時間序列分析教程匯總

3.3時間序列分析3.3.1時間序列概述基本概念(1)普通概念：系統(tǒng)中某一變量的觀察值準時間次序（時間間隔相似）排列成一種數(shù)值序列，展示研究對象在一定時期內(nèi)的變動過程，從中尋找和分析事物的變化特性、發(fā)展趨勢和規(guī)律。它是系統(tǒng)中某一變量受其它多個因素影響的總成果。(2)研究實質(zhì)：通過解決預測目的本身的時間序列數(shù)據(jù)，獲得事物隨時間過程的演變特性與規(guī)律，進而預測事物的將來發(fā)展。它不研究事物之間互相依存的因果關系。(3)假設基礎：慣性原則。即在一定條件下，被預測事物的過去變化趨勢會延續(xù)到將來。暗示著歷史數(shù)據(jù)存在著某些信息，運用它們能夠解釋與預測時間序列的現(xiàn)在和將來。近大遠小原理（時間越近的數(shù)據(jù)影響力越大）和無季節(jié)性、無趨勢性、線性、常數(shù)方差等。(4)研究意義：許多經(jīng)濟、金融、商業(yè)等方面的數(shù)據(jù)都是時間序列數(shù)據(jù)。時間序列的預測和評定技術(shù)相對完善，其預測情景相對明確。特別關注預測目的可用數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量，即時間序列的長度和預測的頻率。變動特點(1)趨勢性：某個變量隨著時間進展或自變量變化，呈現(xiàn)一種比較緩慢而長久的持續(xù)上升、下降、停留的同性質(zhì)變動趨向，但變動幅度可能不等。(2)周期性：某因素由于外部影響隨著自然季節(jié)的交替出現(xiàn)高峰與低谷的規(guī)律。(3)隨機性：個別為隨機變動，整體呈統(tǒng)計規(guī)律。(4)綜合性：實際變化狀況普通是幾個變動的疊加或組合。預測時普通設法過濾除去不規(guī)則變動，突出反映趨勢性和周期性變動。特性識別認識時間序列所含有的變動特性，方便在系統(tǒng)預測時選擇采用不同的辦法。(1)隨機性：均勻分布、無規(guī)則分布，可能符合某統(tǒng)計分布。(用因變量的散點圖和直方圖及其包含的正態(tài)分布檢查隨機性，大多數(shù)服從正態(tài)分布。)(2)平穩(wěn)性：樣本序列的自有關函數(shù)在某一固定水平線附近擺動，即方差和數(shù)學盼望穩(wěn)定為常數(shù)。樣本序列的自有關函數(shù)只是時間間隔的函數(shù)，與時間起點無關。其含有對稱性，能反映平穩(wěn)序列的周期性變化。特性識別運用自有關函數(shù)ACF：ρk=γk/γ0其中γk是yt的k階自協(xié)方差，且ρ0=1、-1<ρk<1。平穩(wěn)過程的自有關系數(shù)和偏自有關系數(shù)都會以某種方式衰減趨近于0，前者測度現(xiàn)在序列與先前序列之間簡樸和常規(guī)的有關程度，后者是在控制其它先前序列的影響后，測度現(xiàn)在序列與某一先前序列之間的有關程度。事實上，預測模型大都難以滿足這些條件，現(xiàn)實的經(jīng)濟、金融、商業(yè)等序列都是非穩(wěn)定的，但通過數(shù)據(jù)解決能夠變換為平穩(wěn)的。預測類型(1)點預測：擬定唯一的最佳預測數(shù)值，其給出了時間序列將來發(fā)展趨勢的一種簡樸、直接的成果。但常產(chǎn)生一種非零的預測誤差，其不擬定程度為點預測值的置信區(qū)間。(2)區(qū)間預測：將來預測值的一種區(qū)間，即盼望序列的實際值以某一概率落入該區(qū)間范疇內(nèi)。區(qū)間的長度傳遞了預測不擬定性的程度，區(qū)間的中點為點預測值。(3)密度預測：序列將來預測值的一種完整的概率分布。根據(jù)密度預測，可建立任意置信水平的區(qū)間預測，但需要額外的假設和涉及復雜的計算辦法。基本環(huán)節(jié)(1)分析數(shù)據(jù)序列的變化特性。(2)選擇模型形式和參數(shù)檢查。(3)運用模型進行趨勢預測。(4)評定預測成果并修正模型。3.3.2隨機時間序列系統(tǒng)中某一因素變量的時間序列數(shù)據(jù)沒有擬定的變化形式，也不能用時間的擬定函數(shù)描述，但能夠用概率統(tǒng)計辦法謀求比較適宜的隨機模型近似反映其變化規(guī)律。