2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過關(guān)檢測-二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》(全國通用版)第7講 二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算核心考點(diǎn)1：二次根式的概念及有意義的條件1.二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．2.二次根式有意義的條件要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0．3.最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．4.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．核心考點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；核心考點(diǎn)3：二次根式的運(yùn)算1.二次根式的加減:合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．2.二次根式的乘除:乘法法則：；除法法則：．3.二次根式的混合運(yùn)算:二次根式的混合運(yùn)算順序與實數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．二次根式在中考數(shù)學(xué)試卷中主要的題型如下：二次根式有意義的條件,通常會以選擇或填空題的形式出現(xiàn);二次根式的運(yùn)算主要以計算題的形式出現(xiàn),其他解答題中也會有很多涉及二次根式運(yùn)算的?！胃降呐袛?．下列各式一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的概念,滿足兩個條件才是二次根式，1、被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，2、根指數(shù)是2．解：A．，根指數(shù)是3，不是二次根式，故此選項不合題意；B．，根據(jù)一定大于0，則一定是二次根式，故此選項符合題意；C．無意義，故此選項不合題意；D．，的符號不確定，故不一定是二次根式，故此選項不合題意．故選：B．【反思】本題主要考查二次根式的定義，對二次根式的根指數(shù)和被開方數(shù)理解到位是解題的關(guān)鍵．——二次根式有意義的條件2．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．解：由題意得：，解得：，故選：B．【反思】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．——利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡3．下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷即可．解：A．，故A錯誤；B．，故B正確；C．，故C錯誤；D．，故D錯誤．故選：B．【反思】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，靈活應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算，是解題的關(guān)鍵．4．將根號外的因式移到根號內(nèi)為（

）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性質(zhì)得出的符號進(jìn)而化簡求出答案．解：由題意可知，∴．故選：B．【反思】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．——二次根式的運(yùn)算5．下列計算，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則逐項判斷即可．解：A、不是同類二次根式，不能合并，故錯誤，不合題意；B、，故錯誤，不合題意；C、，故正確，符合題意；D、，故錯誤，不合題意；故選：C．【反思】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運(yùn)算的法則．——最簡二次根式的概念6．下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可選出正確選項．解：A、是最簡二次根式，故此選項符合題意；B、不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；C、不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；D、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意．故選A．【反思】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)的因數(shù)數(shù)整數(shù)，因式是整式．——同類二次根式的概念7．下列二次根式中，不能與合并的是（

）A． B． C． D．【分析】化簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案．【詳解】解：A、，能與合并，故A不符合題意；B、，能與合并，故B不符合題意；C、，不能與合并，故C符合題意；D、，能與合并，故D不符合題意．故選：C．【反思】本題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式．8．若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為（

）A． B． C． D．【分析】把化成最簡二次根式，由最簡二次根式的含義：被開方數(shù)相同，可得關(guān)于m的方程，解方程即可．解：∵，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：；故選：B．【反思】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．但要注意，要把化成最簡二次根式．——二次根式的大小估計與比較9．估計與最接近的整數(shù)是（

）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，先估算出的范圍，再求出與中點(diǎn)與比較大小，進(jìn)而得到最接近的整數(shù)解：，，，，即，，且，，，即，與最接近的整數(shù)是，故選：C．【反思】本題考查利用二次根式的性質(zhì)估算無理數(shù)的范圍，得出的范圍是，并取與得中點(diǎn)與比較大小是解決問題的關(guān)鍵．10．估算的值應(yīng)在（

