6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理（第三課時(shí)）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（3）1.進(jìn)一步理解并掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理；2.能根據(jù)具體問題使用“分類”或“分步”學(xué)習(xí)目標(biāo)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分別是什么？各自特點(diǎn)是什么？復(fù)習(xí)引入例7計(jì)算機(jī)編程人員在編好程序之后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試，需要知道有多少執(zhí)行路徑。一般地，一個(gè)程序有許多子模塊組成。

（1）下圖有多少條執(zhí)行路徑？

（2)為了減少測(cè)試時(shí)間，

程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，

怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，

以減少測(cè)試次數(shù)呢？

分析：要完成的一件事是：“確定程序執(zhí)行的路徑”典例解析整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：

第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；

第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成，分別有18、45、28個(gè)不同的方法；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成，分別有38、43個(gè)不同的方法.因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來完成.

解：(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91條；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81條；典例解析

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為：91x81=7371條

(2)可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172.

再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：3x2=6.

每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常了.

測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)椋?72+6=178

典例解析這不意謂著否定計(jì)數(shù)原理，而是從另一個(gè)角度解決實(shí)際問題，兩者并不矛盾。

例8通常，我國民用汽車號(hào)牌的編碼由兩部分組成：第一部分為由漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代碼，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào).

其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：

（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O、I之外的24個(gè)英文字母組成；

（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)

采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能

發(fā)放多少張汽車號(hào)牌？

典例解析分析：要完成的一件事：“確定汽車號(hào)牌編號(hào)”由編號(hào)組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可以重復(fù)的?？梢詫⑿蛱?hào)分為三類：沒有字母；有一個(gè)字母；有兩個(gè)字母。以字母所在的位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，將有一個(gè)字母的序號(hào)分為5個(gè)子類；將有二個(gè)字母的序號(hào)分為10個(gè)子類.

典例解析解:由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.(1)第1類：當(dāng)序號(hào)中沒有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字，確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為

10×10×10×10×10=100000典例解析(2)第2類：當(dāng)序號(hào)中有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1步,從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位,有24種選法;第2～5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置,各有10種選法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,號(hào)牌張數(shù)為24×10×10×10×10=240000同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為

240000+240000+240000+240000+240000=12000005×24×104＝1200000典例解析（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24x24x10x10x10=576000.同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.則這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000x10=5760000張.典例解析.綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為：100000+1200000+5760000=7060000典例解析解：展開后共有3×3×5＝45項(xiàng).1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個(gè)).2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?3.某商場(chǎng)有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?解：進(jìn)出商場(chǎng)的不同方式有6×5＝30(種).4.任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).(1)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?(2)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量?解：課本P11鞏固練習(xí)

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn):(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總