2023學年完整公開課版集合5課時

第一章集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念第一章本章內(nèi)容1.1

集合1.2

函數(shù)及其表示1.3

函數(shù)的基本概念第一章小結1.1

集合1.1.1

集合的含義與表示1.1.3

集合間的基運算(第一課時)1.1.2

集合間的基本關系1.1.3

集合間的基運算(第二課時)復習與提高1.1.1集合的含義與表示返回目錄康托爾（1845～1918）

Cantor，GeorgFerdinandPhilip

德國數(shù)學家。集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日卒于哈雷。

1862年入瑞士蘇黎世大學，翌年轉入柏林大學，主修數(shù)學，師從E.E.庫默爾、K.魏爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。

1867年獲博士學位。曾任哈雷大學教授。大學期間康托爾主修數(shù)論，受魏爾斯特拉斯的影響，對嚴格的數(shù)學分析理論感興趣。

他在1872年以本序列（即柯西序列）定義無理數(shù)的實數(shù)理論，并初步提出以高階導出集的性質(zhì)作為對無窮集合的分類準則。

1873年他用一一對應關系作為對無窮集合分類的準則。他巧妙地將一條直線上的點與一個平面甚至幾維空間的點一一對應起來。在研究無窮數(shù)與超限數(shù)理論時，他還引進勢、基數(shù)、序數(shù)等概念并定義了基數(shù)之間的運算及序的運算法則，對有限數(shù)集理論作出了重要貢獻。

19世紀70年代許多數(shù)學家只承認有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的。他們不承認已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合?？低袪柤险摽隙俗鳛橥瓿烧w的實無窮，從而遭到了一些數(shù)學家和哲學家，特別是克羅內(nèi)克的批評與攻擊。另一方面，康托爾創(chuàng)建集合論的工作開始時就得到戴德金、魏爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和贊揚。20世紀以后集合論不斷發(fā)展，已成為數(shù)學的基礎理論。

1.

集合是什么?2.

集合的元素有什么特性?3.

元素與集合的關系用什么符號表示?5.

常用的一些數(shù)集分別用什么字母表示?4.

集合有哪些表示方法?學習要點設置問題情境:教師向全班同學發(fā)出口令:“請同學們聽我口令”1.“全體女生,起立!”(起立后)“請坐下.”2.“全體個子較高的同學,起立!”(起立,或似起非起,然后)“請坐下.”3.“全體年齡小于3歲的同學,起立!”(沒人).(此張幻燈片僅供教師參考,播放時隱藏)1.全體女生,起立!2.全體個子較高的同學,起立!3.全體年齡小于3歲的同學,起立!問題1.

以上的口令中,同學們發(fā)現(xiàn)了什么問題?第一、三句口令,所指對象確定.第二句口令,所指對象不確定.請同學們聽我口令

問題2.

下列各語句中所指對象是否確定?(1)1~20以內(nèi)的所有素數(shù);(2)

我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星.(3)本校所有年齡較大的教師.(4)所有的正方形.(5)

方程x2-2=0的所有有理近似根;(6)

滿足x≥0的所有實數(shù).(1),(2),(4),(6)中所指對象是確定的.(3),(5)中所指對象不確定.

問題3.

在初中,同學們接觸過集合,對下列語句(1)(2)(4)(6),請你試用集合的語句表述.(1)1~20以內(nèi)的所有素數(shù);(2)

我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星.(3)本校所有年齡較大的教師.(4)所有的正方形.(5)

方程x2-2=0的所有有理近似根;(6)

滿足x≥0的所有實數(shù)x.(1)1~20以內(nèi)的素數(shù)集合.(2)我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的人造衛(wèi)星集合.(4)正方形集合.(6)滿足x≥0的實數(shù)x的集合.

問題3.

