角平分線的性質(zhì)同步測(cè)試題含答案解析

角平分線的性質(zhì)測(cè)試題時(shí)間：60分鐘總分：100題號(hào)一二三四總分得分一、選擇題（本大題共11小題，共33.0分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF//AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC正好平分∠ABF，AE=2BF.給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DBA.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接EF與AD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論不一定成立的是()A.DE=DF B.AE=AF C.如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線A.∠BAC=60° B.∠DOC=85如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適宜長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，不不大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，ABA.15 B.30 C.45 D.60為增進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一種度假村，如圖所示，若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在()A.三角形ABC三條高線的交點(diǎn)處

B.三角形ABC三條角平分線的交點(diǎn)處

C.三角形ABC三條中線的交點(diǎn)處

D.三角形ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD=PE，則△APD與△A.SAS

B.AAA

C.SSS

D.HL

如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足為A，OA=8，PA=6，Q是射線OM上的一種動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的最小值是(A.10

B.8

C.4

D.6

三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一種如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一種集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是()A.三條高線的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)如圖：△ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論對(duì)的的是()

①PA=PC

②BP平分∠ABC

③P到AB，BC的距離相等

④BPA.①② B.①④ C.③② D.③④如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cmA.2cm

B.4cm

C.1.2cm

D.2.4如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一種定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不變；(3)四邊形PMON的面積不變；A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題（本大題共11小題，共33.0分）如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF//OB，EC⊥OB如圖，已知BD⊥AE于點(diǎn)B，DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠如圖，△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，O到AB的距離為3，且△ABC的周長(zhǎng)為18，則△ABC的面積為_(kāi)_____．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適宜長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，不不大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AB交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，沿過(guò)點(diǎn)B的一條直線BE折疊△ABC，使點(diǎn)C正好落在AB邊的中點(diǎn)D處，則∠邊長(zhǎng)為7，24，25的△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到三邊距離相等，則這個(gè)距離為_(kāi)_____．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OA上的一種動(dòng)點(diǎn)，若PM=5，則PN的最小值為_(kāi)_____．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，交BC邊于點(diǎn)D，若CD=2，則△如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若CD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為_(kāi)_____隨著人們生活水平的不停提高，汽車(chē)逐步進(jìn)入到千家萬(wàn)戶，小紅的父親想在本鎮(zhèn)的三條互相交叉的公路(如圖所示)，建一種加油站，規(guī)定它到三條公路的距離相等，這樣可供選擇的地址有______處.已知OC平分∠AOB，點(diǎn)P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于D，且PD=3cm，過(guò)點(diǎn)P作PE//OA交OB于E，∠AOB三、計(jì)算題（本大題共3小題，共18.0分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F(xiàn)分別是BC，AC

如圖，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，梯形周長(zhǎng)為40，對(duì)角線BD平分∠ABC，求梯形的腰長(zhǎng)及兩底邊的長(zhǎng)．

某私營(yíng)公司要修建一種加油站，如圖，其設(shè)計(jì)規(guī)定是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路m、n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標(biāo)出它的位置.(要有作圖痕跡)

四、解答題（本大題共2小題，共16.0分）如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．

(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并闡明理由；

(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=210，點(diǎn)

如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問(wèn)PC與PD相等嗎？試闡明理由．

答案和解析【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 7.D

8.C 9.C 10.D 11.B 12.4

13.150°14.27

15.30

16.30

17.3

18.5

19.8

20.3

21.4

22.6

23.解：作BH平分∠ABC交AC于H，連結(jié)HE，如圖，

∵BH平分∠ABC，

∴∠CBH=12∠ABC，

∵∠B=2∠C，

∴∠CBH=∠C，

∴△HBC為等腰三角形，

∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴HE⊥BC，

∵AD⊥BC，24.解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB//DC，

∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，

又BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠DBA，

∴∠CDB=∠CBD，

∴CD=BC，

又AB=2AD，

AB+AD+CD+BC=40，

25.解：作圖如圖，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．

26.解：(1)四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，DF=BF，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

