專題12 平面向量（解析版）

答案第=page22頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題12平面向量【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖像，即可得出，，再得出，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】由，可知E為BC中點(diǎn)，所以，如圖所示：因?yàn)?，根?jù)上圖可知故選：A2．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關(guān)系，把的兩邊平方，利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為8.故選：C．3．（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎矫鎲挝幌蛄?，，滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可得，替換，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，，因?yàn)椋云叫兴倪呅螢榱庑?，則為正三角形，所以，且反向，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選:C.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得的值，根據(jù)投影的定義可直接求得結(jié)果.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，解得：；若，不合題意，；當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）；綜上所述：，，在方向上的投影為.故選：C.5．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算得，再利用數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】在邊長(zhǎng)為2的等邊中,BD為中線，則故選：A6．（2022·河南·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M在C上，圓M的半徑為1，過點(diǎn)F的直線與圓M相切于點(diǎn)N，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由題作圖，由圖可得，根據(jù)拋物線定義可得等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)圖形可得最小值情況，從而可得的最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，如下圖所示：連接，過作垂直準(zhǔn)線于，則在直角中，，所以，由拋物線的定義得：，則由圖可得的最小值即拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即，所以.故選：D.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得，，則其離心率的值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】設(shè)，結(jié)合以及列方程，化簡(jiǎn)求得離心率.【詳解】設(shè)，則①，利用向量加法法則知，則即，故②，設(shè)，則，③，由②③得，即，又，所以，即，即所以雙曲線離心率的值是3故選：D8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且，E是邊BC的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)F，若BF是的平分線，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)BF是的平分線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，再替換向量和，利用平面向量基本定理的推論，即可求解.【詳解】因?yàn)锽F是的平分線，所以存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，（根據(jù)角平分線的條件，選擇合適的基底）因?yàn)镋是邊BC的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)A，E，F(xiàn)共線，所以①．（三點(diǎn)共線的應(yīng)用：（，為實(shí)數(shù)），若A，B，C三點(diǎn)共線，則）因?yàn)?，所以，又點(diǎn)C，F(xiàn)，D共線，所以②，聯(lián)立①②，得，則，即.故選：C．二、多選題9．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則的值為C．若，則的值為D．若，則與的夾角為銳角【答案】AC【分析】根據(jù)平面向量的模公式、垂直向量、共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A說法正確；因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)B說法不正確；因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C說法正確；當(dāng)時(shí)，，所以，因此選項(xiàng)D說法不正確，故選：AC10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在菱形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】四邊形為菱形，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，D正確.故選：ABD.11．（2022·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（

）A．B．非零向量和，滿足且與同向，則C．非零向量滿足D．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律判斷；選項(xiàng)B，由向量與向量間不能比較大小判斷；選項(xiàng)C，由平方判斷；選項(xiàng)D數(shù)量積大于零，且不共線求解判斷【詳解】A.由向量的數(shù)量積的運(yùn)算律知：，故正確；B.由向量與向量間不能比較大小知，錯(cuò)誤；C.由兩邊平方得：，則，故正確；D.已知，，且與的夾角為銳角，則，且與不共線，則，解得，故錯(cuò)誤；故選：AC12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是半徑為2的圓O的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（

