專題22成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題（學生版）

專題22成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題主要通過成對樣本數(shù)據(jù)（二維數(shù)據(jù)）研究兩個變量之間的關系，學習成對數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，并根據(jù)樣本估計總體的思想，通過成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征推斷兩個變量（二維總體）的統(tǒng)計特征，具體體現(xiàn)在了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題主要通過成對樣本數(shù)據(jù)（二維數(shù)據(jù)）研究兩個變量之間的關系，學習成對數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，并根據(jù)樣本估計總體的思想，通過成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征推斷兩個變量（二維總體）的統(tǒng)計特征，具體體現(xiàn)在了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表及獨立性檢驗，會應用這些方法解決簡單的實際問題。本專題的探究一主要包含成對數(shù)據(jù)相關性的判斷依據(jù)—樣本相關系數(shù)的理解，一元線性回歸模型和可以轉化為一元線性回歸模型的計算，以及利用這個模型進行預測。探究二主要是考查一對分類變量是否具有關聯(lián)性，而獨立性檢驗為我們提供了解決這類問題的辦法，可借助例2梳理獨立性檢驗的步驟.探究三是概率與統(tǒng)計案例的綜合應用，常涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應用、數(shù)字特征、獨立性檢驗，回歸方程等基礎知識，考查學生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應用意識，綜合性強，要善于把問題分解成我們熟悉的問題進而利用所學知識進行求解?！戏拾酥懈呒壗處煼叫裉骄?：成對數(shù)據(jù)的分析【典例剖析】例1.(2022·浙江省模擬)創(chuàng)新是民族的靈魂，某大型企業(yè)對其產(chǎn)品進行研發(fā)與創(chuàng)新，根據(jù)市場調研與模擬，得到研發(fā)投入x(億元)與研發(fā)創(chuàng)新的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當0<x≤17時，建立了y與z的兩個回歸模型：模型=1\*GB3①：y=4.1x+11.8；模型=2\*GB3②：y=21.3x-14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為：y=-0.7x+a(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<x≤17時模型=1\*GB3①、=2\*GB3②的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測該企業(yè)對產(chǎn)品創(chuàng)新改造的投入為17億元時的直接收益．回歸模型模型=1\*GB3①模型=2\*GB3②回歸方程yyi=1182.479.2(附：刻畫回歸效果的決定系數(shù)R2=1-i=1n(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當研發(fā)的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據(jù)，比較研發(fā)改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大?。?附：b=i=1(3)研發(fā)改造后，該公司F產(chǎn)品的效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012)，公司對研發(fā)團隊的獎勵方案如下：若F產(chǎn)品的效率不超過50％，不予獎勵；若F產(chǎn)品的效率超過50％但不超過53％，每件F產(chǎn)品獎勵2萬元；若F產(chǎn)品的效率超過53％(附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則選題意圖:選題意圖:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性及一元線性回歸模型，常以解答題的形式考查簡單的實際問題，難度一般.試題具有圖表豐富、數(shù)據(jù)與閱讀信息量大的特點,考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).例1綜合考查模型的選擇與應用及正態(tài)分布，對分析問題的能力、運算能力要求較高.思維引導：第（1）問計算R2的值，選擇合適的模型；第（2）問利用回歸方程進行預測；第（3）問利用正態(tài)分布的特點求出獎勵Y分別取0、2、5時的概率，從而求出E【變式訓練】練11(2022·福建省模擬·多選)某班級學生開展課外數(shù)學探究活動，將一杯冷水從冰箱中取出后靜置，在25℃的室溫下測量水溫y(單位：℃)隨時間x(單位：min)的變化關系，在測量了15個數(shù)據(jù)后，根據(jù)這些實驗數(shù)據(jù)(xi,y現(xiàn)需要選擇合適的回歸方程進行回歸分析，則根據(jù)散點圖，合適的回歸方程類型有(

)A.y=25-c1e-c2練12(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)2018年9月10日，全國教育大會在北京召開，習近平總書記在會上提出“培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人”.某學校貫徹大會精神，為學生開設了一門模具加工課，經(jīng)過一段時間的學習，擬舉行一次模具加工大賽，學生小明、小紅打算報名參加大賽．(1)賽前，小明進行了一段時間的強化訓練，加工完成一個模具的平均速度y(秒)與訓練天數(shù)x(天)有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如下表數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒)990990450320300240210經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用y=a+bx作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預測小明經(jīng)過50天訓練后，加工完成一個模具的平均速度(2)小明和小紅擬先舉行一次模擬賽，每局比賽各加工一個模具，先加工完成模具的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為35，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若每局不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率，參考數(shù)據(jù)：(其中i=1ti=118450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(u2,v2)【規(guī)律方法】1.判斷相關關系的兩種方法=1\*GB3①散點圖法：如果樣本點的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關關系；如果樣本點的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系.=2\*GB3②決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，R2越趨近1，擬合效果越好，相關性越強.2.求經(jīng)驗回歸方程：=1\*GB3①利用公式b=i=1nxiyi-nxy=2\*GB3②經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)|r|判斷，當|r|R2判斷，R2越大，擬合效果越好.3.非線性經(jīng)驗回歸方程轉化為線性經(jīng)驗回歸方程：①若y=a+bx②若滿足對數(shù)式：y=a+blnx③若滿足指數(shù)式：y=c1ec2x，兩邊取對數(shù)探究2：獨立性檢驗【典例剖析】例2.(2022·湖北省聯(lián)考)為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只．