在初中,同學們接觸過集合,對下列語句(1)(2)(4)(6),請你試用集合的語句表述.(1)1~20以內(nèi)的所有素數(shù);(2)

我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星.(3)本校所有年齡較大的教師.(4)所有的正方形.(5)

方程x2-2=0的所有有理近似根;(6)

滿足x≥0的所有實數(shù)x.(1)1~20以內(nèi)的素數(shù)集合.(2)我國從1991~2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的人造衛(wèi)星集合.(4)正方形集合.(6)滿足x≥0的實數(shù)x的集合.(3)本校所有年齡較大的教師集合問題4.

請問,什么是集合呢?

一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合

(簡稱為集).集合中的每個對象叫做這個集合的元素.

集合通常用大寫拉丁字母A,B,C,…

表示.元素通常用小寫字母a,b,c,…

表示.

如果a是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作a

A;

如果a不是集合A的元素,就說a不屬于集合A,記作a

A.如:

設A

是1~20以內(nèi)的素數(shù)集合.4

A,6A,8A,……則3

A,5A,7A,……

非負整數(shù)集（自然數(shù)集），記作N；

正整數(shù)集，記作N*

或N+

.

為研究問題的方便,數(shù)學中一些常用的數(shù)集通常用以下字母表示:

整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R.

集合中的元素是有限個的集合叫有限集,集合中的元素是無限多個的集合叫無限集.練習(補充):

用符號

,把元素-1,0,0.5,與自然數(shù)集N,正整數(shù)集N+,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實數(shù)集R連接起來.-1

N;-1

N+;-1

Z;-1

Q;-1

R.0

N;0

N+;0

Z;0

Q;0

R.0.5

N;0.5

N+;0.5

Z;0.5

Q;0.5

R.

問題5.

前面我們說到的集合如“滿足x≥0的實數(shù)x

的集合”是用自然語言表示的,也可用大寫的英文字母表示.為了數(shù)學研究的方便,你設想集合還可怎樣表示?集合的表示:1.

自然語言表示:如:1~20以內(nèi)的素數(shù)集合.2.

列舉法:

把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來,如：集合{1，2,3,5,7,9,11,13,15，17,19}.3.

描述法:用集合中元素的共同特征進行描述.其表示方法:(1)在花括號內(nèi),(2)表示元素的一般符號及取值范圍,(3)豎線分隔,(4)描述語言.如:{x

N+

|x<20,且x是質(zhì)數(shù)}.

對于兩個集合,只要構成集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的.如:

A={1,2,3,4,5},B={5,3,2,4,1}.A=B.又如:

C={x|x=2k+1,kZ},D={x|x是奇數(shù)}.C=D.

用列舉法表示集合時,集合中的元素應各不相同,即不能有重復,而且與排列順序無關.例1.

用列舉法表示下列集合:(1)

小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)

方程x2=x

的所有實數(shù)根組成的集合;(3)

由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.解:(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.設小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,則設方程x2=x

的所有實數(shù)根組成的集合為B,則(2)B={0,1}.(3)設由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,則C={2,3,5,7,11,13,17,19}.例2.

試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)

方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)

由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.解:(1)用描述法表示:設方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合為A,A={x

R|x2-2=0}.用列舉法表示:解出方程的根得例2.

試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)

方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)

由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.解:(2)用描述法表示:用列舉法表示:設由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合為B,B={xZ|10<x<20}.B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.練習:(課本5頁)第1、2題.1.

用符號“

”或“

”填空:(1)

設A為所有亞洲國家組成的集合,則:

中國

A,美國

A,

印度

A,英國

A;(2)

若A={x|x2=x},則-1

A;

(3)

若B={x|x2+x-6=0},則3

B;(4)

若C={xN|1≤x≤10},則8

C,9.1

C.