）A．若角，則B．若，則C．若，則，的夾角為D．若，則為圓O的一條直徑【答案】BC【分析】對(duì)于A，作OD垂直于AB.垂足為D，則，由正弦定理求出AB,利用數(shù)量積的幾何意義求得，即可判斷；對(duì)于B,利用向量的加法運(yùn)算可推出，即可判斷；對(duì)于C，將平方，結(jié)合數(shù)量積的定義可求得，的夾角；對(duì)于D,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可推出，判斷BC為圓的直徑，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，作OD垂直于AB.垂足為D，則,由正弦定理得，故,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由得，，即,則點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓的直徑，故，B正確；對(duì)于C，設(shè)，的夾角為，由得，，即，解得或，由于，故，故，則，的夾角為，C正確；對(duì)于D,由得，即，則為圓O的一條直徑，D錯(cuò)誤，故選:BC三、填空題13．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則__________．【答案】##【分析】根據(jù)所給條件平方后可得，再求出，可知向量與夾角相等，即可求解.【詳解】由平方可得：，又，，即，由知，，又，，且為銳角，，，解得，故答案為：14．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，圓P：分別交線段、于M、N兩點(diǎn)，則______.【答案】##1.2【分析】根據(jù)橢圓的定義及圓的半徑確定，再由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由知圓心，半徑，又橢圓方程為，所以在橢圓上，且橢圓的焦點(diǎn)，，所以，，因?yàn)?所以,又，所以.故答案為：15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022年虎年新春來臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖2），若在的中點(diǎn)，則___________.【答案】8【分析】可分別構(gòu)造與，分別求得的長(zhǎng)度以及、，根據(jù)數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律即可求得；也可取中點(diǎn)為，構(gòu)造，求出以及的值.又，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得.【詳解】方法一：圖3如圖3，取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過點(diǎn).易知，，，則，，.所以，.圖4如圖4，延長(zhǎng)交于，易知是的中點(diǎn)，且.則，，在中，，.所以，.所以，.故答案為：8.方法二：圖5取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過點(diǎn).易知，，，如圖5，取中點(diǎn)為，顯然，，.在中，，.又為中點(diǎn)，則.所以，.故答案為：8.16．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，，，，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且，則______.【答案】1【分析】建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別寫出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，則，又則，因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為,由得，，所以,由，，所以，故答案為：1.四、解答題17．（2022·四川綿陽(yáng)·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若設(shè)與的夾角為，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）利用向量垂直數(shù)量積為，得出，從而確定向量，不共線，可作為一組基底，再根據(jù)共線定理得出實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)兩向量的夾角公式的需要，首先求出兩向量的數(shù)量積，再求出的模長(zhǎng)，最后代入夾角公式即可.（1）由可得：，即，又由，得，，代入解得：，所以，是不共線的向量.由題可設(shè)：，因?yàn)椋遣还簿€的向量，所以且，解得．（2）由于，，由與的夾角為：，由于，所以．18．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，再由的值和的范圍可求得結(jié)果.（2）令可得點(diǎn)T在BC上，再將轉(zhuǎn)化為，由、的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以，，所以，即的取值范圍為；（2）令，則，∴，即：∴∴點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，所以，從而，，因?yàn)?，所以，即的最小值為?9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高三江蘇省邗江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先將括號(hào)打開整理可得，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系化切為弦，結(jié)合正弦的和角公式整理可得，根據(jù)正弦定理即可證明；（2）結(jié)合余弦定理與數(shù)量積的定義可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，兩邊同時(shí)乘，可得，即。所以，因?yàn)椋?，由正弦定理可得，?（2）因?yàn)?，所以由余弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.20．（2022·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對(duì)稱中心和單調(diào)減區(qū)間；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，對(duì)稱中心為，單調(diào)減區(qū)間是(2)【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(2)由題意可得：在上恒成立，求出的最值，轉(zhuǎn)化為，解之即可.【詳解】（1）

令，對(duì)稱中心又令，所以單調(diào)減區(qū)間是（2）不等式在上恒成立，，即在上恒成立，，因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，即，得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是【提能力】一、單選題21．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三孟津縣第一高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】將轉(zhuǎn)化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查點(diǎn)到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.23．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且點(diǎn)滿足，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量知識(shí)可得，兩邊平方可得，再利用不等式知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?所以的最大值為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將向量條件化為，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算得到是解題關(guān)鍵.24．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在△中，點(diǎn)M是上的點(diǎn)且滿足，N是上的點(diǎn)且滿足，與交于P點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△中，D為BC的中點(diǎn)，，，EF與AD交于G，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，根據(jù)共線可設(shè)，，結(jié)合已知及平面向量的基本定理列方程組求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，又，且，所以，即，解得.故選：B.28．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)中邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出圖形，利用、表示，然后利用平面向量減法的三角形法則可得出可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：為的中點(diǎn)，則，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用基底表示向量，考查了平面向量減法和加法三角形法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.29．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與，所在的直線分別交于點(diǎn)，，若，，則的最小值為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量加減的幾何意義可得，結(jié)合已知有，根據(jù)三點(diǎn)共線知，應(yīng)用基本不等式“1”的代換即可求最值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】由題設(shè)，如下圖示：，又，，∴，由三點(diǎn)共線，有，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量線性運(yùn)算的幾何表示，得到、、的線性關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)共線有，再結(jié)合基本不等式求最值.30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和三點(diǎn)共線，可得和，利用平面向量線性運(yùn)算可用表示出，由此可得方程組求得，進(jìn)而得到的值.【詳解】連接，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；，解得：，，即.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，基本思路是根據(jù)為兩線段交點(diǎn)，利用兩次三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量基本定理構(gòu)造出方程組求得結(jié)果.二、多選題31．（2022·湖北黃岡·蘄春縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．過點(diǎn)的直線交于，若，，則D．與共線【答案】ACD【分析】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可以即，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定B錯(cuò)誤；利用三角形中線的定義，線性運(yùn)算和平面向量基本定理中的推論可以證明C正確；利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量垂直的條件可以判定與垂直，從而說明D正確.【詳解】如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為M,則,,故A正確；等價(jià)于等價(jià)于,即，對(duì)于一般三角形而言，是外心，不一定與垂直，比如直角三角形中，若為直角頂點(diǎn)，則為斜邊的中點(diǎn)，與不垂直.故B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為,則，∵E,F,G三點(diǎn)共線，，即,故C正確；,與垂直,又,∴與共線，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量及運(yùn)算，向量垂直和共線的判定，平面向量分解的基本定理，屬綜合小題，難度較大，關(guān)鍵是熟練使用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，理解三點(diǎn)共線的充分必要條件，進(jìn)而逐一作出判定.32．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的為（

