極限思想在教學(xué)中的漸進(jìn)理解

在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，極限的概念有著舉足輕重的地位。這決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中，極限的教學(xué)必須要深入淺出。極限是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接部分。透徹理解極限，對于大學(xué)微積分的學(xué)習(xí)也起到了至關(guān)重要的作用。因此，極限的學(xué)習(xí)與教學(xué)顯得尤為重要。一、極限思想發(fā)展與演變極限的思想早在古代就已萌生。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德“窮解法”求拋物弓形的面積，構(gòu)造了一系列三角形，使它們的面積和不斷接近拋物弓形的面積。中國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）“割圓術(shù)”利用圓內(nèi)接正n邊形邊數(shù)n無限增大，則正多邊形面積無限接近于圓的面積。這些都是極限最初的形式。十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西從定性的角度比較完整地說明了極限概念及其理論。之后，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯給出了極限的定量定義。了解極限思想的發(fā)展史，可以使學(xué)生在理解極限時(shí)更有興趣，也更有數(shù)學(xué)根據(jù)。只有這樣才能使極限更好地融入學(xué)生的心理。二、極限概念和高等數(shù)學(xué)中微積分學(xué)的關(guān)系數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，它的基礎(chǔ)性與應(yīng)用廣泛性是任何學(xué)科所無法比擬的。一切的自然科學(xué)，各個(gè)經(jīng)濟(jì)生活領(lǐng)域都有數(shù)學(xué)留下的足跡，因此可以說數(shù)學(xué)是學(xué)科界的“學(xué)科先驅(qū)”。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法思考和解決問題，不僅可以培養(yǎng)人們科學(xué)的世界觀，而且可以使人們在解決任何實(shí)際問題時(shí)具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。如果把整個(gè)高等數(shù)學(xué)看作一個(gè)人體，那么極限是高等數(shù)學(xué)中微積分的主動脈。導(dǎo)數(shù)與微分可以看到定義的新運(yùn)算，這種運(yùn)算類似小學(xué)所學(xué)的加減法和乘除法中互為逆運(yùn)算一樣。導(dǎo)數(shù)和微分也應(yīng)該有逆運(yùn)算，可以說“不定積分”與“定積分”是導(dǎo)數(shù)的兩種不同的逆運(yùn)算。導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分這四個(gè)概念雖然各不相同，但它們存在著極其密切的關(guān)系，即它們的概念中都貫穿了極限概念。三、極限思想的教學(xué)演變在新課程改革（人教A版2007與人教A版2017數(shù)學(xué)課本）中都將微積分放在了高中數(shù)學(xué)課程的重要位置上，并且在內(nèi)容上都體現(xiàn)出了極限思想這一數(shù)學(xué)思想，說明了極限思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。本文從極限的概念出發(fā)，闡述極限教學(xué)中學(xué)生的學(xué)與教師的教的難點(diǎn)與重點(diǎn)并結(jié)合高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的理解差異，比較兩者教學(xué)差異，讓學(xué)生能更好地理解極限的思想。四、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析在2007年新課程改革中，之前很多傳統(tǒng)上在高校數(shù)學(xué)課堂中講解的內(nèi)容也成為了高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。比如：極限，導(dǎo)數(shù)，定積分等。實(shí)際上，由于高考指揮棒中，要求學(xué)生必須會應(yīng)用這些知識。但是，是否能夠真正理解，這有待考究？由于高中應(yīng)試教育背景下，學(xué)生對于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決單調(diào)性，極值，最值，零點(diǎn)，不等式等問題比較熟練。但是學(xué)生對于極限，導(dǎo)數(shù)等的概念的理解卻深淺不一。實(shí)際上，這樣的教學(xué)會使學(xué)生產(chǎn)生很多誤區(qū)。學(xué)生對于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思維方法，研究內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)的差異認(rèn)識不夠。盡管學(xué)生們對于極限部分有一定的基礎(chǔ)，但是這種基礎(chǔ)能起到什么樣的作用？這些都是有待對學(xué)生的了解和分析。倘若學(xué)生思維認(rèn)識不到位，問題可能就會想不明白。如果沒有清晰和明確的認(rèn)知，就不會去直觀地理解，更別說用數(shù)學(xué)精確語言去描述極限概念了。種種問題與困惑交織在一起，使得學(xué)生對極限的學(xué)習(xí)比較迷茫。感覺自己好像學(xué)過，但是好像又沒有學(xué)過。