練習:(課本5頁)2.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)

由方程x2-9=0的實根組成的集合;

(2)

由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;(3)

一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點坐標組成的集合;(4)

不等式4x-5<3的解集.解:(1)列舉法:設由方程x2-9=0的實根組成的集合為A,A={-3,3}.或描述法:A={x

R|x2-9=0}.2.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)

由方程x2-9=0的實根組成的集合;

(2)

由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;(3)

一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點坐標組成的集合;(4)

不等式4x-5<3的解集.解:(2)列舉法:設由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為B,B={2,3,5,7}.或描述法:B={x<8

|x是質(zhì)數(shù)}.2.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)

由方程x2-9=0的實根組成的集合;

(2)

由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;(3)

一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點坐標組成的集合;(4)

不等式4x-5<3的解集.解:(3)列舉法:C={(1,4)}.或描述法:設一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點坐標組成的集合為C,解方程組得交點坐標為(1,4),C={(x,y)

|

}.2.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)

由方程x2-9=0的實根組成的集合;

(2)

由小于8的所有質(zhì)數(shù)組成的集合;(3)

一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點坐標組成的集合;(4)

不等式4x-5<3的解集.解:(4)描述法表示為:設不等式4x-5<3的解集為D,則D={x

R

|4x-5<3

},化簡得D={x

R

|x<2

}.【課時小結】1.

元素與集合研究的對象統(tǒng)稱為元素.某些元素組成的總體叫做集合.如果a

是集合A

的元素,就說a

屬于A,記作a

A.如果a

不是集合A

的元素,就說a

不屬于A,記作a

A.集合中的元素是無限多個的集合叫無限集.集合中的元素是有限個的集合叫有限集,【課時小結】2.

集合中元素的特性:(1)確定性,(2)互異性,(3)無序性.【課時小結】3.

集合的表示法集合通常用大寫拉丁字母表示.自然語言表示;列舉法表示;描述法表示.表示方法有:【課時小結】4.

一些常用數(shù)集的字母表示.

非負整數(shù)集（自然數(shù)集），記作N；

正整數(shù)集，記作N*

或N+

.

整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R.習題1.1A組第1、2、3、4題.習題1.1A組1.

用“

”或“

”符號填空:

(1)

Q;(2)32

N;

(3)

p

Q;(4)

R;

(5)

Z;(6)

N.

2.

已知A={x|x=3k-1,kZ},用“

”或“

”符號填空:(1)5

A;(2)7

A;(3)

-10

A.

3.

用列舉法表示下列給定的集合:(1)

大于1且小于6的整數(shù);(2)

A={x|(x-1)(x+2)=0};(3)

B={x

Z|-3<2x-1≤3}.解:(1)設大于1且小于6的整數(shù)組成的集合為M,則M={2,3,4,5}.(2)集合A的元素是方程(x-1)(x+2)=0的根,∴A={1,-2}.(3)∴B={0,1,2}.取解中的整數(shù)組成集合,∵不等式-3<2x-1≤3的解為4.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)

二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合;(2)

反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合;(3)

不等式3x≥4-2x的解集.解:(1)∵x2-4≥-4,設所求集合為A,則A={y|y≥-4}.(2)設所求集合為B,則B={x

R|x≠0}.函數(shù)的自變量的取值范圍是,x

R且x≠0,4.

試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)

二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合;(2)

反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合;(3)

不等式3x≥4-2x的解集.解:(3)設所求集合為C,則解不等式3x≥4-2x得:C={x

R|

}.集合間的基本關系1.1.21.1.21.1.21.1.2返回目錄1.

什么是子集?什么是真子集?它們分別用什么符號表示?2.

子集和真子集可用什么樣的圖形表示?3.

怎樣用子集的概念來定義相等集合?4.

什么是空集?學習要點

問題1.

觀察下列各組中A、B兩個集合,看看它們之間有什么關系,這個關系你認為怎樣表示較為恰當?(1)

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)

A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)

A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.(1)(2)中,集合A的任一元素都是集合B的元素,我們就叫做集合A包含于集合B,或集合B包含A

B(或B

A).集合A與B存在一種包含關系,這時我們稱A是B的子集,記作集合A,

問題1.

