高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 初東麗 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1.1初等函數(shù)及性質(zhì)目錄函數(shù)的概念基本初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)、分段函數(shù)

掌握題型：列函數(shù)式、求函數(shù)的定義域、分析函數(shù)的性質(zhì)、寫復(fù)合函數(shù)復(fù)合步驟【能力目標(biāo)】

提高將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題的化歸能力（建立數(shù)學(xué)模型的能力），提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力（解數(shù)學(xué)模型的能力）。教學(xué)目標(biāo)函數(shù)的概念思考日常生活中可以找到哪些變量？存在什么關(guān)系？成本問題乘車費(fèi)用問題設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為10萬元，又生產(chǎn)每一件產(chǎn)品需要增加成本0.8萬元，求總成本y與產(chǎn)量x的關(guān)系。某城市的出租車費(fèi)用不超過3公里為10元。超過3公里每公里按1.4元收取費(fèi)用，列出乘車距離x與費(fèi)用y之間的關(guān)系式。函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念說明：定義設(shè)x、y是兩個(gè)變量，D是給定的一個(gè)數(shù)集，如果對(duì)于D中的每一個(gè)x值，按照某種對(duì)應(yīng)法則，變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么，稱變量y是變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。x稱為自變量，y稱為函數(shù)。自變量x的取值范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域；因變量y的取值范圍M稱為函數(shù)y=f(x)的值域。1.函數(shù)的定義函數(shù)的概念2.函數(shù)的實(shí)質(zhì)函數(shù)實(shí)際上是從定義域D到值域M的一個(gè)映射函數(shù)的概念3.函數(shù)的要素定義域D對(duì)應(yīng)關(guān)系f函數(shù)

注意：只有定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同的兩個(gè)函數(shù)才是相同的函數(shù)函數(shù)的概念題型一例1.1判斷下列函數(shù)是否為相同函數(shù)

函數(shù)的概念題型二例1.2求函數(shù)的定義域

（1）分式函數(shù)的分母不等于零（2）偶次根式函數(shù)的被開方式大于等于零（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)式大于零類型：函數(shù)的概念分段函數(shù)

定義有時(shí)一個(gè)函數(shù)要使用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示,自變量的變化范圍不同,相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則也不同,這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性奇偶性周期性有界性函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)性

xyoxyo

函數(shù)的性質(zhì)

2.奇偶性

yxoa-a13-ayxoa函數(shù)的性質(zhì)3.周期性14

（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.函數(shù)的性質(zhì)4.有界性15

基本初等函數(shù)三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)

說明：基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)—正弦函數(shù)基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)—余弦函數(shù)基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)—正切函數(shù)基本初等函數(shù)5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)三角函數(shù)在第一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)。練習(xí)練習(xí)26數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)212243648數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)21225310417

數(shù)據(jù)1數(shù)據(jù)21429316425

觀察與思考？三、復(fù)合函數(shù)27

三、復(fù)合函數(shù)28

內(nèi)外層函數(shù)均為簡單函數(shù)，一般為基本初等函數(shù)。復(fù)合條件：內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域有交集。三、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)可以推廣到三個(gè)及以上的有限次復(fù)合。29注：三、復(fù)合函數(shù)30

內(nèi)外層函數(shù)均為簡單函數(shù)，一般為基本初等函數(shù)。復(fù)合條件：內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域有交集。三、復(fù)合函數(shù)31

例：外層

內(nèi)層

三、復(fù)合函數(shù)32

例：

外層

中層

內(nèi)層

三、復(fù)合函數(shù)33拆分復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵：1.能正確的看出它是由哪些基本初等函數(shù)或者基本初等函數(shù)與常數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算所得到的函數(shù)復(fù)合而成；2.拆分復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程時(shí)，一般由外向內(nèi)，逐層分解；3.每層寫出的復(fù)合過程只能是基本初等函數(shù)或者基本初等函數(shù)與常數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算所得到的函數(shù)；4.拆分過程中的“不到位”或“過度拆分”都會(huì)導(dǎo)致拆分錯(cuò)誤。三、復(fù)合函數(shù)34由基本初等函數(shù)與常數(shù)，經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的、并且用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

四、初等函數(shù)練習(xí)練習(xí)練習(xí)38作業(yè)：謝謝大家1.2極限的概念目錄數(shù)列的極限無窮小量與無窮大量函數(shù)的極限【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、無窮小量、無窮大量等

掌握題型：觀察法求數(shù)列的極限，定義法判別極限的存在性，求極限的類型及方法【能力目標(biāo)】

通過學(xué)習(xí)極限的概念，提高觀察問題、分析問題、概括問題和問題化歸能力。教學(xué)目標(biāo)引：莊子的極限思想一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

一、數(shù)列的極限

例一、數(shù)列的極限例一、數(shù)列的極限例一、數(shù)列的極限例

12345列表畫圖

結(jié)論一、數(shù)列的極限練習(xí)

x12345…y1…

x-1-2-3-4-5…y-1…當(dāng)x的絕對(duì)值越來越大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值會(huì)趨近于0.二、函數(shù)的極限

注：

二、函數(shù)的極限思考：

結(jié)論：

二、函數(shù)的極限例二、函數(shù)的極限：

二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限例二、函數(shù)的極限練習(xí)61作業(yè)觀察下列變量的變化情況，說出它們的極限62000上述變量在不同的變化過程中，都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，它們的極限均為零。三、無窮小量與無窮大量1.無窮小量63注意：（1）無窮小是一個(gè)變量,常數(shù)中只有零是無窮小量;除此之外,任何常數(shù),無論多小都不是無窮小量。（2）說一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢(shì)。