）．A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計算出結(jié)果，再分別利用無理數(shù)的大小比較方法進(jìn)行比較即可解：∵原式=且49<54<64，∴即，故選D．【反思】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．11．已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．解：∵，，，而∴故選A．【反思】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．——二次根式的計算與化簡12．計算____，化簡：____，____．【分析】根據(jù)二次根式的乘法計算法則和二次根式的性質(zhì)求解即可．解：；；，故答案為：6，，．【反思】本題主要考查了二次根式的乘法，二次根式的化簡，正確計算是解題的關(guān)鍵．13．計算的結(jié)果是___________．【分析】先化簡二次根式，再計算二次根式的乘法與減法即可得．解：原式，故答案為：．【反思】本題考查了二次根式的乘法與減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．14．的絕對值是____________；___________.【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、乘方的意義和積的乘方化簡，再進(jìn)一步計算得出答案即可．解：||=，．故答案為：，1．【反思】本題考查絕對值的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算．掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．15．計算：(1)；(2)；【分析】（1）將二次根式化簡后再進(jìn)行合并即可；（2）原式先根據(jù)完全平方公式去括號和化簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，最后合并同類二次根式即可解：（1）==（2）==【反思】本題主要考查了二次根式的加減以及混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解答本題的關(guān)鍵16．計算：【分析】根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可．解：原式．【反思】本題主要考查了二次根式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則和乘法公式是解題的關(guān)鍵．17．化簡：(1)(2)【分析】（1）先化簡二次根式，再計算二次根式的乘除，最后進(jìn)行二次根式的加減法即可；（2）先利用乘法分配律化簡，再計算二次根式的加減運(yùn)算即可．（1）解：；（2）解：．【反思】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，化簡絕對值，能夠熟練掌握運(yùn)算順序時解決本題的關(guān)鍵．——前后聯(lián)系相關(guān)知識，溫故而知新很多同學(xué)在學(xué)習(xí)時，都有這樣一種感覺，學(xué)了后面新的知識，前面的知識一段時間不看不做就忘了！其實對付遺忘最好的辦法就是溫故而知新，要做到這樣，可能會有同學(xué)說，我學(xué)習(xí)時間緊張，沒有時間去復(fù)習(xí)前面的東西，其實最好的辦法是找到前后知識之間的聯(lián)系，這樣不僅可以復(fù)習(xí)舊的知識，還可以更好地學(xué)習(xí)新的知識！例如，我們本講的二次根式與第一講的實數(shù)、無理數(shù)、平方根、算術(shù)平方根是相關(guān)的，我們可以把它們聯(lián)系在一起，其實二次根式不是什么新的東西，這樣我們學(xué)習(xí)起來就輕松多了。秘籍七：前后聯(lián)系相關(guān)知識，溫故而知新！一、選擇題1．在式子中，二次根式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．若二次根式有意義，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．4．下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的（

）A．與 B．與 C．與 D．與5．比較：（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定二、填空題6．計算：______．7．計算＋的結(jié)果是______．8．當(dāng)時，代數(shù)式______．三、解答題9．計算：10．計算：.一、選擇題1．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．要使式子有意義，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且3．計算：（）A．2 B． C．3 D．4．已知方程，記兩根為，求的值為（

）A．3 B． C．4 D．5．估計的值應(yīng)在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間6．如果是最簡二次根式，則x的值可能是（

）A．11 B．13 C．21 D．277．能夠使與是同類最簡二次根式的x值是（）A． B． C．或 D．不存在8．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．當(dāng)時，多項式的值為（

）A．3 B． C．1 D．10．代數(shù)式的最小值是（

）A．0 B．3 C． D．不存在二、填空題11．已知，化簡：_______．12．實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是____．13．如果代數(shù)式的值為7，那么，的值是___________．三、解答題14．計算：(1)； (2)．15．計算：．16．先化簡，再從，0，，2中選擇一個合適的值代入求值：．17．（1）已知其中，化簡求值；（2）已知，探究m與n的關(guān)系．18．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中，，，均為正整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)，，．均為正整數(shù)時，若，用含，的式子分別表示，，得，；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)；，，，填空：；(3)若，且，，均為正整數(shù)，求的值．中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》(全國通用版)第7講 二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算題組特訓(xùn)詳解一、選擇題1．在式子中，二次根式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：是二次根式，符合題意，是三次根式，不合題意，是二次根式，符合題意，不是二次根式，不合題意．故選：B．【反思】本題主要考查二次根式定義，正確理解二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．若二次根式有意義，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．解：二次根式有意義，，解得．故選C．【反思】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式中，被開方數(shù)大于等于0．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．解：A、，不一定成立，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；D、和不是同類二次根式，無法合并，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項正確，符合題意；故選：D【反思】本題考查了算術(shù)平方根，二次根式的減法，二次根式的除法，正確的計算是解題的關(guān)鍵．4．下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的（