觀察下列各組中A、B兩個集合,看看它們之間有什么關系,這個關系你認為怎樣表示較為恰當?(1)

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)

A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)

A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.包含關系可以用圖形表示,如圖:這種圖稱為Venn圖(韋恩).A

B(或B

A).BA

問題1.

觀察下列各組中A、B兩個集合,看看它們之間有什么關系,這個關系你認為怎樣表示較為恰當?(1)

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)

A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)

A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.(2)中集合A與集合B的元素相同,即A與B是相等的集合.

集合A的任一元素都是集合B的元素;而集合B的任一元素也都是集合A的元素,即B也是A的子集.當A

B

且B

A

時,

A=B.

問題1.

觀察下列各組中A、B兩個集合,看看它們之間有什么關系,這個關系你認為怎樣表示較為恰當?(1)

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)

A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)

A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.(1)中集合A是集合B的子集,且B中存在元素不屬于A,即存在我們稱A是B的真子集,記作x

B,且x

A,A

B(或B

A).

問題1.

觀察下列各組中A、B兩個集合,看看它們之間有什么關系,這個關系你認為怎樣表示較為恰當?(1)

A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};(2)

A={x|x是兩條邊相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)

A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.(3)中集合A沒有元素,這樣的集合我們叫做空集,用符號“

”表示

.

規(guī)定:

空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.

問題2.

任何一個集合與它本身是什么關系?如果集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,那么A與C是什么關系?任一集合是它本身的子集,如A

A.如果x

A,A

B,

x

B,又B

C,

A

C,

x

C,即如果A

B,且B

C,那么A

C.

例3.

寫出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.解:集合{a,b}的子集有:0個元素的:,1個元素的:{a},,2個元素的:{a,b}.其中

,{a},是集合{a,b}的真子集.練習:(課本7頁)第1、2、3題.1.

寫出集合{a,b,c}的所有子集.解:集合{a,b,c}的所有子集有,{a},,{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}.練習:(課本7頁)2.

用適當?shù)姆柼羁?(1)

a

{a,b,c};(2)0

{x|x2=0};(3)

{x

R|x2+1=0};(4){0,1}

N;(5){0}

{x|x2=x};(6){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

==3.

判斷下列兩個集合之間的關系:

(1)

A={1,2,4},B={x|x是8的約數(shù)};

(2)

A={x|x=3k,k

N},B={x|x=6z,z

N};

(3)

A={x|x是4與10的公倍數(shù),x

N+},B={x|x=20m,m

N+}解:(1)B={x|x是8的約數(shù)}={1,2,4,8},∴AB.(2)A={x|x=3k,k

N}={0,3,6,9,12,15,…},B={x|x=6z,z

N}={0,6,12,18,…},∴AB.3.

判斷下列兩個集合之間的關系:

(1)

A={1,2,4},B={x|x是8的約數(shù)};

(2)

A={x|x=3k,k

N},B={x|x=6z,z

N};

(3)

A={x|x是4與10的公倍數(shù),x

N+},B={x|x=20m,m

N+}解:(3)∵4與10的最小公倍數(shù)是20,∴A={20,40,60,…},∴B={20,40,60,…},則得A=B.集合B

的元素是20的正整數(shù)倍,【課時小結】1.

子集

集合A

的任一元素都是集合B

的元素,則稱集合A

包含于集合B,集合B

包含集合A,集合A

叫集合B

的子集,即如果a

A,則a

B,那么A

B,B

A.wenn圖:BA【課時小結】2.

真子集:

如果集合A

是集合B

的子集,且B

中存在不屬于A

的元素,則稱A

是B

的真子集,即A

B.

3.

相等集合如果A

B

且B

A,則A=B.【課時小結】4.

空集沒有元素的集合叫空集,用符號表示.

空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.習題1.1A組第5題.習題1.1A組5.

選用適當?shù)姆柼羁?(1)

已知集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},則有

-4

B,-3

A.{2}

B,B

A;(2)

已知集合A={x|x2-1=0},則有:1

A,{-1}

A,

A,{1,-1}

A;(3){x|x是菱形}

{x|x是平行四邊形},{x|x是等腰三角形}

{x|x是等邊三角形}.A={x|x>-3}.

