魯科版物理選修3-4配套學(xué)案第1章第3節(jié)單擺Word版含答案

第3節(jié)單擺1.理解單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件和振動(dòng)特點(diǎn)．2.知道影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式，并能用來進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．(重點(diǎn)＋難點(diǎn))3.學(xué)會(huì)用單擺測重力加速度．(重點(diǎn))一、單擺的運(yùn)動(dòng)1．單擺：把一根細(xì)線上端固定，下端拴一個(gè)小球，線的質(zhì)量和球的大小可以忽略不計(jì)，這種裝置叫做單擺．2．單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)擺球以懸點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)．(2)擺球同時(shí)以最低點(diǎn)O為平衡位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．3．單擺的回復(fù)力：如圖所示，擺球受重力mg和繩子拉力F′兩個(gè)力作用，將重力按切線方向和徑向正交分解，則繩子的拉力F′與重力的徑向分量的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，而重力的切向分力F提供了擺球振動(dòng)所需的回復(fù)力F＝mgsinθ，它總是指向平衡位置．在最大擺角小于5°時(shí)，sinθ≈θ≈eq\f(x,l)，F(xiàn)的方向可認(rèn)為與位移x平行，但方向與位移方向相反，所以回復(fù)力可表示為F＝－eq\f(mg,l)x.令k＝eq\f(mg,l)，則F＝－kx.1．(1)制作單擺的細(xì)線彈性越大越好．()(2)制作單擺的擺球越大越好．()(3)單擺的回復(fù)力等于擺球所受合力．()提示：(1)×(2)×(3)×二、單擺的周期1．影響單擺周期因素的實(shí)驗(yàn)探究(1)探究方法：控制變量法．(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論①單擺周期與擺球質(zhì)量無關(guān)．②單擺周期與振幅無關(guān)．③單擺的擺長越長，周期越長；擺長越短，周期越短．2．周期公式及應(yīng)用(1)周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的．(2)單擺的等時(shí)性：單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期與振幅無關(guān)．(3)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))．即T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比．(4)應(yīng)用①計(jì)時(shí)器(擺鐘)a．原理：單擺的等時(shí)性．b．校準(zhǔn)：調(diào)節(jié)擺長可調(diào)節(jié)鐘表的快慢．②測重力加速度由T＝2πeq\r(\f(l,g))得，g＝eq\f(4π2l,T2)，即只要測出單擺的擺長和周期，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?．(1)擺球的質(zhì)量越大，周期越大．()(2)單擺的振幅越小，周期越?。?)(3)單擺的擺長越長，周期越大．()提示：(1)×(2)×(3)√單擺的簡諧運(yùn)動(dòng)1．單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件判斷單擺是否做簡諧運(yùn)動(dòng)，可分析擺球的受力情況，看回復(fù)力是否符合F＝－kx的特點(diǎn)，如圖．(1)在任意位置P，有向線段eq\o(OP,\s\up6(→))為此時(shí)的位移x，重力G沿圓弧切線方向的分力G1＝Gsinθ提供擺球以O(shè)點(diǎn)為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力．(2)在擺角很小時(shí)，sinθ≈θ＝eq\f(x,l)，G1＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，G1方向與擺球位移方向相反，所以回復(fù)力表示為F回＝－G1＝－eq\f(mgx,l).令k＝eq\f(mg,l)，則F回＝－kx.因此，在擺角θ很小時(shí)，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)．(擺角一般不超過5°)2．單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的圖象是一條正弦(或余弦)曲線．回復(fù)力、加速度、速度、動(dòng)能、勢能都隨時(shí)間做周期性變化，其變化規(guī)律與彈簧振子相同．例如當(dāng)擺球到達(dá)最低點(diǎn)(平衡位置)時(shí)，位移、回復(fù)力、水平加速度都等于零，而速度、動(dòng)能都最大，而到達(dá)最高點(diǎn)(最大位移處)時(shí)，位移、回復(fù)力都最大，速度、動(dòng)能都等于零．(1)單擺振動(dòng)的回復(fù)力為擺球重力沿圓弧切線方向的分力，回復(fù)力不是擺球所受的合外力．(2)擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，沿圓弧切線方向的加速度為零，但合外力和向心加速度都不等于零．(3)單擺的擺動(dòng)不一定都是簡諧運(yùn)動(dòng)，只有單擺做小角度(擺角小于5°)擺動(dòng)時(shí)才認(rèn)為是簡諧運(yùn)動(dòng)．一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，以下說法正確的是()A．