專題2.4 有理數(shù)的乘除【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）

PAGE1專題2.4有理數(shù)的乘除【十大題型】【華東師大版】【題型1根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】 1【題型2巧用分配律簡化運(yùn)算】 2【題型3有理數(shù)的乘法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識的綜合】 2【題型4關(guān)于有理數(shù)乘法的新定義問題】 3【題型5利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題】 4【題型6巧用分配律進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】 5【題型7利用有理數(shù)的四則混合運(yùn)算解決實(shí)際問題】 6【題型8巧用倒數(shù)解有關(guān)有理數(shù)除法的問題】 7【題型9運(yùn)用有理數(shù)的除法化簡分?jǐn)?shù)】 8【題型10與有理數(shù)的混合運(yùn)算有關(guān)的分類討論問題】 8【知識點(diǎn)1有理數(shù)乘法的法則】①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同零相乘，都得0．

③多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)；若a≠0，則a的倒數(shù)是1a【題型1根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷不等關(guān)系】【例1】（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如果a+b=a?b>0，ab<0，那么（

）.A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0【變式1-1】（2023春·重慶江津·七年級校考階段練習(xí)）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．0 D．不能確定【變式1-2】（2023春·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）若a+b<0，且ab>0，那么a、b應(yīng)滿足的條件是（

