第六章 控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算課件

第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.4減少系統(tǒng)誤差的途徑6.5動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念

對一個(gè)控制系統(tǒng)的要求是穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速.誤差問題即是控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確度問題.過渡過程完成后的誤差稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在過渡過程完成后控制準(zhǔn)確度的一種度量.機(jī)電控制系統(tǒng)中元件的不完善,如靜摩擦、間隙以及放大器的零點(diǎn)漂移、元件老化或變質(zhì)都會(huì)造成誤差.本章側(cè)重說明另一類誤差,即由于系統(tǒng)不能很好跟蹤輸入信號(hào),或者由于擾動(dòng)作用而引起的穩(wěn)態(tài)誤差,即系統(tǒng)原理性誤差.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算

對于一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng),由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入作用的類型(給定量或擾動(dòng)量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或拋物線)不同,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當(dāng),也不可能在任何形式的擾動(dòng)作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原平衡位置.這類由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差稱為原理性穩(wěn)態(tài)誤差.

此外,控制系統(tǒng)中不可避免地存在摩擦、間隙、不靈敏區(qū)等非線性因素,都會(huì)造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差.這類由于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差稱為結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差.

本章只討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差,不討論結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算控制系統(tǒng)的方塊圖如圖6-1所示.實(shí)線部分與實(shí)際系統(tǒng)有對應(yīng)關(guān)系,而虛線部分則是為了說明概念額外畫出的.誤差定義為控制系統(tǒng)希望的輸出量與實(shí)際的輸出量之差,記做e(t),誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差,或稱為靜態(tài)誤差,記作ess.輸入信號(hào)和反饋信號(hào)比較后的信號(hào)ε(t)也能反映系統(tǒng)誤差的大小,稱之為偏差.應(yīng)該指出,系統(tǒng)的誤差信號(hào)e(t)與偏差信號(hào)ε(t),在一般情況下并不相同(見圖6-1).第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算控制系統(tǒng)的誤差信號(hào)的象函數(shù)是(6-1)

而偏差信號(hào)的象函數(shù)是(6-2)

考慮Xi(s)與Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得

(6-3)

及(6-4)比較(6-3)和(6-4)兩式,求得誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間的關(guān)系為第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算對于實(shí)際使用的控制系統(tǒng)來說,H(s)往往是一個(gè)常數(shù),因此通常誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間存在簡單的比例關(guān)系,求出穩(wěn)態(tài)偏差就得到穩(wěn)態(tài)誤差.對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1來說,偏差信號(hào)與誤差信號(hào)相同,可直接用偏差信號(hào)表示系統(tǒng)的誤差信號(hào).這樣,為了求穩(wěn)態(tài)誤差,求出穩(wěn)態(tài)偏差即可.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差單位反饋控制系統(tǒng)圖6-2單位反饋系統(tǒng)6.2.1誤差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)終值定理這就是求取輸入引起的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法.需要注意的是,終值定理只有對有終值的變量有意義.如果系統(tǒng)本身不穩(wěn)定,用終值定理求出的值是虛假的.故在求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差之前,通常應(yīng)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.輸入引起的系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為則第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算圖6-3非單位反饋系統(tǒng)

非單位反饋控制系統(tǒng)輸入引起的系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)為:根據(jù)終值定理一般情況下,H為常值,故這時(shí):第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算例6-1