(自變量不直接含有時間變量,但隱含時間因素)自回歸AR(p)模型（R：模型的名稱P：模型的參數(shù)）（自己影響自己，但可能存在誤差，誤差即沒有考慮到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能為0：ε為0表達只受以前Y的歷史的影響不受其它因素影響）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假設：yt的變化重要與時間序列的歷史數(shù)據(jù)有關，與其它因素無關；εt不同時刻互不有關，εt與yt歷史序列不有關。式中符號：p模型的階次，滯后的時間周期，通過實驗和參數(shù)擬定；yt現(xiàn)在預測值，與本身過去觀察值yt-1、…、yt-p是同一序列不同時刻的隨機變量，互相間有線性關系，也反映時間滯后關系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平穩(wěn)序列過去p個時期的觀察值；φ1、φ2、……、φp自回歸系數(shù)，通過計算得出的權(quán)數(shù)，體現(xiàn)yt依賴于過去的程度，且這種依賴關系恒定不變；εt隨機干擾誤差項，是0均值、常方差σ2、獨立的白噪聲序列，通過預計指定的模型獲得。(2)識別條件當k>p時，有φk=0或φk服從漸近正態(tài)分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的個數(shù)≤4.5%，即平穩(wěn)時間序列的偏有關系數(shù)φk為p步截尾，自有關系數(shù)rk逐步衰減而不截尾，則序列是AR(p)模型。實際中，普通AR過程的ACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，因此用PACF函數(shù)鑒別(從p階開始的全部偏自有關系數(shù)均為0)。(3)平穩(wěn)條件一階：|φ1|<1。二階：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。φ越大，自回歸過程的波動影響越持久。(4)模型意義僅通過時間序列變量的本身歷史觀察值來反映有關因素對預測目的的影響和作用，不受模型變量互相獨立的假設條件約束，所構(gòu)成的模型能夠消除普通回歸預測辦法中由于自變量選擇、多重共線性等造成的困難。移動平均MA(q)模型(1)模型形式y(tǒng)t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p(2)模型含義用過去各個時期的隨機干擾或預測誤差的線性組合來體現(xiàn)現(xiàn)在預測值。AR(p)的假設條件不滿足時能夠考慮用此形式。總滿足平穩(wěn)條件，因其中參數(shù)θ取值對時間序列的影響沒有AR模型中參數(shù)p的影響強烈，即這里較大的隨機變化不會變化時間序列的方向。(3)識別條件當k>q時，有自有關系數(shù)rk=0或自有關系數(shù)rk服從N(0,1/n(1+2∑r2i)1/2)且(|rk|>2/n1/2(1+2∑r2i)1/2)的個數(shù)≤4.5%，即平穩(wěn)時間序列的自有關系數(shù)rk為q步截尾，偏有關系數(shù)φk逐步衰減而不截尾，則序列是MA(q)模型。實際中，普通MA過程的PACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，因此用ACF函數(shù)鑒別(從q階開始的全部自有關系數(shù)均為0)。(4)可逆條件一階：|θ1|<1。二階：|θ2|<1、θ1+θ2<1。當滿足可逆條件時，MA(q)模型能夠轉(zhuǎn)換為AR(p)模型自回歸移動平均ARMA(p,q)模型(1)模型形式y(tǒng)t=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p式中符號：p和q是模型的自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)；φ和θ是不為零的待定系數(shù)；εt獨立的誤差項；yt是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列。(2)模型含義使用兩個多項式的比率近似一種較長的AR多項式，即其中p+q個數(shù)比AR(p)模型中階數(shù)p小。前二種模型分別是該種模型的特例。一種ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程。