t1時(shí)刻擺球速度最大，擺球的回復(fù)力最大B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大[解析]t1、t3時(shí)刻，擺球位移最大，速度為零，由F＝－eq\f(mg,l)x知，回復(fù)力最大，故A、C錯(cuò)誤；t2、t4時(shí)刻，擺球通過平衡位置，速度最大，線的拉力最大，故B錯(cuò)誤，D正確．[答案]D關(guān)于單擺的回復(fù)力的三點(diǎn)提醒(1)單擺振動(dòng)中的回復(fù)力不是它受到的合力，而是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力．單擺振動(dòng)過程中，有向心力，這是與彈簧振子不同之處．(2)在最大位移處時(shí)，因速度為零，所以向心力為零，故此時(shí)合力也就是回復(fù)力．(3)在平衡位置處時(shí)，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時(shí)回復(fù)力為零，但合力不為零.1.關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過程中的受力，下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)[球受重力、擺線的張力、回復(fù)力、向心力作用B．?dāng)[球受的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零；回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大C．?dāng)[球受的回復(fù)力最大時(shí)，擺線中的張力大小比擺球的重力大D．?dāng)[球受的向心力最大時(shí)，擺球的加速度方向沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向解析：選B.擺球受重力和繩的拉力兩個(gè)力作用，A錯(cuò)誤；回復(fù)力最大時(shí)速度為零，所以向心力為零，回復(fù)力為零時(shí)速度最大，向心力最大，B正確；回復(fù)力最大時(shí)，張力等于重力沿半徑方向的分力，比重力小，C錯(cuò)誤；向心力最大時(shí)速度最大，擺球在最低點(diǎn)，此時(shí)加速度等于向心加速度，與運(yùn)動(dòng)方向垂直，D錯(cuò)誤．對單擺周期公式的理解由公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，某單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)(擺角小于5°)的周期與其擺長l和當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭有關(guān)，而與振幅和擺球的質(zhì)量無關(guān)，故又叫單擺的固有周期．1．?dāng)[長(1)實(shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長應(yīng)為從懸點(diǎn)到擺球球心的長度，即l＝l線＋eq\f(d,2)，l線為擺線長，d為擺球的直徑．(2)等效擺長在實(shí)際問題中，有些擺的構(gòu)造與單擺不完全相同，我們可以將其等效為單擺，其等效擺長為擺球圓弧運(yùn)動(dòng)的圓心到擺球重心的距離．①如圖所示，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，各段繩長均為l，甲、乙圖中擺球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，丙圖中球在紙面內(nèi)做小角度擺動(dòng)，O′為垂直紙面的釘子，而且OO′＝eq\f(l,3)，求各擺的周期．甲：等效擺長l′＝lsinα，T甲＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).乙：等效擺長l′＝lsinα＋l，T乙＝2πeq\r(\f(l（sinα＋1）,g)).丙：擺線擺到豎直位置時(shí)，圓心就由O變O′，擺球振動(dòng)時(shí)，半個(gè)周期擺長為l，另半個(gè)周期擺長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l－\f(l,3)))，即為eq\f(2,3)l，則單擺丙的周期為T丙＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l/3,g)).②如圖丁所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為單擺，小球在A、B間做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期T＝2πeq\r(\f(R,g)).2．重力加速度g(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值．(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．例如：此場景中的等效重力加速度g′＝gsinα.球靜止在O時(shí)，F(xiàn)＝mgsinα，等效加速度g′＝eq\f(F,m)＝gsinα.(1)單擺周期公式是在單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的前提下成立的．(2)在各種變形擺中，要認(rèn)真分析“等效擺長”和“等效重力加速度”，靈活運(yùn)用周期公式，切忌生搬硬套．有一單擺，其擺長l＝1.02m，擺球的質(zhì)量m＝0.10kg，已知單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)，單擺振動(dòng)30次用的時(shí)間t＝60.8s，試求：(1)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?2)如果將這個(gè)擺改為秒擺，擺長應(yīng)怎樣改變，改變多少？