新舊設(shè)備有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）由題意，得，則，令，又，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最大時(shí)的值．（3）由（2）知．設(shè)表示余下的480件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量，依題意知，所以．若不對(duì)該箱余下的口罩做檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，則，所以．如果對(duì)余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為（元）．364遠(yuǎn)大于100，所以應(yīng)該對(duì)余下的480個(gè)口罩進(jìn)行檢驗(yàn)．題型三 統(tǒng)計(jì)概率與不等式例5．已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值的概率公式建立不等關(guān)系，可得最大值時(shí)的．【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.例6．某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個(gè)奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快樂(lè)藥”．其實(shí)科學(xué)、合理、適量的有氧運(yùn)動(dòng)就會(huì)增加人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒．人體多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定義運(yùn)動(dòng)后多巴胺含量超過(guò)稱(chēng)明顯有效運(yùn)動(dòng)，否則是不明顯有效運(yùn)動(dòng)．樹(shù)人中學(xué)為了了解學(xué)生明顯有效運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)運(yùn)動(dòng)后的60名學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，其中女生與男生的人數(shù)之比為1∶2，女生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，男生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占．女生男生合計(jì)明顯有效運(yùn)動(dòng)不明顯有效運(yùn)動(dòng)合計(jì)(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說(shuō)明理由；(2)若從樹(shù)人中學(xué)所有學(xué)生中抽取11人，用樣本的頻率估計(jì)概率，預(yù)測(cè)11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是多少？附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，認(rèn)為明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別存在差異，理由見(jiàn)解析(2)人數(shù)最有可能是3或4【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值對(duì)比即可得出結(jié)論；（2）由題意，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式列出不等式組求解.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)60名學(xué)生明顯有效運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)的調(diào)查，其中女生與男生的人數(shù)之比為，女生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，男生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，得到下面的列聯(lián)表：女生男生合計(jì)明顯有效運(yùn)動(dòng)103040不明顯有效運(yùn)動(dòng)101020合計(jì)204060給定假設(shè)：明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別沒(méi)有關(guān)系．由于，則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分的證據(jù)推斷假設(shè)不成立，因此認(rèn)為明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別存在差異．（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，不明顯有效運(yùn)動(dòng)的頻率為，用樣本的頻率估計(jì)概率，所以不明顯有效運(yùn)動(dòng)的概率為，設(shè)11人不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，則所以假設(shè)11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是，則，解得，，故或.所以11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是3或4．練習(xí)11．某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時(shí)/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出1名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，確定，即可表示出，列不等式組求最大時(shí)k的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)為，則，其中，時(shí)，；顯然，即不可能為最大值，當(dāng)時(shí)，由得，化簡(jiǎn)得，解得，又這20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．練習(xí)12．某市政府為了引導(dǎo)居民合理用水，決定全面實(shí)施階梯水價(jià)，居民用水原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶(hù)）.階梯級(jí)別第一階梯第二階梯第三階梯月用水范圍（噸）為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了戶(hù)居民的月用水量（單位：噸），得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用水戶(hù)編號(hào)12345678910用水量（噸）7889101113141520(1)若用水量不超過(guò)噸時(shí)，按元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過(guò)噸且不超過(guò)噸時(shí)，超過(guò)噸部分按元/噸計(jì)算水費(fèi)；若用水量超過(guò)噸時(shí)，超過(guò)噸部分按元/噸計(jì)算水費(fèi).試計(jì)算：若某居民用水噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要在這戶(hù)家庭中任意選取戶(hù)，求取到第二階梯水量的戶(hù)數(shù)的分布列與期望；(3)用抽到的戶(hù)家庭作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況，從全市依次隨機(jī)抽取戶(hù)，若抽到戶(hù)月用水量為第一階梯的可能性最大，求的值.【答案】(1)75元(2)分布列見(jiàn)解析，(3)6【詳解】（1）若某居民用水噸，則需交費(fèi)（元）；（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶(hù)數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶(hù)有戶(hù)，則可取，，，，.0123故的分布列是所以；（3）由題可知從全市中抽取戶(hù)，其中用電量為第一階梯的戶(hù)數(shù)滿足，于是為，，由，化簡(jiǎn)得，解得.因?yàn)?，所?練習(xí)13．為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開(kāi)展青少年禁毒知識(shí)競(jìng)賽，團(tuán)員小明每天自覺(jué)登錄“禁毒知識(shí)競(jìng)賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無(wú)效局，無(wú)論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問(wèn)在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【分析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，的可能值為5，4，3，2，根據(jù)事件相互獨(dú)立求出的分布列、數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)小A每天贏得的局?jǐn)?shù)為，則，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨(dú)立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設(shè)小明每天贏得的局?jǐn)?shù)為，則易知，于是.