A={-1,1}.

=1.1.3集合的基本運算第一課時集合的基本運算返回目錄1.

兩集合的并集運算是什么意思?怎樣進行兩集合的并集運算?2.

怎樣用圖形或數(shù)軸表示兩集合的并集?3.

什么是兩集合的交集?怎樣運算兩集合的交集?4.

怎樣用圖形或數(shù)軸表示兩集合的交集?學習要點

問題1.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={1,3,5,7,9},請用屬于集合A,或屬于集合B

的所有元素組成一個新的集合C,請問C

與A,C

與B

是什么關系?你想用A

與B

怎樣表示C?1.并集1,2,3,4,5,C

A,C

B.

一般地,由所有屬于A或屬于B的元素構成的集合,稱為A與B的并集，用符號“∪”表示，即

A∪B={x|x

A，或x

B},讀作“A并B”.}.C={C

與A,C

與B

的關系是:1,3,5,7,9AB(元素需互異)屬于A或屬于BBAA∪B={x|又如:

A={x|x>-1},B={x|x<1}.如:

A={a,b,c,d},B={a,d,e,m,n}.adA∪B={a,b,c,d(如圖)x-11,e,m,n}.cbenmx∈R}.AB

并集的運算可用Venn圖表示.在數(shù)集的運算中,也通常借助數(shù)軸.

例4.

設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

例5.

設集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求A∪B.解:x-1123A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.ABC={1,5}.

問題2.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={1,3,5,7,9},用列舉法寫出C={x|x

A，且x

B}.請問C

與A,C

與B

是什么關系?你想用A

與B

怎樣表示C?3,C

A,C

B.

一般地,由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集，用符號“∩”表示，即

A∩B={x|x

A，且x

B},讀作“A交B”.2.交集C

與A,C

與B

的關系是:BAA∩B=又如:

A={x|x>-1},B={x|x<1}.如:

A={a,b,c,d},B={a,d,e,m,n}.bcemnadA∩B={a,d}.如圖:x-11{x|-1<x<1}.AB

交集的運算也可用Venn圖表示.在數(shù)集的運算中,也通常借助數(shù)軸.

例6.

新華中學開運動會,設A={x|x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學},B={x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學},求A∩B.解:既屬于A又屬于B的元素是:既參加百米賽跑,又參加跳高比賽的同學.∴A∩B={x|x是新華中學高一年級既參加百米賽跑,又參加跳高比賽的同學}.

例7.

設平面內(nèi)直線l1上點的集合為L1,直線l2上點的集合為L2,試用集合的運算表示l1、l2的位置關系.解:(1)當直線l1、l2

平行時,兩直線無公共點,則表示直線的兩集合的交集為空集,即L1∩L2=.(2)當直線l1、l2

相交時,設交點為P,則表示直線的兩集合的交集是只有單元素點P的集合,L1∩L2={點P}.即(3)當直線l1與l2

重合時,公共部分就是l1

或l2,則l1

與l2

的交集為L1∩L2=L1=L2.練習:(課本11頁)第1、2、3題.1.

設A={3,5,6,8},

B={4,5,7,8},求A∩B,A∪B.解:A∩B={5,8}.練習:(課本11頁)A∪B={3,4,5,6,7,8}.2.

A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2=1},求A∪B,A∩B.解:A={x|x2-4x-5=0}={-1,5},B={x|x2=1}={-1,1},A∪B={-1,5}∪{-1,1}={-1,1,5};A∩B={-1,5}∩{-1,1}={-1}.3.

已知A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B,A∪B.解:A∩B={x|x是既等腰,又有直角的三角形}={x|x是等腰直角三角形}.A∪B={x|x是等腰三角形,或直角三角形}.【課時小結】1.

并集若C={x|x

A,或x

B},則A∪B=C.ABA∪BABA∪Bx2.