學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的是：一方面，感覺已經(jīng)懂了，不屑于聽；另一方面，接觸高等數(shù)學(xué)中極限定義之后發(fā)現(xiàn)自己又一無所知，顛覆了之前對于極限的所有認(rèn)識，感覺像天書一樣難以理解。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，往往會發(fā)現(xiàn)學(xué)生有上述兩種表現(xiàn)。因此，需要引導(dǎo)學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，走出認(rèn)識和學(xué)習(xí)誤區(qū)就顯得尤其重要了。五、揭示本質(zhì)屬性，加深理解對高等數(shù)學(xué)中微積分的極限概念的理解，從數(shù)列極限，函數(shù)極限（x→+∞,x→x0）的順序進(jìn)行教學(xué)，并要對三種極限在概念方面進(jìn)行差異的比較。1.數(shù)列極限。（1）直觀描述——定性定義。如果數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，其一般項(xiàng){an}無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)a，則稱a為數(shù)列{an}的極限，或稱數(shù)列{an}收斂于a，記作數(shù)列{an}的極限為a的幾何解釋：數(shù)列{an}中的項(xiàng)對應(yīng)數(shù)軸上無數(shù)個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)an與a接近的程度可以用它們之間的距離|an-a|來衡量an無限接近于a，就意味著距離|an-a|可以任意小.（2）精確定義——定量定義。若對任給的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有|an-a|＜ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，記作ε-N定義：N+，當(dāng)n＞N時(shí)，有|an-a|＜ε.關(guān)于ε-N定義，從以下理解：①ε的任意性。盡管ε有其任意性，但一經(jīng)給出，就被暫時(shí)確定下來了，以便依靠它來求出N。又ε是任意小的正數(shù)，因此定義中ε的可以用等來代替。②N的相應(yīng)性。一般說，定義中的正整數(shù)N是一個(gè)與ε密切相關(guān)的項(xiàng)數(shù)，與N相對應(yīng)的項(xiàng)是an。因此，常把N寫作N（ε），來強(qiáng)調(diào)N是依賴于ε的。但是，這種依賴關(guān)系，也不意味著N是由ε所唯一決定的。這里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。從幾何意義上看，“當(dāng)n＞N時(shí)，有|an-a|＜ε.”表示點(diǎn)an與a之間的距離可以為任意小的正數(shù)ε，它可以是0.1、0.01、0.001或更小。但不管多么小，數(shù)列{an}與a的距離|an-a|，當(dāng)n→∞時(shí)，總比ε還小，因而an與a可以任意接近。也就是說，在U（a；ε）之外，數(shù)列{an}中的項(xiàng)至多只有N個(gè)（有限個(gè)）。通過直觀定義與精確定義，可以使得學(xué)生們對于數(shù)列極限概念的理解更加深刻。初等數(shù)學(xué)研究的是固定的，靜態(tài)下量與量之間的數(shù)量關(guān)系。然而，高等數(shù)學(xué)研究的是量與量在運(yùn)動變化過程中的數(shù)量關(guān)系，這是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的根本差異。因此，學(xué)生們由高中到大學(xué)的過渡，需要一個(gè)過程與時(shí)間。如果學(xué)生們有清楚與明確地認(rèn)識到量與量之間的“運(yùn)動”。在以后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，可能相對會容易些。這就要求學(xué)生們應(yīng)該從思維認(rèn)識上要突破從有限過渡到無限，學(xué)會并習(xí)慣使用數(shù)學(xué)語言描述問題，使得學(xué)生的思維變得更加嚴(yán)密?；谝陨蠈W(xué)生們可能在初入大學(xué)時(shí)存在的問題，在教學(xué)中有哪些應(yīng)對措施呢？一方面通過有趣的例子提高學(xué)生認(rèn)識，另一方面還是要幫助學(xué)生理清極限概念出現(xiàn)的內(nèi)在邏輯過程，把握極限概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生能用以上的精確定義來描述極限。找N可能出現(xiàn)兩種情況：①如果n＞N（ε），則即為所求。②如果|xn-a|＜ε較繁瑣時(shí)，可適當(dāng)放大。如何放大？可以放大為如下形式：|xn-a|＜g（n）。只要有，放大就是適當(dāng)?shù)?！由此可見，極限的證明步驟幾乎是模板化的格式。以下就是證明的格式模板：證：對?ε＞0，要使|xn-a|＜ε.……這里是解|xn-a|＜ε的過程，得結(jié)果n＞某個(gè)數(shù)（關(guān)于ε的表達(dá)式）；或當(dāng)|xn-a|＜ε比較繁瑣不易解得，則在這里將|xn-a|作適當(dāng)?shù)姆糯?，使|xn-a|＜g（n），然后從g（n）＜ε中解得n＞某個(gè)數(shù)。取N=某個(gè)數(shù)（關(guān)于ε的表達(dá)式）或N=max{[某個(gè)數(shù)（關(guān)于ε的表達(dá)式）]，N0}，則當(dāng)n＞N時(shí)，有|xn-a|＜ε成立，歸納出數(shù)列極限的一般證明方法，這樣學(xué)生可能未必能夠理解。但是，學(xué)生可以先模仿，在做題過程中可以邊做邊理解。