三、無窮小量與無窮大量例三、無窮小量與無窮大量在自變量的同一變化過程中，無窮小量具有以下的性質(zhì)：

思考？65三、無窮小量與無窮大量2.無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1：有限個(gè)無窮小量的和、差、積仍為無窮小量；性質(zhì)2：有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。下列自變量的變化過程中，說出函數(shù)值的變化情況66左側(cè)變量，在不同的變化過程中都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即：它們的絕對(duì)值越來越大。三、無窮小量與無窮大量3.無窮大量67

注意：（1）無窮大量也是變量，任何一個(gè)絕對(duì)值很大的常數(shù)都不是無窮大；（2）說一個(gè)函數(shù)是無窮大，必須指明自變量的變化過程。三、無窮小量與無窮大量684.無窮大的性質(zhì)

在自變量的同一變化過程中，無窮大量具有以下的性質(zhì)：

有限個(gè)無窮大量的積仍為無窮大量

∞

∞

∞三、無窮小量與無窮大量694.無窮大與無窮小的關(guān)系

三、無窮小量與無窮大量70

0………趨近于0的速度是否相同？思考？練習(xí)72作業(yè)謝謝大家1.3極限的運(yùn)算目錄極限的四則運(yùn)算法則第二重要極限第一重要極限無窮小階的比較無窮小等價(jià)替換原理【知識(shí)目標(biāo)】

理解概念：極限的四則運(yùn)算法則、等價(jià)無窮小、第一重要極限、第二重要極限等

掌握題型：無窮小階的比較，求各種類型的極限。【能力目標(biāo)】

通過判別極限類型，探求求極限方法與技巧，提高觀察能力、概括能力、變形能力及分析問題、解決問題的能力。教學(xué)目標(biāo)77思考？

可否使用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解？

78一、極限的四則運(yùn)算法則

推論注：上述法則對(duì)于x→∞也是成立的。

定義

因?yàn)榉肿?、分母的極限都存在，且分母的極限不為0，因此可以直接帶入法則求極限。79

一、極限的四則運(yùn)算法則80

解

一、極限的四則運(yùn)算法則81思考？

一、極限的四則運(yùn)算法則

82

解

一、極限的四則運(yùn)算法則83

解

一、極限的四則運(yùn)算法則84

解

一、極限的四則運(yùn)算法則85

解

一、極限的四則運(yùn)算法則86解

一、極限的四則運(yùn)算法則87

解

思考？

一、極限的四則運(yùn)算法則88

一、極限的四則運(yùn)算法則89

解例1.21：求極限

一、極限的四則運(yùn)算法則90總結(jié)：求極限的類型及方法1、極限的四則運(yùn)算法則（法則型）2、未定型的極限類型（非法則型）練習(xí)92二、第一重要極限

xoy圖1-1293二、第一重要極限

94二、第一重要極限

95三、第二重要極限

96三、第二重要極限

97三、第二重要極限

98三、第二重要極限

99三、第二重要極限

練習(xí)101定義（1）若，

（3）若，則稱與是等價(jià)無窮小，記作～。則稱是比高階的無窮小,記作；（2）若

,則稱

與是同階無窮??；

四、無窮小階的比較102

四、無窮小階的比較103

四、無窮小階的比較104經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小

四、無窮小階的比較五、無窮小的等價(jià)替換原理105應(yīng)用：106五、無窮小的等價(jià)替換原理

107五、無窮小的等價(jià)替換原理

108

五、無窮小的等價(jià)替換原理109

五、無窮小的等價(jià)替換原理110

練習(xí)112作業(yè)謝謝大家1.4連續(xù)性及應(yīng)用目錄函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的間斷點(diǎn)及類型函數(shù)的連續(xù)區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能·理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的兩個(gè)定義；·掌握函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)所具備的三個(gè)條件；·會(huì)判定函數(shù)在一點(diǎn)處是否連續(xù)。過程與方法·運(yùn)用多媒體教學(xué)工具,將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、形象化,使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.情感態(tài)度價(jià)值觀·在揭示函數(shù)連續(xù)性本質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。它源于生活、高于生活、概括生活、是對(duì)生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提煉，具有高度的抽象性。116生活中的連續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、植物的生長、河水的流動(dòng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。117以下為淄博市3月24日氣溫變化曲線圖，觀察溫度與時(shí)間變化的關(guān)系？118一、函數(shù)的連續(xù)性

119函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)

定義1一、函數(shù)的連續(xù)性120

函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的三個(gè)條件

1.函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有定義；

2.存在；

3.極限值等于函數(shù)值一、函數(shù)的連續(xù)性121例1.31

122一、函數(shù)的連續(xù)性2、左右連續(xù)123二、函數(shù)的連續(xù)區(qū)間1、開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f(x)為區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a,b）稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。思考：如何定義閉區(qū)間[a,b]或半開半閉區(qū)間[a,b）或（a,b]上的連續(xù)函數(shù)呢？124二、函數(shù)的連續(xù)區(qū)間2、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)125思考首先觀察下列函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性126三、函數(shù)間斷點(diǎn)及類型1.間斷點(diǎn)及其形成原因127例1.32求下列函數(shù)間斷點(diǎn)

128例1.32求下列函數(shù)間斷點(diǎn)1292.間斷點(diǎn)類型

第一類間斷點(diǎn)（左右極限均存在的間斷點(diǎn)）

第二類間斷點(diǎn)：（左右極限至少一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)）若一個(gè)單側(cè)極限為∞的間斷點(diǎn)，則成為無窮性間斷點(diǎn)。

130求函數(shù)

的間斷點(diǎn)，并判定其類型.例1.33練習(xí)作業(yè)

習(xí)題1-4132閉區(qū)間上

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)觀察與思考

什么情況下可以判斷函數(shù)的最大值、最小值？最值存在定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值。例：函數(shù)y=3x+1在[0,1]