高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義：隨機(jī)抽樣 教師

課題：隨機(jī)抽樣知識點(diǎn)：1簡單隨機(jī)抽樣（1）定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．（2）最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．【注1】1．簡單隨機(jī)抽樣需滿足：（1）被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；（2）逐個抽??；（3）是不放回抽??；（4）是等可能抽?。?．簡單隨機(jī)抽樣常有抽簽法（適用于總體中個體數(shù)較少的情況）、隨機(jī)數(shù)法（適用于個體數(shù)較多的情況）．2系統(tǒng)抽樣（1）定義：當(dāng)總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．（2）系統(tǒng)抽樣的操作步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．①先將總體的N個個體編號；②確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)（n是樣本容量）是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；③在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l（l≤k）；④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號（l＋k），再加k得到第3個個體編號（l＋2k），依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本．【注2】1．如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)，否則，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，特別注意，每個個體被抽到的機(jī)會均是eq\f(n,N)．2．系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼．3分層抽樣（1）定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．（2）應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．【注3】1．分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．2．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常用到的兩個關(guān)系（1）eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．【注4】1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段間隔k的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比．典型例題例1（1）下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)為（）①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里．③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽．A．0 B．1 C．2 D．3（2）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）A．08 B．07 C．02 D．01【答案】（1）A（2）D【解析】（1）①不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個數(shù)是無限的，而不是有限的；②不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)樗怯蟹呕爻闃?；③不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)檫@是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽??；④不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃樱蔬xA．（2）從第1行第5列和第6列組成的數(shù)65開始由左到右依次選出的數(shù)為08，02，14，07，01，所以第5個個體編號為01．例2（1）從2019名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國數(shù)學(xué)競賽，若采用以下方法選取：先用簡單隨機(jī)抽樣法從2019名學(xué)生中剔除19名學(xué)生，剩下的2000名學(xué)生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為eq\f(50,2019) D．都相等，且為eq\f(1,40)（2）假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時，將800袋牛奶按000，001，…，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是________（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）．874217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】（1）C（2）068【解析】（1）從N個個體中抽取M個個體，則每個個體被抽到的概率都等于eq\f(M,N)．（2）由隨機(jī)數(shù)表知，前4個樣本的個體編號分別是331，572，455，068．例3某學(xué)校采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做視力檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號．已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽到的數(shù)是（）A．5 B．7 C．11 D．13【答案】B【解析】把800名學(xué)生分成50組，每組16人，各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個公差為16的等差數(shù)列，39在第3組．所以第1組抽到的數(shù)為39－32＝7．例4為規(guī)范學(xué)校辦學(xué)，某省教育廳督察組對某所高中進(jìn)行了抽樣調(diào)查．抽到的班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是（）A．13 B．19 C．20 D．51【答案】C【解析】由系統(tǒng)抽樣的原理知，抽樣的間隔為52÷4＝13，故抽取的樣本的編號分別為7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7號，20號，33號，46號．∴樣本中還有一位同學(xué)的編號為20．例5某學(xué)校為調(diào)查高三年級的240名學(xué)生完成課后作業(yè)所需的時間，采取了兩種抽樣調(diào)查方式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對高三年級的學(xué)生進(jìn)行編號，從001到240，抽取學(xué)號最后一位為3的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則這兩種抽樣方法依次為（）A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣B．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣C．分層抽樣，系統(tǒng)抽樣D．簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣【答案】D【解析】由三種抽樣方法的定義可知，題中第一種方法為簡單隨機(jī)抽樣，第二種為系統(tǒng)抽樣．例6為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為（）A．50 B．40 C．25 D．20【答案】C【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)分段間隔為eq\f(1000,40)＝25．例7某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為（）A．100 B．150 C．200 D．250【答案】A【解析】法一由題意可得eq\f(70,n－70)＝eq\f(3500,1500)，解得n＝100．法二由題意，抽樣比為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，總體容量為3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100．例8某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為（）類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A．90 B．100 C．180 D．300【答案】C【解析】設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點(diǎn)得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180．例9用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（）A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)【答案】A【解析】在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為10，故個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10)，故選A．舉一反三1．“雙十一”又掀購物狂潮，淘寶網(wǎng)站對購物情況做了一項(xiàng)調(diào)查，收回的有效問卷共500000份，其中購買下列四種商品的人數(shù)統(tǒng)計如下：服飾鞋帽198000人；家居用品94000人；化妝品116000人；家用電器92000人．為了解消費(fèi)者對商品的滿意度，淘寶網(wǎng)站用分層抽樣的方法從中選出部分問卷進(jìn)行調(diào)查，已知在購買“化妝品”這一類中抽取了116人，則在購買“家居用品”這一類中應(yīng)抽取的問卷份數(shù)為（）A．92B．94C．116D．118【答案】B【解析】2．某高中計劃從全校學(xué)生中按年級采用分層抽樣方法抽取20名學(xué)生進(jìn)行心理測試，其中高三有學(xué)生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學(xué)生的人數(shù)為（）A．2400B．2700C．3000D．3600【答案】C【解析】試題分析：（人），故選C．3．用給個零件編號，并用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取件作為樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測，若第一段中編號為的零件被取出，則第二段中被取出的零件編號為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】4．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的700個零件進(jìn)行抽樣測試，先將700個零件進(jìn)行編號001、002、…、699、700．從中抽取70個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個樣本編號是（

）3321183429

7864560732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073285

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．607 B．328 C．253 D．007【答案】B【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，得到的數(shù)據(jù)中有兩個超出范圍，一個重復(fù)，抽取的5個樣本編號分別是：253，313，457，007，328，所以得到的第5個樣本編號是328．選：B5．某鄉(xiāng)政府對甲、乙、丙三個村的扶貧對象進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分層抽樣的方法抽取19人，則從甲、丙兩村共抽取的人數(shù)為（）A．8 B．11 C．13 D．14【答案】D【解析】設(shè)甲、丙兩村抽取的人數(shù)分別為、．依題意得，解得，，所以．故選：D．6．某校高二年級共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為___________．【答案】52【解析】由分層抽樣的性質(zhì)得：女生應(yīng)該抽取：．故答案為：52．課后練習(xí)1．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對生產(chǎn)的300個零件進(jìn)行抽樣測試，先將300個零件進(jìn)行編號001，002，…，299，300．從中抽取30個樣本，根據(jù)提供隨機(jī)數(shù)表的第5行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第3個樣本編號是（

）844212

533134

578607

362530

073286

234578

890723

68960804325678

084367

895355

773489

948375

225355

783245

77892345A．072 B．134 C．007 D．253【答案】A【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，依次為：253（第1個），313（大于300，不?。?57（大于300，不取），860（大于300，不?。?，736（大于300，不?。?，253（與253重復(fù)，不取），007（第2個），328（大于300，不取），623（大于300，不?。?，457（大于300，不?。?89（大于300，不?。?72（第3個）．故得到的第3個樣本編號是072．故選：A．2．某學(xué)校教務(wù)部門為了解高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，利用隨機(jī)數(shù)表對理科的800名學(xué)生進(jìn)行抽樣測試，先將800個學(xué)生進(jìn)行編號001，002，…，799，800．從中抽取80個樣本，根據(jù)提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（

）3321183429

7864560732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．007 B．328 C．253 D．623【答案】B【解析】根據(jù)題意，從開始，3位3位的數(shù)，