(3)識別條件平穩(wěn)時間序列的偏有關系數(shù)φk和自有關系數(shù)rk均不截尾，但較快收斂到0，則該時間序列可能是ARMA(p,q)模型。實際問題中，多數(shù)要用此模型。因此建模解模的重要工作是求解p、q和φ、θ的值，檢查εt和yt的值。(4)模型階數(shù)AIC準則：最小信息準則，同時給出ARMA模型階數(shù)和參數(shù)的最佳預計，合用于樣本數(shù)據(jù)較少的問題。目的是判斷預測目的的發(fā)展過程與哪一隨機過程最為靠近。由于只有當樣本量足夠大時，樣本的自有關函數(shù)才非常靠近母體的自有關函數(shù)。具體運用時，在規(guī)定范疇內(nèi)使模型階數(shù)從低到高，分別計算AIC值，最后擬定使其值最小的階數(shù)是模型的適宜階數(shù)。模型參數(shù)最大似然預計時AIC=(n-d)logσ2+2(p+q+2)模型參數(shù)最小二乘預計時AIC=nlogσ2+(p+q+1)logn式中：n為樣本數(shù)，σ2為擬合殘差平方和，d、p、q為參數(shù)。其中：p、q范疇上線是n較小時取n的比例，n較大時取logn的倍數(shù)。實際應用中p、q普通不超出2。自回歸綜合移動平均ARIMA(p,d,q)模型(1)模型識別平穩(wěn)時間序列的偏有關系數(shù)φk和自有關系數(shù)rk均不截尾，且緩慢衰減收斂，則該時間序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。(2)模型含義模型形式類似ARMA（p,q）模型，但數(shù)據(jù)必須通過特殊解決。特別當線性時間序列非平穩(wěn)時，不能直接運用ARMA（p,q）模型，但能夠運用有限階差分使非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化，實際應用中d普通不超出2。若時間序列存在周期性波動，則可準時間周期進行差分，目的是將隨機誤差有長久影響的時間序列變成僅有臨時影響的時間序列。即差分解決后新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。3.3.3建模解模過程數(shù)據(jù)檢查檢查時間序列樣本的平穩(wěn)性、正態(tài)性、周期性、零均值，進行必要的數(shù)據(jù)解決變換。(1)作直方圖：檢查正態(tài)性、零均值。按圖形Graphs—直方圖Histogram的次序打開如圖3.15所示的對話框。圖3.15將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中顯示正態(tài)曲線Displaynormalcurve項，點擊OK運行，輸出帶正態(tài)曲線的直方圖，如圖3.16所示。圖3.16從圖中看出：原則差不為1、均值近似為0，可能需要進行數(shù)據(jù)變換。(2)作有關圖：檢查平穩(wěn)性、周期性。按圖形Graphs—時間序列TimeSeries—自有關Autocorrelations的次序打開如圖3.17所示的對話框。圖3.17將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中自有關Autocorrelations和偏自有關PartialAutocorrelations項，暫不選數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換Transform項，點擊設立項Options，出現(xiàn)如圖3.18所示對話框。圖3.18由于普通規(guī)定時間序列樣本數(shù)據(jù)n>50，滯后周期k<n/4，因此此處控制最大滯后數(shù)值MaximumNumberofLags設定為12。點擊繼續(xù)Continue返回自有關主對話框后，點擊OK運行系統(tǒng)，輸出自有關圖如圖3.19所示。圖3.19從圖中看出；樣本序列數(shù)據(jù)的自有關系數(shù)在某一固定水平線附近擺動，且按周期性逐步衰減，因此該時間序列基本是平穩(wěn)的。(3)數(shù)據(jù)變換：若時間序列的正態(tài)性或平穩(wěn)性不夠好，則需進行數(shù)據(jù)變換。慣用有差分變換(運用transform—CreateTimeSeries)和對數(shù)變換(運用Transform—Compute)進行。