選修導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義其中：⑴

其幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。2:切線Pl

能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫曲線過該點(diǎn)的切線？如果能，請(qǐng)說明理由；如果不能，請(qǐng)舉出反例。不能xyo直線與圓相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)PPQoxyy=f(x)割線切線T1、曲線上一點(diǎn)的切線的定義結(jié)論:當(dāng)Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)時(shí),此時(shí)直線PQ就是P點(diǎn)處的切線PT.點(diǎn)P處的割線與切線存在什么關(guān)系？新授xoyy=f(x)

設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，在曲線C上取一點(diǎn)P(x0,y0)及鄰近一點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y),過P,Q兩點(diǎn)作割線，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近于點(diǎn)P點(diǎn)P處的切線。即△x→0時(shí),如果割線PQ有一個(gè)極限位置PT,那么直線PT叫做曲線在曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義△x△yPQT此處切線定義與以前的定義有何不同？PPnoxyy=f(x)割線切線T當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.

圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。

xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？

即：當(dāng)△x→0時(shí)，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動(dòng)過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:

這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.

要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.

故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是:題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用例1:（1）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)(1,3)處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.練：設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用hto練習(xí):如圖已知曲線,求:(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f’(x0)是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?看一個(gè)例子:3、判斷曲線y=2x2在點(diǎn)P(1,2)處是否有切線，如果有，求出切線的方程.1、設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量由xo改變到xo+Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy=()

A、f(xo+Δx)B、f(xo)-f(Δx)C、f(xo)+ΔxD、f(xo+Δx)-f(xo)2、已知曲線y=x2/2上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是xo和xo+Δx，則過A、B兩點(diǎn)的直線斜率是（）

模式練習(xí)下面把前面知識(shí)小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了解認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)