交集若C={x|x

A,且x

B},則A∩B=C.ABA∩BABA∩BxA

A∪B,B

A∪B.A

A∩B,B

A∩B.習題1.1A組第6、7、8題.B組第1、3題.6.

設集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.解:化簡集合B={x|x≥3},∴A∪B={x|x≥2}.A∩B={x|3≤x<4}.習題1.1A組7.

設A={x|x是小于9的正整數(shù)},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求A∩B,A∩C,A∩(B∪C),A∪(B∩C).解:∵A={1,2,3,4,5,6,7,8},∴A∩B={1,2,3}.A∩C={3,4,5,6}.又B∪C={1,2,3,4,5,6},B∩C={3},∴A∩(B∪C)={1,2,3,4,5,6}.A∪(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}.8.

學校里開運動會,設A={x|x

是參加一百米跑的同學},B={x|x

是參加二百米跑的同學},C={x|x是參加四百米跑的同學},學校規(guī)定,每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項,請你用集合的運算說明這項規(guī)定,并解釋以下集合運算的含義:

(1)

A∪B;(2)

A∩C.解:每位同學最多只能參加兩項比賽,即每位同學不能同時參加三項比賽,則A∩B∩C=.(1)A∪B表示參加一百米跑,或二百米跑的所有同學的全體.(2)A∩C表示一百米跑和四百米跑兩項都參加的同學的全體.B組1.

已知集合A={1,2},集合B滿足A∪B={1,2},則集合B有

個.解:∵{1,2}∪

={1,2},{1,2}∪{1}={1,2},{1,2}∪{2}={1,2},{1,2}∪{1,2}={1,2},∴滿足條件的集合B有4個.43.

設集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a

R},B={x|(x-4)(x-1)=0},求A∪B,A∩B.解:化簡集合A={3,a},化簡集合B={1,4},(1)當a=1時,A∪B=A∩B={1,3,4};{1}.(2)當a=4時,A∪B=A∩B={1,3,4};{4}.(2)當a≠1,且a≠4時,A∪B=A∩B={1,3,4,a};.1.1.3集合的基本運算第二課時集合的基本運算返回目錄

1.

什么是全集?什么是一個集合A

在全集中的補集?用什么符號表示?2.

怎樣用圖形或數(shù)軸表示一個集合的補集?3.

集合交、并、補的綜合運算.學習要點

問題3.集合A={1,3,5},集合U={1,2,3,4,5,6},請用列舉法寫出一個新的集合B={x|x

U,x

A},并說明A與U的關系,B與U的關系.A、B、U的元素又有哪些關系?A?U,B?U.

在集合U中,去掉A的元素后,所剩元素構成集合B.

這時,我們把集合U

叫做全集,集合B

叫做集合A

在U

中的補集.3.補集由

B={x|x

U,x

A}得B={2,4,6}.

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U.全集:U={-2,-1,0,1,2}集合A={-2,-1}A的補集:?UA={全集UA?UA?0,2}.1,

對于集合A,由全集U

中不屬于A

的所有元素組成的集合,稱為集合A

相對于全集U

的補集,簡稱A

的補集,記作?UA,即?UA={x|x

U,且x

A}.如:用Venn圖表示補集如圖:

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U.設全集:U=R,集合A={x|x<-1}A的補集:?UA=

?UA?

對于集合A,由全集U

中不屬于A

的所有元素組成的集合,稱為集合A

相對于全集U

的補集,簡稱A

的補集,記作?UA,即?UA={x|x

U,且x

A}.又如:xA{x|x≥-1}.或CRA={x|x≥-1}.-1

例8.

設U={x|x是小于9的正數(shù)},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求?UA,?UB.解:化簡U={1,2,3,4,5,6,7,8},?UA={4,5,6,7,8}.?UB={1,2,7,8}.

例9.