假設小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立．

(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及α=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關．

單位：只指標值抗體小于60不小于60合計有抗體沒有抗體合計

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體．

(i)用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p;

(ii)以(i)中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當X=99時，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)n及E(X)．

參考公式：χ2=n(ad-bc)P(0.500.400.250.150.1000.0500.025k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024選題意圖選題意圖：獨立性檢驗可以單獨考查，也可與概率、隨機變量的分布列、期望等交匯考查，通過對統(tǒng)計案例的分析，掌握獨立性檢驗的方法，體會獨立性檢驗的基本思想在解決實際問題中的應用，借助例2梳理獨立性檢驗的步驟.思維引導：第（1）問分析頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，填寫2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，從而判斷犯錯概率不大于0.05；第（=1\*romani）問利用正難則反的思想，先求2次疫苗后均未產(chǎn)生抗體的概率，再求其對立事件的概率;第（=2\*romanii）問中，Χ~Bn,0.9，將PΧ=9最大，轉化為PΧ=9≥PΧ=8,PΧ=9≥P【變式訓練】練21(2022·湖北省黃石市月考·多選)為了增強學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素與學生對體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學生是否喜歡體育鍛煉的情況進行普查.得到下表：性別合計男性女性喜歡280p280+p不喜歡q120120+q合計280+q120+p400+p+q附：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.00lk2.0722.7063.8415.0246.63510.828已知男生喜歡該項運動的人數(shù)占男生人數(shù)的710，女生喜歡該項運動的人數(shù)占女生人數(shù)的35A.列聯(lián)表中q的值為120，p的值為180

B.隨機對一名學生進行調查，此學生有90％的可能喜歡該項運動

C.有99％的把握認為學生的性別與其對該項運動的喜好有關系

D.沒有練22(2022·山東省濰坊市模擬)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量X[0,300)[300,600)[600,900)[900,+∞)工期延誤天數(shù)Y0258歷史氣象資料表明：該工程施工期間降水量X小于300，600，900的概率分別為0.3，0.7，0.9．(1)求工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)求在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過5天的概率；(3)由于該工程在7～8月施工，故當氣溫較高時，工人可能無法按時完成當日計劃工作量．已知在某個40天的施工周期內，有30天的最高氣溫不低于35℃，這其中僅有12天完成了當日的工作量；剩余10天中，有8天完成了當日的工作量．依據(jù)小概率值α=0.005的χ2附：χ2=n【規(guī)律方法】2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－2.解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)根據(jù)公式χ2=n(3)通過比較χ2探究3：概率與統(tǒng)計的綜合問題【典例剖析】例3.(2022·江西省景德鎮(zhèn)市模擬)十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了《關于國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要的決議》，綱要指出：“加強原創(chuàng)性引領性科技攻關”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術，已成功實現(xiàn)離子注入機全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能特種應用及第三代半導體等離子注入機，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機一站式解決方案.此次技術的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻，該企業(yè)使用新技術對某款芯片進行試生產(chǎn)，該款芯片的性能以某項指標值k70≤k<100性能指標值k90≤k<10085≤k<9080≤k<8575≤k<8070≤k<75等級ABCDE為了解該款芯片的生產(chǎn)效益，該企業(yè)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品進行隨機抽樣并測量了每件產(chǎn)品的指標值，若以組距為5畫頻率分布直方圖時，發(fā)現(xiàn)Y(設“頻率組距=Y”)滿足：(1)試確定n的所有取值，并求a；(2)從樣本性能指標值不小于85的產(chǎn)品中釆用分層抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，求樣本中等級A產(chǎn)品與等級B產(chǎn)品的件數(shù).然后從這5件產(chǎn)品中一次性隨機抽取2件產(chǎn)品，并求出2件都是A級品的概率．選題意圖選題意圖：概率統(tǒng)計試題具有應用性、情境性、綜合性的特點，試題注重基本概念的理解，著眼于知識在理解的基礎上應用，考查常規(guī)的、熟悉的知識內容.例3難度一般，考查概率與統(tǒng)計的綜合應用，考查學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).思維引導：第（1）問分析數(shù)據(jù)，利用頻率之和為1，求出a；第（2）問考查古典概型求概率，列舉出所有的樣本點，從而求出事件“所求2件都是A級品”的概率.【變式訓練】練31(2022·廣東省東莞市月考)足球是一項大眾喜愛的運動．2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天．

(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調查，得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛足球運動與性別有關？(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1=1．

(i)求P3(直接寫出結果即可)；

(ii)證明：數(shù)列{α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828練32(2022·福建省聯(lián)考)近年來，我國大學生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺優(yōu)惠政策鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)．某市統(tǒng)計了該市其中四所大學2021年的畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)(單位：千人)，得到如下表格：A大學B大學C大學D大學當年畢業(yè)人數(shù)x(千人)3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y(千人)0.10.20.40.5(1)已知y與x具有較強的線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程y=(2)假設該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補貼．(ⅰ)若該市E大學2021年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)(1)的結論估計該市政府要給E大學選擇自主