《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件 孟祥波 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第五章大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié)切比雪夫不等式與大數(shù)定律二、大數(shù)定律一、切比雪夫不等式三、小結(jié)一、切比雪夫（Chebyshev）不等式成立.定理1或則對于任意正數(shù)，不等式設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)存在,證明：下面分別在離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩種情形。情形一：設(shè)離散型隨機變量X的概率函數(shù)為p(x),則有情形二：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則有已知正常男性成人血液中，每毫升含白細胞數(shù)的平均值是7300，標準差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數(shù)在5900~8700

之間的概率．設(shè)X表示每毫升血液中含白細胞個數(shù)，由題意知例1則所求概率解：二、大數(shù)定律定理2（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)獨立隨機變量序列X1,X2,

…,Xn,…

的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常數(shù)C

，使得則對于任意的正數(shù)，有定理3（伯努利大數(shù)定律）在獨立試驗序列中，設(shè)事件A的概率P(A)=p，fn(A)表示事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，則對于任意的正數(shù)，有定理4（辛欽大數(shù)定律）設(shè)隨機變量序列X1,X2,

…,Xn,…

獨立同分布，并且有則對于任意的正數(shù)，有小結(jié)1.切比雪夫不等式2.大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律.概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第五章大數(shù)定律和中心極限定理第二節(jié)中心極限定理二、棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理一、林德伯格—勒維中心極限定理三、小結(jié)一、林德伯格—勒維中心極限定理設(shè)相互獨立的隨機變量序列X1,X2,

…,Xn,…服從定理1（林德伯格—勒維中心極限定理）相同的分布，且則對于任意實數(shù)x，有用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，期望值為100克，標準差為10克，100袋味精裝成一箱.求一箱味精凈重大于10250克的概率.設(shè)一箱味精凈重為X克，箱中第k袋味精的凈重為Xk克，k=1,2,…,100

，則X1,X2,

…,X100

是相互獨立的隨機變量，且E(Xk)=100，D(Xk)=100.故例1：解：因而，二、棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理設(shè)在獨立試驗序列中，事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),隨機變量Yn表示事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則對于任意實數(shù)x，有定理2（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）

設(shè)隨機變量X服從B(100,0.8),求由棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理可知例2：解：一個復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨立的電子元件構(gòu)成，在系統(tǒng)運行期間，每個電子元件損壞的概率為0.1，用X表示系統(tǒng)運行時正常工作的元件數(shù)．（1）寫出X的概率函數(shù)；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理，求系統(tǒng)運行時正常工作的電子元件數(shù)不少于88個的概率的近似值．（1）X~B(100,0.1),則概率函數(shù)為例3：解：（2）由棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理得小結(jié)1.林德伯格—勒維中心極限定理2.棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第五章大數(shù)定律和中心極限定理第三節(jié)綜合例題設(shè)隨機變量，且相關(guān)系數(shù)，根據(jù)切比雪夫不等式估算例1：因為因而由切比雪夫不等式得到解：而因此所以一加法器同時收到300個噪聲電壓Vk(k=1,2,…,300)，設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,6)上服從均勻分布，記，求的近似值．例2：解：由林德柏格—勒維中心極限定理，隨機變量易知近似服從標準正態(tài)分布N(0,1)．于是例3：電站供應(yīng)當(dāng)?shù)?0000戶居民用電，在用電高峰時每戶用電的概率為0.9，且各戶用電量多少是相互獨立的．求：（1）用電高峰時刻有9060戶以上用電的概率；（2）若每戶用電功率為100W，則在用電高峰時刻電站至少需要多少電功率才能保證以0.975的概率供應(yīng)居民用電？解：（1）設(shè)Yn表示在10000戶中同時用電的用戶，則于是因此，所求概率為