設全集U={x|x

是三角形},A={x|x

是銳角三角形},B={x|x

是鈍角三角形}.求A∩B,?U(A∪B).解:是銳角三角形就不是鈍角三角形,是鈍角三角形就不是銳角三角形,∴A∩B=.∵A∪B={x|x

是銳角三角形或鈍角三角形},∴?U(A∪B)={x|x

是直角三角形}.問:

能寫出CU(A∩B)嗎?CU(A∩B)={x|x是三角形}=U.練習:(課本11頁)第4題.練習:(課本11頁)4.

已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩(?UB),(?UA)∩(?UB).解:∵?UA={1,3,6,7},?UB={2,4,6},∴A∩(?UB)={2,4,5}∩{2,4,6}(?UA)∩(?UB)={1,3,6,7}∩{2,4,6}={2,4};={6}.【課時小結】1.

全集若B={x|x

U,且x

A,A

U},則B=CUA.CUA=C1∪C2x2.

補集

所研究問題中設定的一個集合,它包含研究問題中所涉及的所有元素.UAB=CUAUAC1C2習題1.1A組第9、10題.B組第2、4題.9.

設S={x|x是平行四邊形或梯形},A={x|x是平行四邊形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},求B∩C,?AB,?SA.解:{x|x是鄰邊不相等的平行四邊形}.B∩C={x|x是正方形}.?AB=?SA={x|x是梯形}.習題1.1A組10.

已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B),?R(A∩B),(?RA)∩B,A∪(?RB).解:∵A∪B={x|2<x<10},∴?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.∵A∩B={x|3≤x<7},∴?R(A∩B)={x|x<3,或x≥7}.∵?RA={x|x<3,或x≥7},∴(?RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.∵?RB={x|x≤2,或x≥10},∴A∪(?RB)={x|x≤2,或3≤x<7,或x≥10}.xxAB2103737210?RA?RABx37210?RB?RBA2.

在平面直角坐標系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直線y=x,從這個角度看,集合D=

表示什么?集合C、D之間有什么關系?解:與直線x+4y=5的交點,即集合表示直線2x-y=1D={(1,1)}.∵點(1,1)在直線y=x

上,∴集合D是集合C的真子集,即DC.B組4.

已知全集U=A∪B={x

N|0≤x≤10},A∩()

={1,3,5,7},試求集合B.UB解:∵A∩()

={1,3,5,7},∴1

A,3A,5A,7A;1

B,3B,5B,7B;又

A∪B={x

N|0≤x≤10}∴B=={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.{0,2,4,6,8,9,10}.4.

已知全集U=A∪B={x

N|0≤x≤10},A∩()

={1,3,5,7},試求集合B.UB解:∵A∩()

={1,3,5,7},剩下的數(shù)就在陰影以外,即∴B={0,2,4,6,8,9,10}.法二:

圖示法,A1357BA∩()∴陰影部分只能有1,3,5,7這四個數(shù),024689復習與提高返回目錄知識要點1.

元素與集合a

屬于A,記作a

A.a

不屬于A,記作a

A.集合中的元素是無限多個的集合叫無限集.集合中的元素是有限個的集合叫有限集,集合中的元素具有(1)確定性,(2)互異性,(3)無序性.知識要點2.

集合的表示(1)列舉法(2)描述法將元素一一列舉在花括號內(nèi).在花括號內(nèi)描述集合元素共有的特征.(3)圖示法用Venn圖或數(shù)軸等直觀表示.知識要點3.

常用數(shù)集的字母表示.

非負整數(shù)集（自然數(shù)集），記作N；

正整數(shù)集，記作N*

或N+

.

整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R.知識要點4.

包含關系

A

的任一元素都是B

的元素,則A

包含于B,B

包含A,A

叫B

的子集.即如果a

A,則a

B,那么A

B,B

A.BA

若B

中存在不屬于A

的元素,則稱A

是B

的真子集,記作A

B.

知識要點5.

空集與相等集合如果A

B

且B

A,則A=B.沒有元素的集合叫空集,有符號表示.