普通需重復變換、比較，直到數(shù)據(jù)序列的正態(tài)性、平穩(wěn)性等達成相對最佳。模型識別分析時間序列樣本，鑒別模型的形式類型，擬定p、d、q的階數(shù)。(1)鑒別模型形式和階數(shù)①有關圖法：運行自有關圖后，出現(xiàn)自有關圖（圖3.19）和偏自有關圖（圖3.20）。圖3.20從圖中看出：自有關系數(shù)和偏有關系數(shù)含有相似的衰減特點：衰減快，相鄰二個值的有關系數(shù)約為0.42，滯后二個周期的值的有關系數(shù)靠近0.1，滯后三個周期的值的有關系數(shù)靠近0.03。因此，基本能夠擬定該時間序列為ARMA（p,q）模型形式，但還不能擬定是ARMA（1,1）或是ARMA（2,2）模型。但若前四個自有關系數(shù)分別為0.40、0.16、0.064、0.0256，則能夠考慮用AR(1)模型。另外，值得闡明的是：只是ARMA模型需要檢查時間序列的平穩(wěn)性，若該序列的偏自有關函數(shù)含有明顯性，則能夠直接選擇使用AR模型。事實上，具體應用自有關圖進行模型選擇時，在觀察ACF與PACF函數(shù)中，應注意的核心問題是：函數(shù)值衰減的與否快；與否全部ACF之和為-0.5，即進行了過分差分；與否ACF與PACF的某些滯后項明顯和容易解釋的峰值等。但是，僅依賴ACF圖形進行時間序列的模型識別是比較困難的。②參數(shù)預計：從(m,m-1)開始實驗，普通到m=p+q=1/n。實際應用中，往往從(1,1)、……、(2,2)，逐個計算比較它們的AIC值（或SBC值），取其值最小的擬定為模型。(2)建立時間序列新變量無論是哪種模型形式，時間序列總是受本身歷史數(shù)據(jù)序列變化的影響，因此需將歷史數(shù)據(jù)序列作為一種新的時間序列變量。按數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換transform—建立時間序列CreateTimeSeries的次序展開對話框，圖3.21。圖3.21①在功效Function下拉框中選擇變量轉(zhuǎn)換的函數(shù)，其中：非季節(jié)差分Differences:計算時間序列持續(xù)值之間的非季節(jié)性差別。季節(jié)性差分SeasonalDifferences:計算時間序列跨距間隔恒定值之間的季節(jié)性差別，跨距根據(jù)定義的周期擬定。領先移動平均Priormovingaverage:計算先前的時間序列數(shù)值的平均值。中心移動平均Centeredmovingaverage:計算圍繞和涉及現(xiàn)在值的時間序列數(shù)值的平均值。中位數(shù)Runningmedians:計算圍繞和涉及現(xiàn)在值的時間序列的中位數(shù)。累積和Cumulativesum:計算直到涉及現(xiàn)在值的時間序列數(shù)值的累計總數(shù)。滯后次序Lag:根據(jù)指定的滯后次序，計算在前觀察量的值。領先次序Lead:根據(jù)指定的領先次序，計算持續(xù)觀察量的值。平滑Smoothing:以混合數(shù)據(jù)平滑為基礎，計算持續(xù)觀察量的值。以上各項重要用在生成差分變量、滯后變量、平移變量，并且還要關注差分、滯后、平移的次數(shù)，方便在建立模型、進行參數(shù)預計時，使方程達成一致。②在次序Order框中填入在前或在后的時間序列數(shù)值間隔的數(shù)目。在新變量NewVariable框中接受左邊框移來的源變量。在名稱Name框中定義新變量的名稱，但必單擊變化Change方能成立。③單擊OK運行系統(tǒng)，在原數(shù)據(jù)庫中出現(xiàn)新變量列。另外，若需產(chǎn)生周期性時間序列的日期型變量，則按數(shù)據(jù)Data—定義日期DefineDates的次序展開如圖3.22所示對話框。圖3.22在樣本CasesAre欄中選擇定義日期變量的時間間隔，在起始日期FirstCaseIs欄中設定日期變量第一種觀察量的值，單擊OK完畢定義。參數(shù)預計采用最大似然預計或最小二乘預計等辦法預計φ、θ參數(shù)值，并進行明顯性檢查。按分析Analyze—時間序列Timeseries—ARIMA模型的次序展開如圖3.23對話框。