）．A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．非零向量，，滿足且與同向，則D．非零向量和，滿足，則與的夾角為30°【答案】AC【分析】由向量的數(shù)量積，向量的夾角，判斷；向量的基本定理判斷；向量的定義判斷；平面向量的基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)判斷．【詳解】解：對(duì)于，與的夾角為銳角，，且時(shí)與的夾角為，所以且，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于．因?yàn)?，兩邊平方得，，則，，故，而向量的夾角范圍為，，得與的夾角為，故項(xiàng)正確．故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為AC．故選：AC．33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC、BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是（

）A．為定值 B．的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為定值 D．的最大值為12【答案】AC【分析】根據(jù)題設(shè)中的圓冪定理可判斷AC的正誤，取的中點(diǎn)為，連接，利用向量的線性運(yùn)算可判斷B的正誤，根據(jù)直徑的大小可判斷D的正誤.【詳解】如圖，設(shè)直線與圓于，.則,故A正確.取的中點(diǎn)為，連接，則，而，故的取值范圍是，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，故C正確.因?yàn)?，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC34．（2022秋·江蘇鹽城·高三阜寧縣東溝中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)有4點(diǎn)ABCD，的面積是面積的2倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．【答案】BCD【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，由面積比得，根據(jù)平面向量基本定理得與關(guān)系，從而得數(shù)列遞推關(guān)系，然后根據(jù)各選項(xiàng)求解數(shù)列，判斷結(jié)論，其中選項(xiàng)D需要用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，，，共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比數(shù)列，A錯(cuò)；因?yàn)?，所以，即，所以是等差?shù)列，C正確；又因?yàn)?，則，即，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，B正確；因?yàn)椋?，所以兩式相減得，所以，D正確．故選：BCD．三、填空題35．（2019秋·廣西·高三階段練習(xí)）已知向量，，，，若，則的最小值______.【答案】【分析】首先根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)“1”的變形，利用基本不等式求最值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“1”的妙用，變形，展開后，即可利用基本不等式求最值.36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可解決問題.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時(shí)，取最小值.故答案為：.37．（2019秋·福建·高三福建省泰寧第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作一直線分別與邊，交于(不與點(diǎn)A重合），若，其中，則的最小值是_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用與共線，求出與的表達(dá)式再利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】中，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，，同理，，又與共線，存在實(shí)數(shù)，使，即，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）．38．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)，可得共線，又，當(dāng)為最小時(shí)最小，而此時(shí)、關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合已知即可求的最小值.【詳解】由題意，，∴令，，故有共線，∵，故當(dāng)且僅當(dāng)為最小時(shí)，最小，∴有、關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，最小，此時(shí)到AB的距離為，∴，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知，、、的終點(diǎn)共線，且可分析得、關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，最小，進(jìn)而求最小值即可.四、解答題39．（2022·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二十中?？家荒＃┰谥?，角的對(duì)邊分別是，，，如圖所示，點(diǎn)在線段上，滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得，進(jìn)而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，從而求得，由平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，為等邊三角形，設(shè)，則，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本