大學高數(shù)三角函數(shù)總結

...wd......wd......wd...三角函數(shù)1.=1\*GB3①與〔0°≤＜360°〕終邊一樣的角的集合〔角與角的終邊重合〕：=2\*GB3②終邊在x軸上的角的集合：=3\*GB3③終邊在y軸上的角的集合：=4\*GB3④終邊在坐標軸上的角的集合：=5\*GB3⑤終邊在y=x軸上的角的集合：=6\*GB3⑥終邊在軸上的角的集合：=7\*GB3⑦假設角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：=8\*GB3⑧假設角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：=9\*GB3⑨假設角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：=10\*GB3⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：2.角度與弧度的互換關系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745〔rad〕3、弧長公式：.扇形面積公式：4、三角函數(shù)：設是一個任意角，在的終邊上任取〔異于原點的〕一點P〔x,y〕P與原點的距離為r，則；；；；；..5、三角函數(shù)在各象限的符號：〔一全二正弦，三切四余弦〕6、三角函數(shù)線正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函數(shù)的根本關系式：9、誘導公式：“奇變偶不變，符號看象限〞三角函數(shù)的公式：〔一〕根本關系公式組二公式組三公式組四公式組五公式組六〔二〕角與角之間的互換公式組一公式組二公式組三公式組四公式組五,,,.10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：〔A、＞0〕定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當非奇非偶當奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕；上為增函數(shù)上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)〔〕上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕注意：=1\*GB3①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，假設在上遞增〔減〕，則在上遞減〔增〕.=2\*GB3②與的周期是.=3\*GB3③或〔〕的周期.的周期為2〔，如圖，翻折無效〕.=4\*GB3④的對稱軸方程是〔〕，對稱中心〔〕；的對稱軸方程是〔〕，對稱中心〔〕；的對稱中心〔〕.=5\*GB3⑤當·；·.=6\*GB3⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則.=7\*GB3⑦函數(shù)在上為增函數(shù).〔×〕[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.假設在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].=8\*GB3⑧定義域關于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.〔奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱〔奇偶都要〕，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：〕奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.〔定義域不關于原點對稱〕奇函數(shù)特有性質(zhì)：假設的定義域，則一定有.〔的定義域，則無此性質(zhì)〕=9\*GB3⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)〔〕；是周期函數(shù)〔如圖〕；為周期函數(shù)〔〕；的周期為〔如圖〕，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：.=10\*GB3⑩有.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．函數(shù)y＝Asin〔ωx＋φ〕的振幅|A|，周期，頻率，相位初相〔即當x＝0時的相位〕．〔當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號〕，由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長〔當|A|＞1〕或縮短〔當0＜|A|＜1〕到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．〔用y/A替換y〕由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長〔0＜|ω|＜1〕或縮短〔|ω|＞1〕到原來的倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)由y＝sinx的圖象上所有的點向左〔當φ＞0〕或向右〔當φ＜0〕平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin〔x＋φ〕的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)由y＝sinx的圖象上所有的點向上〔當b＞0〕或向下〔當b＜0〕平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．〔用y+(-b)替換y〕由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin〔ωx＋φ〕〔A＞0，ω＞0〕〔x∈R〕的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數(shù)學三角函數(shù)常見習題類型及解法1.三角函數(shù)恒等變形的根本策略。〔1〕常值代換：特別是用“1〞的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。〔2〕項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=〔α+β〕－β，β=－等。〔3〕降次與升次。〔4〕化弦〔切〕法。〔4〕引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法?！?〕思路：利用三角公式進展化名，化角，改變運算構造，使等式兩邊化為同一形式?！?〕證明方法：綜合法、分析法、比擬法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。3.證明三角不等式的方法：比擬法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。〔1〕發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進展所謂的“差異分析〞?！?〕尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系?！?〕合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例1．，求〔1〕；〔2〕的值.解：〔1〕；(2).說明：利用齊次式的構造特點〔如果不具備，通過構造的方法得到〕，進展弦、切互化，就會使解題過程簡化。例2．求函數(shù)的值域。解：設，則原函數(shù)可化為，因為，所以當時，，當時，，所以，函數(shù)的值域為。例3．函數(shù)?！?〕求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；〔2〕證明：函數(shù)的圖像關于直線對稱。解：(1)所以的最小正周期，因為，所以，當，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因為，，所以成立，從而函數(shù)的圖像關于直線對稱。例4．函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1〔x∈R〕,〔1〕當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；〔2〕該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到解：〔1〕y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++〔2sinx·cosx〕+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,〔k∈Z〕，即x=+kπ,〔k∈Z〕。所以當函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}〔2〕將函數(shù)y=sinx依次進展如下變換：〔i〕把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；〔ii〕把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變〕，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；〔iii〕把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍〔橫坐標不變〕，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；〔iv〕把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：此題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考察三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。此題〔1〕還可以解法如下：當cosx=0時，y=1；當cosx≠0時，y=+1=+1化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤∴ymax=，此時對應自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}例5．函數(shù)〔Ⅰ〕將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；〔Ⅱ〕如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.解：〔Ⅰ〕由=0即即對稱中心的橫坐標為〔Ⅱ〕由b2=ac即的值域為.綜上所述，，值域為.說明：此題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、根本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學生的運算能力，對知識進展整合的能力。例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)假設，且a=c，求的面積。