空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.知識要點6.

并集

由所有屬于A

或屬于B

的元素組成的集合稱為A

與B

的并集.若C={x|x

A,或x

B},則A∪B=C.ABA∪BABA∪BxA

A∪B,B

A∪B.知識要點7.

交集

由屬于A

且屬于B

的所有元素組成的集合稱為A

與B

的交集.若C={x|x

A,且x

B},則A∩B=C.ABA∩BABA∩BxA

A∩B,B

A∩B.知識要點8.

全集與補集若B={x|x

U,且x

A,A

U},則B=CUA.CUA=C1∪C2x

由全集U

中不屬于A

的所有元素組成的集合稱為A

在U

中的補集.問題所涉及的所有元素組成的集合稱為全集.UAB=CUAUAC1C2

例1.

若集合A={-1,1},B={0,2},則集合C={z|z=x+y,x

A,y

B}中的元素的個數(shù)為()(A)5(B)4(C)3(D)2分析:(1)集合C中

x

A,y

B的含義是什么?(2)元素z

如何得到?x

A,y

B:

則x=

y=

則集合C中的元素z

有-1+0=-1,4個元素嗎-1+2=1,1+0=1,1+2=3.元素互異,只有三個元素.C-1,或1;0,或2.例題選講

例2.

若集合A={-1,1},B={0,2},則集合C={(x,y)|x

A,y

B}中的元素的個數(shù)為()(A)5(B)4(C)3(D)2分析:這是例1的變式.集合C

中的元素是有序數(shù)對(x,y),由

x

A,y

B得C

中的元素為:(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2).B

例3.

已知集合A={x|x2-3x+2=0,xR}.B={x|0<x<5,xN},則滿足條件A

C

B

的集合C

的個數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4思路:第一步:求出A、B

中各有哪些元素.第二步:理解A

C

B

的含義.第三步:分析滿足第二步中的條件的集合C有哪些.

例3.

已知集合A={x|x2-3x+2=0,xR}.B={x|0<x<5,xN},則滿足條件A

C

B

的集合C

的個數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4解:用列舉法寫出集合A、B:A={1,2},B={1,2,3,4}.(1)由A

C知,A

中的元素必須全部屬于C,則集合C={1,2,…}.(2)由C

B知,C

中的元素必須屬于B.那么有哪幾種情況?除有元素1和2外,在集合B

中可以不取,取3,取4,取3,4.共有4種情況.D請你自己總結一下解答這題的要點.

例3.

已知集合A={x|x2-3x+2=0,xR}.B={x|0<x<5,xN},則滿足條件A

C

B

的集合C

的個數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4D

例4.

設全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={xN|1≤2x-1≤5},Q={3,4,5},則P∩(CUQ)的子集的個數(shù)有()(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個分析:(1)用列舉法表示集合P={1,2,3}.(2)計算CUQ={1,2,6}.(3)計算P∩(CUQ)

={1,2}.(4)P∩(CUQ)

={1,2}的子集有,{1},{2},{1,2}.(你解答此題會在什么地方出錯嗎?)C

例5.

已知M,N

為集合I

的非空子集,且M,N不相等,若N∩CIM=,則M∪N=()(A)M(B)N(C)I(D)分析:題設中所給集合不是具體集合,則考慮用Venn圖.在全集I

內(nèi)的集合M,N

滿足N∩CIM=,其含畫出滿足這個條件的圖形.既在集合N

中且又不在集合M

中的那個位置無元素.義是:INM無元素則可看出M∪N=M.A(你學會了根據(jù)條件畫圖嗎?)補充練習共8題1.

已知集合A={x

R||x|<2},Z

為整數(shù)集,則集合A∩Z

中所有元素的和等于

.2.

集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},則a

的值為

.

3.

設集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},則滿足S

A且S∩B≠的集合S的個數(shù)是()(A)3(B)6(C)9(D)12

4.

滿足M

{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4

5.

已知集合A={1,3,},B={1