假設(shè)贏得局的概率最大，則據(jù)條件得，即，整理得，解之得，又因?yàn)?，所以，因此在每天?0局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.練習(xí)14．某公司通過(guò)游戲獲得積分以激勵(lì)員工.游戲規(guī)則如下：甲袋和乙袋中各裝有形狀和大小完全相同的10個(gè)球，其中甲袋中有5個(gè)紅球和5個(gè)白球，乙袋中有8個(gè)紅球和2個(gè)白球，獲得積分有兩種方案.方案一：從甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1個(gè)球，摸出紅球獲得10分，摸出白球得0分；方案二：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出的是紅球，則獲得積分15分，否則得5分.(1)某員工獲得1次游戲機(jī)會(huì)，若以積分的均值為依據(jù)，請(qǐng)判斷該員工應(yīng)該選擇方案一還是方案二？(2)若某員工獲得10次游戲機(jī)會(huì)，全部選擇方案一，記該員工摸出紅球的次數(shù)為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.【答案】(1)選擇方案一(2)15【分析】（1）選擇方案一：法一，設(shè)出積分為，寫(xiě)出可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列和期望；法二：設(shè)抽中紅球的次數(shù)為，積分為，則，利用二項(xiàng)分布求解期望值；選擇方案二：利用條件概率求出最終摸出紅球的概率，進(jìn)而得到積分的期望值，比較后得到結(jié)論；（2）由題意得到，列出不等式組，求出答案.【詳解】（1）選擇方案一：法一：因?yàn)榧状杏?個(gè)紅球和5個(gè)白球，故從甲袋中有放回地摸球，每次摸到紅球的概率為，由題意可得，設(shè)積分為，可能取值為0，10，20，30，，，，，則的分布列為0102030且；法二：由題意可得，設(shè)抽中紅球的次數(shù)為，積分為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；若選擇方案二：設(shè)事件“從甲袋摸球”，則事件“從乙袋摸球”，事件“摸出的是紅球”，設(shè)方案二的積分為，則，則，因?yàn)?，所以選擇方案一；（2）由題意得，則，解得，又，即時(shí)，最大.練習(xí)15．在十余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣．某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請(qǐng)完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的條件下，認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求k的值．附：，其中k【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).(2)分布列見(jiàn)解析，.(3).【分析】（1）由卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算可得；（2）由超幾何分布的概率計(jì)算公式可得；（3）由二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合求概率最大的方法可得.【詳解】（1）上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100零假設(shè)：成績(jī)是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆無(wú)關(guān).根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布直方圖大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，合格人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為，故，，，，故分布列為2345.（3）由題意隨機(jī)抽取1人則其上課轉(zhuǎn)筆的概率為，故根據(jù)題意，則，若上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為時(shí)，最大，則，解得，故，所以當(dāng)最大時(shí)，.題型四 統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列例7．甲、乙兩個(gè)袋子里各有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，每次獨(dú)立地從兩個(gè)袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球相互交換后放回袋中，若第次交換后，甲袋中兩個(gè)球顏色相同，記，否則，．(1)求的概率；(2)求的概率；(3)記，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）于第一次取球之前，兩個(gè)袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同一個(gè)袋子內(nèi)的兩球顏色仍然保持不同，需要取出的兩球顏色相同計(jì)算概率即可得答案；（2）利用條件概率和全概公式即可求解.（3）列出分布列后根據(jù)數(shù)字特征即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則．由于第一次取球之前，兩個(gè)袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同一個(gè)袋子內(nèi)的兩球顏色仍然保持不同，需要取出的兩球顏色相同，則．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，則．很明顯，，依據(jù)全概率公式，得，則，由（1）得，則，則．（3）由（1）（2）得的分布列，如下表所示：10則，由得．例8．投壺是中國(guó)古代士大夫宴飲時(shí)做的一種投擲游戲，是把箭向壺里投．在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行，在唐朝時(shí)期，發(fā)揚(yáng)光大．《醉翁亭記》中的“射”指的就是“投壺”這個(gè)游戲．為發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)文化，喚醒中國(guó)禮儀，某單位開(kāi)展投壺游戲．現(xiàn)甲、乙兩人為一組玩投壺游戲，每次由其中一人投壺，規(guī)則如下：若投中則此人繼續(xù)投壺，若未投中則換為對(duì)方投壺．無(wú)論之前投壺情況如何，甲每次投壺的命中率均為0.3，乙每次投壺的命中率均為0.4．由抽簽確定第1次投壺的人選，第1次投壺的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投壺的人是甲的概率；(2)求第i次投壺的人是乙的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)“第次投壺的人是甲”為事件，設(shè)“第次投壺的人是乙”為事件，則有，由此計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)，由全概率公式可得，由此可得，變形可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)“第次投壺的人是甲”為事件，設(shè)“第次投壺的人是乙”為事件，則；（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，則有，即，變形可得，又由，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以，故．練習(xí)16．甲、乙兩個(gè)盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有3個(gè)黑球的概率為.(1)求；(2)設(shè)，證明：；(3)求的數(shù)學(xué)期望的值.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）交換后甲盒有黑球，說(shuō)明兩個(gè)盒子相互交換個(gè)白球或者交換個(gè)黑球，若交換后甲盒有黑球，說(shuō)明甲給乙白球，乙給甲黑球；（2）根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論和期望公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題可知：，（2）次操作后，甲盒有一個(gè)黑球的概率，由全概率公式知：，即（3），又，

即練習(xí)17．甲?乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無(wú)籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為，求的分布列和期望；(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；(3)若表示“在甲所得籌碼為枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，則.證明：為等比數(shù)列.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，.(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望；（2）根據(jù)互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)全概率公式和等比數(shù)列的定義可證.【詳解】（1）的所有可能取值為，，，，則的分布列為：2340.20.50.3.（2）當(dāng)四局比賽后，比賽