∠EDF=∠GBF∠EFD=∠GFBDF=BF

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形．

(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，

在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°27.解：PC與PD相等.理由以下：

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．

∵OM平分∠AOB，點(diǎn)P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE=PF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)

又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，

∴四邊形OEPF為矩形，

∴∠EPF=90°，

∴∠EPC【解析】1.解：∵BF//AC，

∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC=∠CBF，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴BD=CD，AD⊥BC，故②③對(duì)的，

在△CDE與△DBF中，

∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，

∴△CDE≌△DBF，

2.解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE=DFAD=AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE=AF；

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠EAO=∠FAO，

在△AEO和3.解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，

在△ABO中，

∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，

∴∠DOC=∠AOB=85°4.解：由題意得AP是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

又∵∠C=90°，

∴DE=CD，

∴△ABD的面積=12AB?DE=12×15×4=305.解：∵度假村在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，

∴度假村應(yīng)當(dāng)在△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．

故選B．

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．

6.解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，

∴∠ADP=∠AEP=90°，

在Rt△ADP和△AEP中AP=APPD=PE，

∴Rt△ADP≌△AEP(HL)，

故選：D．

根據(jù)題中的條件可得△ADP和△7.解：當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，PQ的值最小，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=6，

∴PQ=PA=6，

故選D．

根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)PQ8.解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一種集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．

故選：C．

9.解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BA與點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．

∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，

∴PD=PE=PF．

∴點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，P到AB，BC的距離相等．

故②③對(duì)的．

故選C．

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BA與點(diǎn)D，10.解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，

∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，

∴DE=DF，

∵AB=18cm，BC=12cm，

∴S△ABC=12×18?DE11.解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，

∴∠EPF+∠AOB=180°，

∵∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠EPF=∠MPN，

∴∠EPM=∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE=PF，

在△POE和△POF中，

PE=PFOP=OP，

∴△POE≌△POF，

∴OE=OF，

在△PEM和△PFN中，

∠MPE=∠NPFPE=PF12.解：作EG⊥OA于G，如圖所示：

∵EF//OB，∠AOE=∠BOE=15°

∴∠OEF=∠COE=15°，EG=CE=2，

∵∠AOE=15°，

∴∠EFG=1513.解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，

∴AD是∠BAC的平分線，

∵∠BAC=40°，

∴∠CAD=12∠14.解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，

∵△ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，

∴OF=OH=OE=3，

∴△ABC的面積=12×(15.解：作DE⊥AB于E，

由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=4，

∴△ABD16.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，△BCE與△BDE重疊，

∴ED⊥AB，∠EBA=∠EBC，

又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴EA=EB，

∴∠A=∠EBA=17.解：∵72+242=252，

∴△ABC是直角三角形，

根據(jù)題意畫(huà)圖，如圖所示：

連接AP，BP，CP．

設(shè)PE=PF=PG=x，

S△ABC=12×AB×CB=84，

S△ABC=1218.解：當(dāng)PN⊥OA時(shí)，PN的值最小，

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，

∴PM=PN，

∵PM=5，

∴PN的最小值為5．

故答案為：19.解：作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=2，

∴△ABD的面積=20.解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，BD平分∠ABC，

∴DE=CD，

∵CD=3cm，

∴DE=3cm，

即點(diǎn)D到AB的距離為3cm．

21.解：如圖所示，加油站站的地址有到處，

故答案為：4．

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等作出圖形即可得解．

本題考察了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)是解題的核心，作出圖形更形象直觀．22.解：過(guò)P作PF⊥OB于F，

∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=15°，

∵PE//OA，

∴∠EPO=∠AOP=15°，

∴∠BEP=∠BOC+∠EPO=30°，

∴PE=2PF，

∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，23.作BH平分∠ABC交AC于H，連結(jié)HE，如圖，由于∠B=2∠C，則∠CBH=∠C，于是可判斷△HBC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得HE⊥BC，易得HE//AD，根據(jù)平行線分線段成比例定理得24.根據(jù)等腰梯形性質(zhì)得到AD=