）A．a(chǎn)>0、b>0 B．a(chǎn)<0，b<0C．a(chǎn)、b同號 D．a(chǎn)、b異號，且負(fù)數(shù)的絕對值較大【變式1-3】（2023春·河北邢臺·七年級校考階段練習(xí)）如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，A．a(chǎn)b>0 B．a(chǎn)+b>0C．a(chǎn)?1b+1<0 【題型2巧用分配律簡化運(yùn)算】【例2】（2023春·河南焦作·七年級焦作市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ?jì)算：(1)4×(2)?(3)?5×(4)99【變式2-1】（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算?0.125×20×?8×A．乘法交換律 B．乘法分配律C．乘法結(jié)合律 D．乘法交換律和乘法結(jié)合律【變式2-2】（2023春·七年級單元測試）用簡便方法計(jì)算：(1)913(2)?5×(?3【變式2-3】（2023春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期中）簡便計(jì)算：(1)?24×(?(2)(?【題型3有理數(shù)的乘法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等知識的綜合】【例3】（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習(xí)）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，求|a+b|+4m?3cd的值．【變式3-1】（2023春·重慶萬州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，|x?4|=3，求cd2x【變式3-2】（2023春·吉林白城·七年級統(tǒng)考期中）已知a，b互為相反數(shù)，且a≠0，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值是最小的正整數(shù)，求m2【變式3-3】（2023春·貴州遵義·七年級?？茧A段練習(xí)）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2cd?a+b【題型4關(guān)于有理數(shù)乘法的新定義問題】【例4】（2023春·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“※”，對于任意的兩個(gè)有理數(shù)a，b，a※b=?3ab．(1)若m與?2互為倒數(shù)，n與5互為相反數(shù)，求m※n的值；(2)求(?3)※[6※(?4)]的值．【變式4-1】（2023春·重慶石柱·七年級重慶市石柱中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）a，b為有理數(shù)，若規(guī)定一種新的運(yùn)算“⊕”：定義a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．請根據(jù)“⊕”的定義計(jì)算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【變式4-2】（2023春·全國·七年級期末）在學(xué)習(xí)完《有理數(shù)》后，小奇對運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣．對有理數(shù)a、b、c，在乘法運(yùn)算中滿足①交換律：ab=ba；②對加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)則如下：(1)求2⊕?1(2)求?3⊕?4⊕(3)試用學(xué)習(xí)有理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和方法來探究這種新運(yùn)算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．【變式4-3】（2023春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）對于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a?b＝a×b+|a|﹣b．(1)計(jì)算（﹣5）?4的值；(2)求[2?（﹣3）]?4的值；(3)填空：3?（﹣2）______（﹣2）?3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【題型5利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題】【例5】（2023春·廣東深圳·七年級深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)校考期中）某出租車沿人民路東西方向行駛，如果把人民公園站臺記為0，向東行駛記為正，向西行駛記為負(fù)，這輛車從人民公園站臺出發(fā)以后行駛的路程如下表（單位：km）序號1234567路程+5?3+10?8?6+12?10(1)這輛車離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)是千米；(2)這輛車在上述過程中一共行駛了多少路程？(3)若汽車耗油量為4升/千米，共耗油多少升？【變式5-1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減+5?2?4+13?10+16?9(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【變式5-2】（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┠呈程觅忂M(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)重量偏差（單位：千克）?2?10123袋數(shù)5103156(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？(2)這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量多或少了多少千克？(3)大米的單價(jià)是每千克5.5元，食堂購進(jìn)大米總共花了多少錢？【變式5-3】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）某水果超市最近新進(jìn)了一批百香果，每斤8元，為了合理定價(jià)，在第一周試行機(jī)動(dòng)價(jià)格，賣出時(shí)每斤以10元為標(biāo)準(zhǔn)，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負(fù)，超市記錄第一周百香果的售價(jià)情況和售出情況：星期一二三四五六日每斤價(jià)格相對于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格（元）+1?2+3?1+2+5?4售出斤數(shù)2035103015550(1)第一周超市售出的百香果單價(jià)最高的是星期___________，最高單價(jià)是___________元；(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數(shù)）？(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售價(jià)10元；為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計(jì)算說明哪種方式購買更省錢．【知識點(diǎn)有理數(shù)除法的法則】①有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．【題型6巧用分配律進(jìn)行有理數(shù)的四則混合運(yùn)算】【例6】（2013秋·七年級單元測試）用簡便方法計(jì)算：9998【變式6-1】（2023春·湖南郴州·七年級校考期中）簡便運(yùn)算：?1【變式6-2】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)(-81)÷214-9(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-【變式6-3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）小剛在課外書中看到這樣一道有理數(shù)的混合運(yùn)算題：計(jì)算：1她發(fā)現(xiàn)，這個(gè)算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關(guān)系，利用這種關(guān)系，他順利地解答了這道題．（1）前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？（2）先計(jì)算哪步分比較簡便？并請計(jì)算比較簡便的那部分．（3）利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果．（4）根據(jù)以上分析，求出原式的結(jié)果．【題型7利用有理數(shù)的四則混合運(yùn)算解決實(shí)際問題】【例7】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）有一個(gè)水庫某天8:00的水位為?0.1米（以警戒線為基準(zhǔn)，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個(gè)時(shí)刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：0.5，?0.8，0，?0.2，?0.3，0.4．(1)經(jīng)這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？(2)現(xiàn)在由于下暴雨，水庫水位以0.1米/小時(shí)速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現(xiàn)在水庫勻速泄水，可使靜態(tài)水位按0.2米/小時(shí)速度下降，為達(dá)到指揮部最低要求，求水庫需放水的時(shí)間．【變式7-1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）明屹加油站周年慶，開展了加油每滿10L立返現(xiàn)金5元（不足10L不返現(xiàn)金）的活動(dòng)，出租車司機(jī)李師傅只在東西走向的路上開車接送乘客，他7:00從甲地出發(fā)（向東行駛的里程數(shù)記作正數(shù)），到8:00為止，他所行駛的里程記錄如下（單位：公里）+4；?3；?6；+13；?10；?4；+5．(1)計(jì)算到8:00時(shí)，李師傅在甲地的哪個(gè)方向，距甲地多遠(yuǎn)？(2)求從7:00開始到8:00為止，李師傅距甲地的最遠(yuǎn)距離．(3)若李師傅當(dāng)日工作至17:00為止，每小時(shí)行駛的里程相同，該車每百公里耗油8L，每升油7元，若李師傅今天出車時(shí)油箱是滿的，中間沒有加油，收工時(shí)想加滿油箱，則李師傅當(dāng)日在該加油站加油共花費(fèi)多少元？【變式7-2】（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）2022年國慶節(jié)期間，若順德長鹿農(nóng)莊在9月30日的游客人數(shù)為3萬人，下表為7天假期中每天接待游客的人數(shù)與前一天相比的變化情況(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))：日期1日2日3日4日5日6日7日人數(shù)變化/萬人+1.7+0.6+0.3?0.3?0.6+0.2?1.1(1)請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少萬人？(2)與9月30日相比，10月7日客流量是上升了還是下降了？變化了多少？(3)求這7天每天平均人數(shù)是多少萬人？【變式7-3】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）為鼓勵(lì)人們節(jié)約用水，某市居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：用戶每月用水量在20噸及以內(nèi)的為第一級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格收取，超過20噸且不超過30噸的部分為第二級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格的1.5倍收取，超過30噸的部分為第三級水量基數(shù)，按一級用水價(jià)格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用水，小高記錄了1~7月份他家每月1號的水表讀數(shù)．（注：相鄰兩個(gè)月同一天的水表讀數(shù)之差為上一個(gè)月的用水量）1月2月3月4月5月6月7月水表讀數(shù)（噸）433450468485500514535(1)填空：小高家1月份的用水量_______噸，1~6月平均每月用水量為_______噸．(2)已知小高家2月份的水費(fèi)為36元，試求他家6月份需繳納水費(fèi)多少元？(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費(fèi)多少元？【題型8巧用倒數(shù)解有關(guān)有理數(shù)除法的問題】【例8】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算50÷(1解法一：原式＝50÷1解法二：原式＝50÷(412?解法三：原式的倒數(shù)為(＝(1故原式＝300．上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為解法______是錯(cuò)誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：計(jì)算：(?1【變式8-1】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）閱讀下題的計(jì)算方法：計(jì)算：?分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：2所以原式=?根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：?【變式8-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料，并解答問題：材料一：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如ab和ba，即若設(shè)a:b=x，則材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；利用上述材料，請用簡便方法計(jì)算：(?1【變式8-3】（2023春·福建泉州·七年級校聯(lián)考期中）利用倒數(shù)的意義完成計(jì)算：?【題型9運(yùn)用有理數(shù)的除法化簡分?jǐn)?shù)】【例9】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：（1）?217；

（2）3?36；

（3）?54?8；

【變式9-1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：（1）?72?8；（2）?13【變式9-2】（2023春·河北唐山·七年級?？茧A段練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：（1）?26=；（2）?6?24=；（3）0【變式9-3】（2023春·七年級課時(shí)練習(xí)）化簡下列分?jǐn)?shù)：(1)?2?6;

(2)?(3)0?3;

(4)-?a【題型10與有理數(shù)的混合運(yùn)算有關(guān)的分