某反饋控制系統(tǒng)如圖6-4,當(dāng)xi(t)=1(t)時(shí),求穩(wěn)態(tài)誤差.解:該系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定.誤差傳遞函數(shù)為:而則第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.2.2靜態(tài)誤差系數(shù)設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)的類型當(dāng)時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當(dāng)困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)幾乎不用。第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算(1)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號(hào)r(t)=1(t)時(shí),其中，,定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系統(tǒng)第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號(hào)時(shí)r(t)=t·1(t)，即，則有其中,定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)：對于Ⅰ型系統(tǒng)：對于Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng)：第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算(3)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度信號(hào)時(shí)，即則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為其中，,定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，Ka=0，εss=∞；對于Ⅰ型系統(tǒng)，Ka=0，εss=∞；對于Ⅱ型系統(tǒng)，Ka=K，εss=；對于Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng)，Ka=∞，εss=0。所以,0型和Ⅰ型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號(hào).具有單位反饋的Ⅱ型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能跟蹤加速度輸入信號(hào)的.但帶有一定的位置誤差.高于Ⅱ型系統(tǒng)由于穩(wěn)定性差,故不實(shí)用.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算小結(jié)(1)位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、勻加速度輸入時(shí)所引起的輸出位置上的誤差.(2)表6-1概括了0型、I型和II型系統(tǒng)在各種輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)偏差.在對角線上,穩(wěn)態(tài)偏差為無窮大;在對角線下,則穩(wěn)態(tài)偏差為零.(3)靜態(tài)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka分別是0型、I型、II型系統(tǒng)的開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù),而v=0,1,2則表示系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目.(4)對于單位反饋控制系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差.(5)對于非單位反饋控制系統(tǒng),先求出穩(wěn)態(tài)偏差εss后,再按下式求出穩(wěn)態(tài)誤差第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算表6-1各種類型的穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)類型單位階躍單位斜坡單位加速度0型系統(tǒng)∞∞Ⅰ型系統(tǒng)0∞Ⅱ型系統(tǒng)00綜上所述,0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入.在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,具有單位反饋的I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入,但具有一定的誤差.這個(gè)穩(wěn)態(tài)偏差εss反比于系統(tǒng)開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù).在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,II型或高于II型的系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)偏差為零,因而能準(zhǔn)確地跟蹤斜坡輸入.類似地,0型和I型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號(hào).具有單位反饋的II型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能夠跟蹤加速度輸入信號(hào)的.但有一定的位置誤差.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算例6-2

設(shè)有二階振蕩系統(tǒng),其方塊圖如圖6-6所示.試求系統(tǒng)在單位階躍,單位恒速和單位恒加速輸入時(shí)的靜態(tài)誤差.解:該系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定.由于是單位反饋系統(tǒng),偏差即是誤差.另外,該系統(tǒng)為I型系統(tǒng),單位階躍:單位斜坡:單位加速度:第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算上述結(jié)論是在階躍、斜坡等典型輸入信號(hào)作用下得到的,但它有普遍的實(shí)用意義.這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入信號(hào)的變化往往是比較緩慢的,可把輸入信號(hào)在時(shí)間t=0附近展開成泰勒級(jí)數(shù),這樣,可把控制信號(hào)看成幾個(gè)典型信號(hào)之和,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可看成是上述典型信號(hào)分別作用下的誤差總和.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算解:首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由開環(huán)傳遞函數(shù)知,閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示,求當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=2t+t2時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess.第二步,求穩(wěn)態(tài)誤差ess.因?yàn)橄到y(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng),根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性,有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.3干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差所以干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差為:第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算干擾引起的偏差為:根據(jù)終值定理,干擾引起穩(wěn)態(tài)偏差為:

則干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差為:

第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算例6-3

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-8所示,當(dāng)輸入信號(hào)xi(t)=1(t),干擾N(t)=1(t)時(shí),求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差ess.解:第一步要判別穩(wěn)定性.由于是一階系統(tǒng),所以只要參數(shù)K1,K2大于零,系統(tǒng)就穩(wěn)定.第二步,求E(s).因?yàn)槭菃挝环答?穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差相等.先求輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差再求干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差所以,總誤差為第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算例6-4

某直流伺服電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)如圖6-9所示,試求擾動(dòng)力矩N(s)引起的穩(wěn)態(tài)誤差.解:首先應(yīng)選擇合適的G1(s)使系統(tǒng)穩(wěn)定.Kc是測速負(fù)反饋系數(shù),這是一個(gè)非單位反饋的控制系統(tǒng),先求擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差,再求穩(wěn)態(tài)誤差ess.