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因為，，所以，因為，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。三角函數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分)1．點P〔tanα，cosα〕在第三象限，則角α的終邊在〔〕A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．集合M＝{x|x＝eq\f(kπ,2)±eq\f(π,4)，k∈Z}與N＝{x|x＝eq\f(kπ,4)，k∈Z}之間的關系是〔〕A.MN B.NMC.M＝N D.M∩N＝3．假設將分針撥慢十分鐘，則分針所轉(zhuǎn)過的角度是〔〕A.60° B.－60°C.30° D.－30°4．以下各角〔1〕787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是()A.〔1〕〔2〕 B.〔2〕〔3〕C.〔1〕〔3〕 D.〔2〕〔4〕5．設a＜0，角α的終邊經(jīng)過點P〔－3a，4a〕，那么sinα＋2cosα的值等于〔〕A.eq\f(2,5) B.－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.－eq\f(1,5)6．假設cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π＜α＜2π，則sin(2π－α)等于〔〕A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.±eq\f(\r(3),2)7．假設α是第四象限角，則π－α是〔〕A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角8．弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是〔〕A.2 B.eq\f(2,sin1)C.2sin1 D.sin29．如果sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，且0＜x＜π，那么cotx的值是〔〕A.－eq\f(4,3) B.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)C.－eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)10．假設實數(shù)x滿足log2x＝2＋sinθ，則|x＋1|＋|x－10|的值等于〔〕A.2x－9 B.9－2xC.11 D.9二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．假設eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，則sinαcosα的值是_____________.13．不等式〔lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集為_____________.14．假設θ滿足cosθ＞－eq\f(1,2)，則角θ的取值集合是_____________.15．假設cos130°＝a，則tan50°＝_____________.－16．f(x)＝eq\r(eq\f(1－x,1＋x))，假設α∈(eq\f(π,2)，π)，則f(cosα)＋f(－cosα)可化簡為___________.三、解答題〔本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔本小題總分值12分〕設一扇形的周長為C(C＞0)，當扇形中心角為多大時，它有最大面積最大面積是多少18．(本小題總分值14分〕設90°＜α＜180°，角α的終邊上一點為P〔x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα與tanα的值.19．(本小題總分值14分)eq\f(π,2)≤θ≤π，sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，求m的值.20．(本小題總分值15分)0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3－eq\f(3,2)lg2，求cos3α－sin3α的值.21．(本小題總分值15分)sin(5π－α)＝eq\r(2)cos(eq\f(7,2)π＋β)和eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.三角函數(shù)一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分〕1．以下函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是〔〕A.y＝sin2x B.y＝coseq\f(x,2)C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)2．設函數(shù)y＝cos(sinx)，則〔〕A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數(shù)C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數(shù)3．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移eq\f(π,4)個單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為〔〕A.y＝2sin2x B.y＝－2sin2xC.y＝2cos(2x＋eq\f(π,4)) D.y＝2cos(eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))4．函數(shù)y＝2sin(3x－eq\f(π,4))圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是〔〕A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.π D.eq\f(4π,3)5．假設sinα＋cosα＝m，且－eq\r(2)≤m＜－1，則α角所在象限是〔〕A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．函數(shù)y＝|cotx|·sinx〔0＜x≤eq\f(3π,2)且x≠π〕的圖象是〔〕7．設y＝eq\f(cos2x,1＋sinx)，則以下結論中正確的選項是〔〕A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無最小值C.y有最小值但無最大值D.y既無最大值又無最小值8．函數(shù)y＝sin〔eq\f(π,4)－2x)的單調(diào)增區(qū)間是〔〕A.［kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)］(k∈Z)B.［kπ＋eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(5π,8)］(k∈Z)C.［kπ－eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(3π,8)］(k∈Z)D.［kπ＋eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(7π,8)］(k∈Z)9．0≤x≤π，且－eq\f(1,2)＜a＜0，那么函數(shù)f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是〔〕A.2a＋1 B.2a－1C.－2a－1 D.2a10．求使函數(shù)y＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且在［0，eq\f(π,4)］上是增函數(shù)的θ的一個值為〔〕A.eq\f(5π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕11．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1＋2cosx)的值域是_____________.12．函數(shù)y＝eq\f(eq\r(cosx),lg〔1＋tanx〕)的定義域是_____________.13．如果x，y∈［0，π］，且滿足|sinx|＝2cosy－2，則x＝___________，y＝___________.14．函數(shù)y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，則它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形的面積是_____________15．函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.16．關于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)有以下命題：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f(x)的表達式可改為y＝4cos(2x－eq\f(π,6))；③y＝f(x)的圖象關于點〔－eq\f(π,6)，0)對稱；④y＝f(x)的圖象關于直線x＝－eq\f(π,6)對稱.其中正確的命題的序號是_____________.三、解答題〔本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔本小題總分值12分〕如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一局部，試求該函數(shù)的一個解析式.18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)(1)當y取得最大值時，求自變量x的取值集合.(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到19．〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)＝(sinx－cosx)〔1〕求它的定義域和值域；〔2〕求它的單調(diào)減區(qū)間；〔3〕判斷它的奇偶性；〔4〕判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的一個周期.20．〔本小題總分值15分〕某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠〔如圖〕，為降低本錢，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.假設水渠橫斷面面積設計為定值m，渠深3米，則水渠側壁的傾斜角α應為多少時，方能使修建的本錢最低21．(本小題總分值15分〕函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M〔eq\f(3π,4)，0)對稱，且在區(qū)間［0，eq\f(π,2)］上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值.倒數(shù)關系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的關系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