圖3.23在圖3.23中：選擇原時間序列變量進入因變量框；根據(jù)模型識別成果和建立的新時間變量，選擇一種或多個變量進入自變量框；臨時不進行因變量的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換；與自變量的選擇對應，根據(jù)模型識別成果或?qū)嶒灥乃悸吩O定p、(d)、q的值；選擇模型中包含常數(shù)項；分別單擊保存和設立按鈕，展開如圖3.24和3.25對話框。圖3.24圖3.24中：在建立變量CreateVariable欄選擇新建變量成果暫存原數(shù)據(jù)文獻Addtofile項，也可選擇用新建變量替代原數(shù)據(jù)文獻中計算成果Replaceexisting項；在設定置信區(qū)間比例%ConfidenceIntervals下拉框選擇95；在預測樣本PredictCases欄選擇根據(jù)時期給出預測成果的辦法。圖3.25圖3.25中：在收斂原則ConvergenceCriteria欄選擇迭代次數(shù)Maximumiterations、參數(shù)變化精度Parameterchange、平方和變化精度Sumofsquareschange，當運算達成其中一種參數(shù)的設定，則迭代終止；在預計初始值InitialValuesforEstimation欄選擇由過程自動選擇Automatic或由先前模型提供Applyfrompreviousmodel，普通默認前者；在預測辦法ForecastingMethod欄選擇無條件Unconditional或有條件最小二乘法Conditionalleastsquares；在輸出控制Display欄選擇最初和最后參數(shù)的迭代摘要Initialandfinalparameterswithiterationsummary或具體資料details、或只顯示最后參數(shù)Finalparametersonly。單擊OK，系統(tǒng)立刻執(zhí)行，輸出信息以下：MODEL:MOD_1Splitgroupnumber:1Serieslength:48Nomissingdata.Melard'salgorithmwillbeusedforestimation.Conclusionofestimationphase.Estimationterminatedatiterationnumber7because:Sumofsquaresdecreasedbylessthan.001percent.FINALPARAMETERS:Numberofresiduals48Standarderror1.1996949Loglikelihood-75.463915AIC156.92783SBC162.54143AnalysisofVariance:DFAdj.SumofSquaresResidualVarianceResiduals4565.0999231.4392678VariablesintheModel:BSEBT-RATIOAPPROX.PROB.AR1.02318739.31945836.0725835.94245925MA1-.44871554.28829314-1.5564558.12660552CONSTANT-.02421308.25505018-.0949346.92478827Thefollowingnewvariablesarebeingcreated:NameLabelFIT_1Fitfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONERR_1Errorfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONLCL_195%LCLfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONUCL_195%UCLfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONSEP_1SEoffitfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CON各個輸出統(tǒng)計量的意義：常數(shù)項：認為是取值恒為1的常數(shù)變量，其系數(shù)就是自變量為0時因變量的最優(yōu)預測值，也稱為預測基準值。系數(shù)：反映自變量對因變量影響的權(quán)重。原則誤：表明樣本數(shù)據(jù)的可靠性。在(殘差)參數(shù)近似服從正