設(shè)G1(s)=1,系統(tǒng)是一階的,因此穩(wěn)定.圖6-9中,R是電動(dòng)機(jī)電樞電阻,CM為力矩系數(shù),N是擾動(dòng)力矩,干擾作用為一個(gè)常值階躍干擾,故穩(wěn)態(tài)偏差為第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算則穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)Ｋ１Ｋ２ＫＣ＞＞１時(shí)，可見，反饋系數(shù)越大，則誤差越??；干擾量越小，則誤差越小；擾動(dòng)作用點(diǎn)與偏差信號(hào)間的放大倍數(shù)越大，則誤差越?。?/p>

為了進(jìn)一步減少誤差，可讓,稱為比例加積分控制.選擇Ｋ３，使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量，同時(shí)，其穩(wěn)態(tài)偏差為第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算因而穩(wěn)態(tài)誤差ｅss＝０.從物理意義上看，在擾動(dòng)作用點(diǎn)與偏差信號(hào)之間加上積分環(huán)節(jié)就等于加入靜態(tài)放大倍數(shù)為無窮大的環(huán)節(jié)，因此靜態(tài)誤差為０.一般而言，如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動(dòng)是一個(gè)階躍函數(shù)，則只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并且在擾動(dòng)作用點(diǎn)前有一個(gè)積分器，就可以消除階躍擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差．圖６-１０所示為穩(wěn)定系統(tǒng)，Ｇ１（ｓ）和Ｈ（ｓ）中不包含純微分環(huán)節(jié)，根據(jù)題意可表達(dá)為第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算同理,如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動(dòng)是一個(gè)斜坡函數(shù),那么只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定,并且在擾動(dòng)作用點(diǎn)前有兩個(gè)積分器,就可以消除斜坡擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差.圖6-11所示為穩(wěn)定系統(tǒng),G1(s)和H(s)中不包含純微分環(huán)節(jié),根據(jù)題意可表達(dá)為:第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算作為對比,如果將積分器1/s置于干擾點(diǎn)之后,如圖6-12所示.當(dāng)沒有積分器1/s時(shí),第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算當(dāng)設(shè)置積分器1/s時(shí),對比兩種情況可以看出,將積分器1/s置于干擾點(diǎn)之后對消除階躍擾動(dòng)N引起的穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么好處.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算另外需要注意,當(dāng)擾動(dòng)作用點(diǎn)在前向通道時(shí),通過環(huán)節(jié)的調(diào)整可以減少其影響.例如,前面提到的保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,在擾動(dòng)作用點(diǎn)前設(shè)置積分器或在擾動(dòng)作用點(diǎn)前加大放大器增益,可使擾動(dòng)影響減少;但當(dāng)擾動(dòng)作用點(diǎn)在反饋通道時(shí),則很難使擾動(dòng)影響減少.擾動(dòng)作用點(diǎn)在前向通道擾動(dòng)作用點(diǎn)在反饋通道第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.4減小系統(tǒng)誤差的途徑(1)反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)誤差是至關(guān)重要的.反饋通道元部件的精度要高,避免在反饋通道引入干擾.(2)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,對于輸入引起的誤差,可通過增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)型次減小之;對于干擾引起的誤差,可通過在系統(tǒng)前向通道干擾點(diǎn)前加積分器和增大放大倍數(shù)減小之.(3)對于既要求穩(wěn)態(tài)誤差小,又要求良好的動(dòng)態(tài)性能的系統(tǒng).單靠加大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能同時(shí)滿足要求,這時(shí)可采用復(fù)合控制的方法,或稱順饋的辦法來對誤差進(jìn)行補(bǔ)償.補(bǔ)償?shù)姆绞娇煞殖砂锤蓴_補(bǔ)償和按輸入補(bǔ)償兩種.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算順饋又稱前饋,它是從系統(tǒng)輸入端,通過設(shè)置順饋通道而引進(jìn)順饋信號(hào),將之加到系統(tǒng)某個(gè)中間環(huán)節(jié),以補(bǔ)償擾動(dòng)信號(hào)對系統(tǒng)輸出的影響,或減小系統(tǒng)響應(yīng)控制信號(hào)的誤差.順饋的缺點(diǎn)是在使用時(shí)需要對系統(tǒng)有精確的了解,只有了解了系統(tǒng)模型才能有針對性的給出預(yù)測補(bǔ)償.但在實(shí)際工程中,并不是所有的對象都是可得到精確模型的,而且大多數(shù)控制對象在運(yùn)行的同時(shí)自身的結(jié)構(gòu)也在發(fā)生變化.所以僅用順饋并不能達(dá)到良好的控制品質(zhì).這時(shí)就需要加入反饋,反饋的特點(diǎn)是根據(jù)偏差來決定控制輸入,不管對象的模型如何,也不管外界的干擾如何,只要有偏差,就根據(jù)偏差進(jìn)行糾正,可以有效的消除穩(wěn)態(tài)誤差.解決順饋不能控制的不可測干擾.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算當(dāng)干擾直接可測量時(shí),那么可利用這個(gè)信息進(jìn)行補(bǔ)償.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示.Gn(s)為補(bǔ)償器的傳遞函數(shù).輸出對干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