平常針對不同條件的常用的兩個公式

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tanα*cotα=1

一個特殊公式

〔sina+sinθ〕*〔sina-sinθ〕=sin〔a+θ〕*sin〔a-θ〕

證明：〔sina+sinθ〕*〔sina-sinθ〕=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]

=sin〔a+θ〕*sin〔a-θ〕

坡度公式

我們通常半坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度〔也叫坡比〕，用字母i表示，

即i=h/l,坡度的一般形式寫成l:m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作

a(叫做坡角〕，那么i=h/l=tana.

銳角三角函數(shù)公式

正弦：sinα=∠α的對邊/∠α的斜邊

余弦：cosα=∠α的鄰邊/∠α的斜邊

正切：tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊

余切：cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA

余弦

1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2.Cos2a=1-2Sin^2(a)

3.Cos2a=2Cos^2(a)-1

即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

正切

tan2A=〔2tanA〕/〔1-tan^2(A)〕

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

三倍角公式推導

sin(3a)

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

現(xiàn)列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可別輕視這些字符,它們在數(shù)學學習中會起到重要作用。包括一些圖像問題和函數(shù)問題中

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

其他

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

N倍角公式

根據(jù)棣美弗定理，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)為方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考慮n為正整數(shù)的情形：cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...=>比擬兩邊的實部與虛部實部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...i*(虛部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...對所有的自然數(shù)n，1.cos(nθ)：公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方關系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。2.sin(nθ)：(1)當n是奇數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方關系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。(2)當n是偶數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方關系)，因此即使再怎么換成s，都至少會剩c(也就是cosθ)的一次方無法消掉。(例.c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化積

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

兩角和公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

積化和差

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

雙曲函數(shù)

sha=[e^a-e^(-a)]/2

cha=[e^a+e^(-a)]/2

tha=sinh(a)/cosh(a)