[思路點(diǎn)撥]本題主要考查對單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的理解與變形式的應(yīng)用．首先要清楚，單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)，同時(shí)要明白，秒擺的周期是2s而不是1s.[解析](1)當(dāng)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期公式T＝eq\f(t,n)＝eq\f(60.8,30)s＝2.027s，所以g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(4×3.142×1.02,2.0272)m/s2＝9.79m/s2.(2)秒擺的周期是2s，設(shè)其擺長為l0，由于在同一地點(diǎn)重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的擺動(dòng)規(guī)律有：eq\f(T,T0)＝eq\f(\r(l),\r(l0))，故有：l0＝eq\f(Teq\o\al(2,0)l,T2)＝eq\f(22×1.02,2.0272)m＝0.993m.其擺長要縮短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.[答案](1)9.79m/s2(2)擺長縮短0.027m2.如圖所示是兩個(gè)單擺的振動(dòng)圖象．(1)甲、乙兩個(gè)擺的擺長之比是多少？(2)以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，從t＝0時(shí)起，乙第一次到達(dá)右方最大位移處時(shí)，甲振動(dòng)到了什么位置？向什么方向運(yùn)動(dòng)？解析：(1)由題圖可以看出，單擺甲的周期是單擺乙的周期的eq\f(1,2)，即T甲∶T乙＝1∶2，又由單擺的周期與擺長的關(guān)系可知，l甲∶l乙＝1∶4.(2)由題圖可以看出，當(dāng)乙第一次到達(dá)右方最大位移處時(shí)，t＝2s，振動(dòng)到eq\f(1,4)周期，甲振動(dòng)到eq\f(1,2)周期，位移為0，位于平衡位置，此時(shí)甲向左運(yùn)動(dòng)．答案：(1)1∶4(2)甲振動(dòng)到eq\f(1,2)周期，位于平衡位置，此時(shí)甲向左運(yùn)動(dòng)用單擺測重力加速度1．實(shí)驗(yàn)原理：單擺在擺角很小(不超過5°)時(shí)，其擺動(dòng)可以看作簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期為T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中l(wèi)為擺長，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2).據(jù)此，只要測出擺長l和周期T，就可計(jì)算出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭的數(shù)值．2．實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺及鐵夾、金屬小球(最好上面有一個(gè)通過球心的小孔)、秒表、細(xì)線(1m左右)、刻度尺(最小刻度為mm)、游標(biāo)卡尺．3．實(shí)驗(yàn)步驟(1)讓細(xì)線穿過球上的小孔，在細(xì)線的一端打一個(gè)稍大一些的線結(jié)，制成一個(gè)單擺．(2)將小鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂．(3)用刻度尺和游標(biāo)卡尺測量單擺的擺長(擺線靜止時(shí)從懸點(diǎn)到球心間的距離)．(4)把此單擺從平衡位置拉開一個(gè)角度，并使這個(gè)角不大于5°，再釋放小球，當(dāng)擺球擺動(dòng)穩(wěn)定以后，過最低位置時(shí)，用秒表開始計(jì)時(shí)，測量單擺全振動(dòng)30次(或50次)的時(shí)間，求出一次全振動(dòng)的時(shí)間，即單擺的振動(dòng)周期．(5)改變擺長，反復(fù)測量三次，將算出對應(yīng)的周期T及測得的擺長l代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)，然后求g的平均值．4．?dāng)?shù)據(jù)處理(1)平均值法：每改變一次擺長，將相應(yīng)的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．設(shè)計(jì)如表所示實(shí)驗(yàn)表格實(shí)驗(yàn)次數(shù)擺長l(m)周期T(s)加速度g(m/s2)g的平均值1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)23(2)圖象法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l作出T2－l圖象，即以T2為縱軸，以l為橫軸．其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由圖象的斜率即可求出重力加速度g.(1)實(shí)驗(yàn)時(shí)，擺線長度要遠(yuǎn)大于擺球直徑，且擺線無明顯伸縮性，另外擺球要選取密度大且質(zhì)量分布均勻的鋼球．(2)單擺擺球應(yīng)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，且擺角應(yīng)小于5°.(3)測擺長l時(shí)，應(yīng)為懸點(diǎn)到球重心的距離，球質(zhì)量分布均勻時(shí)等于擺線長加上小球半徑．(4)應(yīng)從擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，以擺球從同一方向通過平衡位置時(shí)計(jì)數(shù)．