）A．與 B．與 C．與 D．與解：A．，，不是同類二次根式；B．，，不是同類二次根式；C．，，不是同類二次根式；D．與，是同類二次根式；故選D．【反思】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．化成最簡二次根式后，如果被開方式相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．5．比較：（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定解：=，=，∵45<75，∴<．即<，故選：B【反思】此題考查了二次根式的大小比較，掌握被開方數(shù)越大，算數(shù)平方根就越大是解決此題的關(guān)鍵.二、填空題6．計算：______．解：故答案為：．【反思】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．7．計算＋的結(jié)果是______．解：原式，故答案為：．【反思】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式混合運(yùn)算法則是正確解答的前提．8．當(dāng)時，代數(shù)式______．解：∵時，，∴原式=1+2022=2023，故答案為：2023．【反思】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題9．計算：解：原式．【反思】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是二次根式的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．10．計算：.解：．【反思】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測詳細(xì)解析一．選擇題1．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．A.，無意義，故A錯誤；B.是二次根式，故B正確；C.是三次根式，故C錯誤；D.沒有說明a的取值范圍，故D錯誤；故選B．【反思】本題主要考查了二次根式的概念．2．要使式子有意義，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且解：由題意可得，，解得：，故選：C．【反思】本題考查二次根式和分式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)），分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關(guān)鍵．3．計算：（）A．2 B． C．3 D．解：，故選：B．【反思】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．4．已知方程，記兩根為，求的值為（

）A．3 B． C．4 D．解：∵方程的兩根是、∴，∵，∴．故選：C．【反思】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次根式的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵．5．估計的值應(yīng)在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間解：==；∵，即，∴．∴的值應(yīng)在4和5之間．故選：B．【反思】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及估算無理數(shù)的范圍，正確估算出的范圍是解決問題的關(guān)鍵．6．如果是最簡二次根式，則x的值可能是（

）A．11 B．13 C．21 D．27解：是二次根式，，解得，A、當(dāng)時，，確定不是最簡二次根式，該選項不符合題意；B、當(dāng)時，，確定是最簡二次根式，該選項符合題意；C、當(dāng)時，，確定不是最簡二次根式，該選項不符合題意；D、當(dāng)時，，確定不是最簡二次根式，該選項不符合題意；故選：B．【反思】本題考查二次根式有意義的條件及最簡二次根式定義，熟練掌握最簡二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．7．能夠使與是同類最簡二次根式的x值是（）A． B． C．或 D．不存在根據(jù)題意得：，且，，∵，∴，解得：或（舍），∴，故選：A【反思】本題考查了同類最簡二次根式的定義，掌握同類最簡二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵8．若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．解：∵，∴，∵，，∴，，∵，即，∵a、b、c都是大于0的實數(shù)，∴，故選：A．【反思】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識點(diǎn)，利用完全平方公式計算出值，是解決本題的關(guān)鍵．9．當(dāng)時，多項式的值為（

）A．3 B． C．1 D．解：，，，，多項式，故選：D．【反思】轉(zhuǎn)化思想，是數(shù)學(xué)中一種很重要的思想．10．代數(shù)式的最小值是（

）A．0 B．3 C． D．不存在解：若代數(shù)式++有意義，則，解得：x≥2，∵由，，都隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝2時，代數(shù)式的值最小，即++＝1+0+2＝3．故選：B．【反思】此題考查了函數(shù)的最值問題，考查了二次根式的意義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得x的取值范圍．二、填空題11．已知，化簡：_______．；因為，所以，即，故答案為：．【反思】此題考查二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，牢記公式．12．實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是____．解：由數(shù)軸可得：，故．故答案為：．【反思】本題考查了數(shù)