公式一：

設α為任意角，終邊一樣的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin〔2kπ+α〕=sinα

cos〔2kπ+α〕=cosα

tan〔2kπ+α〕=tanα

cot〔2kπ+α〕=cotα

公式二：

設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin〔π+α〕=-sinα

cos〔π+α〕=-cosα

tan〔π+α〕=tanα

cot〔π+α〕=cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin〔-α〕=-sinα

cos〔-α〕=cosα

tan〔-α〕=-tanα

cot〔-α〕=-cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin〔π-α〕=sinα

cos〔π-α〕=-cosα

tan〔π-α〕=-tanα

cot〔π-α〕=-cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin〔2π-α〕=-sinα

cos〔2π-α〕=cosα

tan〔2π-α〕=-tanα

cot〔2π-α〕=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin〔π/2+α〕=cosα

cos〔π/2+α〕=-sinα

tan〔π/2+α〕=-cotα

cot〔π/2+α〕=-tanα

sin〔π/2-α〕=cosα

cos〔π/2-α〕=sinα

tan〔π/2-α〕=cotα

cot〔π/2-α〕=tanα

sin〔3π/2+α〕=-cosα

cos〔3π/2+α〕=sinα

tan〔3π/2+α〕=-cotα

cot〔3π/2+α〕=-tanα

sin〔3π/2-α〕=-cosα

cos〔3π/2-α〕=-sinα

tan〔3π/2-α〕=cotα

cot〔3π/2-α〕=tanα

(以上k∈Z)

A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=

√{(A2+B2+2ABcos(θ-φ)}·sin{ωt+arcsin[(A·sinθ+B·sinφ)/√{A^2+B^2;+2ABcos(θ-φ)}}

√表示根號,包括{……}中的內(nèi)容

三角函數(shù)的誘導公式〔六公式〕

公式一sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

公式二sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

公式三sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

公式四sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

公式五sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

公式六tanA=sinA/cosA

tan〔π/2+α〕=－cotα

tan〔π/2－α〕=cotα

tan〔π－α〕=－tanα

tan〔π+α〕=tanα

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]

cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1〔平方和公式〕

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式，只需將一式,左右同除(sinα)^2，第二個除(cosα)^2即可

(4)對于任意非直角三角形，總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證：

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時，該關系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)〔sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重點三角函數(shù)

csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2

冪級數(shù)展開式

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)

arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)

arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)

無限公式

sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……

cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……

tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]

secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]

(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……

(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)

和自變量數(shù)列求和有關的公式

sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)

tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)

sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx

cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)

編輯本段

內(nèi)容規(guī)律

三角函數(shù)看似很多，很復雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學好三角函數(shù)的關鍵所在。

1．三角函數(shù)本質(zhì)：

[1]根據(jù)右圖，有

sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y。

深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導出來，比方以推導

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB為例：

推導：

首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。

A(cosα,sinα),B(cosβ，sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))

OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)

∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2

和差化積及積化和差用復原法結合上面公式可推出〔換(a+b)/2與(a-b)/2〕

單位圓定義

單位圓

六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義確實允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是：

圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半局部得到一個角θ，并與單位圓相交。這個交點的x和y坐標分別等于cosθ和sinθ。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于1的一種查看無限個三角形的方式。

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)相關概念編輯三角函數(shù)的標準英文讀音音標正弦：sine〔簡寫sin〕[sain]余弦：cosine〔簡寫cos〕[k?usain]正切：tangent〔簡寫tan〕['t?nd??nt]余切：cotangent〔簡寫cot〕['k?u't?nd??nt]正割：secant〔簡寫sec〕['si:k?nt]余割：cosecant〔簡寫csc〕['kau'si:k?nt]正矢：versine〔簡寫versin〕['v?:sain]余矢：versedcosine〔簡寫vercos〕['v?:s?:d][k?usain]直角三角函數(shù)直角三角函數(shù)〔∠α是銳角〕三角關系倒數(shù)關系：商的關系：平方關系：2三角規(guī)律編輯三角函數(shù)看似很多，很復雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學好三角函數(shù)的關鍵所在。三角函數(shù)本質(zhì)：根據(jù)三角函數(shù)定義推導公式根據(jù)右圖，有sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導出來，比方以推導sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB為例：推導：首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。A(cosα，sinα〕，B(cosβ，sinβ〕，A'(cos〔α-β〕，sin〔α-β〕〕OA'=OA=OB=OD=1,D〔1,0)∴[cos〔α-β〕-1]^2+[sin〔α-β〕]^2=(cosα-cosβ〕^2+(sinα-sinβ〕^2和差化積及積化和差用復原法結合上面公式可推出〔換〔a+b)/2與〔a-b)/2〕單位圓定義單位圓六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義確實允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是：x^2+y^2=1圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半局部得到一個角θ，并與單位圓相交。這個交點的x和y坐標分別等于cosθ和sinθ。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于1的一種查看無限個三角形的方式。3特殊值編輯sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3sin15°=〔√6-√2〕/4sin75°=〔√6+√2〕/4cos15°=〔√6+√2〕/4cos75°=〔√6-√2〕/4〔這四個可根據(jù)sin〔45°±30°〕=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出〕sin18°=(√5-1)/4(這個值在高中競賽和自招中會比擬有用，即黃金分割的一半)4重要定理編輯正弦定理正弦定理：在△ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中，R為△ABC的外接圓的半徑。余弦定理余弦定理：在△ABC中，b^2=a^2+c^2-2ac·cosθ。其中，θ為邊a與邊c的夾角。5常用公式編輯誘導公式三角函數(shù)的誘導公式〔六公式〕