最起碼學(xué)生能夠去做，可以有法可循。這樣可以慢慢培養(yǎng)學(xué)生的興趣。先做，再慢慢理解。數(shù)學(xué)也是一個(gè)理解和消化的過程。這樣從定性理解，到定量計(jì)算。全方位的去理解，可以使得學(xué)生能夠更好地接受?！昂玫拈_始，是成功的一半”，數(shù)列極限的充分理解可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)極限。2.函數(shù)的極限。（1）當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限。①直觀描述—定性定義。當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限：此種情況與數(shù)列類似，不同之處在于n→+∞是整序變量（n只取1、2、3、……）等離散的正整數(shù)點(diǎn)變到+∞。而x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限，自變量x可以沿x軸的正方向，負(fù)方向連續(xù)地?zé)o限增大，正因?yàn)槿绱?，此處的N不一定要求必是正整數(shù)，僅要求N是正數(shù)即可。如（圖1）當(dāng)無限增大時(shí)的變化趨勢。自然引出：當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0；圖1當(dāng)x→-∞時(shí)，y→0.定性定義：設(shè)函數(shù)f（x）在x＞M（M＞0）處有定義，當(dāng)x無限增大（x→+∞）時(shí)，對于f（x）的函數(shù)值無限接近于確定數(shù)值A(chǔ)，則稱A為函數(shù)f（x）在x→+∞時(shí)的極限，②精確定義—定量定義。定量定義ε—M：設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的ε＞0，存在正數(shù)M（≥a），使得當(dāng)x＞M時(shí)有|f（x）-A|＜ε，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)以A為極限，當(dāng)x→+∞時(shí)函數(shù)f（x）以A為極限意味著：A的任意小鄰域內(nèi)必含有f（x）在+∞的某個(gè)鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。定義的幾何意義如圖2：對任給的ε＞0，在坐標(biāo)平面上平行于x軸的兩條直線y=A+ε與y=A-ε，圍成以直線y=A為中心線、寬為2ε的帶狀區(qū)域。圖2例1證明證：任給ε＞0，取則當(dāng)x＞M時(shí)有以下就是證明的格式模板：證：對?ε＞0，要使|f（x）-A|＜ε.……這里是解|f（x）-A|＜ε的過程，得結(jié)果M＞某個(gè)數(shù)（關(guān)于ε的表達(dá)式）；或當(dāng)|f（x）-A|＜ε比較繁瑣不易解得，則在這里將|f（x）-A|作適當(dāng)?shù)姆糯螅箌f（x）-A|＜g（x），然后從g（x）＜ε中解得x＞某個(gè)數(shù)。取x=某個(gè)數(shù)（關(guān)于ε的表達(dá)式），則當(dāng)x＞M時(shí)，有|f（x）-A|＜ε成立，高中數(shù)學(xué)中給出的是函數(shù)定性的定義，只是有助于理解極限定義就可以。而在大學(xué)數(shù)學(xué)中尤其是微積分中，不僅要求理解定性定義，定量定義也可以說是微積分的“頂梁柱”。只有更加深入地理解極限ε—M，才能更好地理解導(dǎo)數(shù)，微分，級數(shù)等更深入的微積分?jǐn)?shù)學(xué)。（2）當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限。對函數(shù)極限而言，自變量的變化過程有很多方式。在這里僅以x→x0為例。①直觀描述—定性定義。設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù)。如果當(dāng)自變量x→x0時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限接近于A，則稱A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作：②精確定義一定量定義。定量定義ε-δ：定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U°（x0；δ′）內(nèi)有定義，A為定數(shù)。若對任給的ε＞0，存在正數(shù)δ（＜δ′），使得當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)有|f（x）-A|＜ε，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作或（fx）→A。在理解定義中，學(xué)生們的疑問有兩個(gè)方面：第一方面：定義中“函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域有定義”強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的附近有定義即可，而在點(diǎn)x0是否有定義并不影響考察函數(shù)在該點(diǎn)的極限。例2分別求f（x）=x+2與f（x）=時(shí)的極限。通過此例，使得學(xué)生們能夠更加深入地理解“空心鄰域”的意義。第二方面：x→x0函數(shù)值f（x）無限接近于A，表示無論x是從x0左側(cè)趨向于x0，還是從x0右側(cè)趨向于x0，f（x），都無限接近于同一個(gè)數(shù)值A(chǔ)。3.綜合分析函數(shù)極限的兩種。函數(shù)極限中的ε—M（圖3）定義中，是尋找M，使得當(dāng)|x|＞M時(shí)，使得f（x）的值都落在區(qū)域D1與D2內(nèi)。與函數(shù)極限的ε-δ（圖4）定義中，是尋找δ