令則干擾對輸出的影響可消除，得到對于干擾全補(bǔ)償?shù)臈l件為:1.按干擾補(bǔ)償?shù)诹驴刂葡到y(tǒng)的誤差分析和計(jì)算(1)從結(jié)構(gòu)圖可看出,實(shí)際上是利用雙通道原理使擾動(dòng)信號(hào)經(jīng)兩條通道到達(dá)相加點(diǎn)時(shí)正好大小相等,方向相反.從而實(shí)現(xiàn)了干擾的全補(bǔ)償.(2)但在實(shí)際的系統(tǒng)中,有時(shí)是難以實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)橐话阄锢硐到y(tǒng)的傳遞函數(shù)分母的階數(shù)總比分子的階數(shù)高.一般采取近似的補(bǔ)償,以減小給定或擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算2.按輸入補(bǔ)償(應(yīng)用順饋減小輸入引起的誤差)按下面推導(dǎo)確定Gr(s),使系統(tǒng)滿足輸入信號(hào)作用,誤差得到全補(bǔ)償.即應(yīng)用順饋控制實(shí)現(xiàn)輸出信號(hào)對輸入信號(hào)的完全復(fù)現(xiàn).

第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算從上面分析可以看出,按輸入補(bǔ)償?shù)霓k法,實(shí)際上相當(dāng)于將輸入信號(hào)先經(jīng)過一個(gè)環(huán)節(jié),進(jìn)行一個(gè)“整形”,然后再加給系統(tǒng)回路使系統(tǒng)既能滿足動(dòng)態(tài)性能的要求,又能保證高穩(wěn)態(tài)精度.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.5動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差相同的系統(tǒng)其誤差隨時(shí)間的變化常常并不相同,

系統(tǒng)誤差隨時(shí)間的變化——?jiǎng)討B(tài)誤差靜態(tài)位置、靜態(tài)速度和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)均相同,穩(wěn)態(tài)誤差相等;但時(shí)間常數(shù)、阻尼比有差別,則過渡過程將不同,其誤差隨時(shí)間的變化也不相同.研究動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)就可能提供一些關(guān)于誤差隨時(shí)間變化的信息,即系統(tǒng)在給定輸入作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差以前的變化規(guī)律.第六章控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算對于單位反饋系統(tǒng),輸入引起的誤差傳遞函數(shù)在s=0的鄰域展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù),并近似地取到n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),即得

將上式進(jìn)行拉氏反變換,得

第六章控制系統(tǒng)的誤