公式一：

sin(α+k*2π)=sinαcos(α+k*2π)=cosαtan(α+k*2π)=tanα

公式二：sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosαtan(π+α〕=tanα

公式三：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

公式四：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα

公式五：

sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα由于π/2+α=π-〔π/2-α〕，由公式四和公式五可得

公式六：

sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限。和〔差〕角公式三角和公式sin〔α+β+γ〕=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos〔α+β+γ〕=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ和差化積積化和差倍角公式二倍角正弦余弦正切三倍角三倍角公式推導sin〔3a)→3sina-4sin^3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina〔1-sin^2a)+〔1-2sin^2a)sina=3sina-4sin^3acos3a→〔2cos^2a-1〕cosa-2〔1-cos^2a)cosa=cos〔2a+a)=cos2acosa-sin2asina=〔2cos^2a-1〕cosa-2〔1-cos^2a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a→4sinasin〔60°+a)sin〔60°-a)=3sina-4sin^3a=4sina〔3/4-sin^2a)=4sina[〔√3/2〕-sina][〔√3/2〕+sina]=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[〔60+a)/2]cos[〔60°-a)/2]*2sin[〔60°-a)/2]cos[〔60°+a)/2]=4sinasin〔60°+a)sin〔60°-a)cos3a→4cosacos〔60°-a)cos〔60°+a)=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/4〕=4cosa[cos^2a-〔√3/2〕^2]=4cosa(cosa-cos30°〕(cosa+cos30°〕=4cosa*2cos[(a+30°〕/2]cos[(a-30°〕/2]*{-2sin[(a+30°〕/2]sin[(a-30°〕/2]}=-4cosasin(a+30°〕sin(a-30°〕=-4cosasin[90°-〔60°-a)]sin[-90°+〔60°+a)]=-4cosacos〔60°-a)[-cos〔60°+a)]=4cosacos〔60°-a)cos〔60°+a)tan3a→tanatan〔60°-a)tan〔60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan〔60°-a)tan〔60°+a)三倍角sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin〔π/3+α〕sin〔π/3-α〕cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos〔π/3+α〕cos〔π/3-α〕tan3α=tan〔α〕*(-3+tan〔α〕^2〕/(-1+3*tan〔α〕^2〕=tana·tan〔π/3+a〕·tan〔π/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*〔2*sinA^2-1〕〕cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4〕tan4A=〔4*tanA-4*tanA^3〕/〔1-6*tanA^2+tanA^4〕五倍角sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*〔5-10*tanA^2+tanA^4〕/〔1-10*tanA^2+5*tanA^4〕六倍角sin6A=2*(cosA*sinA*〔2*sinA+1〕*〔2*sinA-1〕*(-3+4*sinA^2〕〕cos6A=(-1+2*cosA)*〔16*cosA^4-16*cosA^2+1〕tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5〕/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6〕七倍角sin7A=-(sinA*〔56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6〕〕cos7A=(cosA*〔56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7〕〕tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6〕/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6〕八倍角sin8A=-8*(cosA*sinA*〔2*sinA^2-1〕*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1〕〕cos8A=1+〔160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2〕tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6〕/〔1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8〕九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2〕*〔64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3〕〕cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2〕*〔64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3〕〕tan9A=tanA*〔9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8〕/〔1-36*tanA^2+126*tanA^4-8