(5)適當(dāng)增加全振動(dòng)的測量次數(shù)，以減小測量周期的誤差，一般30～50次即可．在做“用單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長l和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝________．若已知擺球直徑為2.00cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖所示，則單擺擺長是________m．若測定了40次全振動(dòng)的時(shí)間為75.2s，單擺擺動(dòng)周期是________．為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應(yīng)的T值．現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在以l為橫坐標(biāo)，以T2為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖中用“·”表示的點(diǎn)，則：(1)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的條件是_____________________________________________．(2)試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T2和l的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝________m/s2.(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)[解題探究](1)怎樣確定擺長？擺長等于擺線的長度嗎？(2)用圖象法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)注意哪些問題？[解析]由T＝2πeq\r(\f(l,g))，可知g＝eq\f(4π2l,T2).由圖可知：擺長l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m．T＝eq\f(t,40)＝1.88s.(1)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件是擺角小于5°.(2)把在一條直線上的點(diǎn)連在一起，誤差較大的點(diǎn)平均分布在直線的兩側(cè)，則直線斜率k＝eq\f(ΔT2,Δl).由g＝eq\f(4π2Δl,ΔT2)＝eq\f(4π2,k)，可得g＝9.8m/s2(9.9m/s2也正確)．[答案]見解析圖象法求重力加速度(1)圖象法處理數(shù)據(jù)既直觀又方便，同時(shí)也能最大限度地減小偶然誤差對實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響．(2)由于l－T的圖象不是直線，不便于進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，所以采用l－T2的圖象，目的是將曲線轉(zhuǎn)換為直線，便于利用直線的斜率計(jì)算重力加速度.3.某實(shí)驗(yàn)小組在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)中：(1)用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖所示，則該擺球的直徑為________cm.(2)小組成員在實(shí)驗(yàn)過程中有如下說法，其中正確的是________(填選項(xiàng)前的字母)．A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時(shí)開始計(jì)時(shí)B．測量擺球通過最低點(diǎn)100次的時(shí)間t，則單擺周期為eq\f(t,100)C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計(jì)算得到的重力加速度值偏大D．選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小解析：(1)游標(biāo)卡尺讀數(shù)＝主尺讀數(shù)＋游標(biāo)尺讀數(shù)＝0.9cm＋7×0.01cm＝0.97cm.(2)要使擺球做簡諧運(yùn)動(dòng)，擺角應(yīng)小于5°，應(yīng)選擇密度較大的擺球，阻力的影響較小，測得重力加速度的誤差較小，A、D錯(cuò)；擺球通過最低點(diǎn)100次，完成50次全振動(dòng)，周期是eq\f(t,50)，B錯(cuò)；擺長應(yīng)是l＋eq\f(D,2)，若用懸線的長度加直徑，則測出的重力加速度值偏大，C對．答案：(1)0.97(2)C思想方法——等效法處理單擺問題1．等效擺長圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l·sinα，這就是等效擺長，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙等效．2．等效重力加速度(1)若單擺在光滑斜面上擺動(dòng)，如圖：則等效重力加速度g′＝g·sinα，其周期為T＝2πeq\r(\f(L,gsinα)).(2)若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時(shí)擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．例如：圖(c)場景中的等效重力加速度g′＝gsinα，球相對靜止在O時(shí)，F(xiàn)T＝mgsinα，等效加速度g′＝eq\f(FT,m)＝gsinα.3．模型的等效：如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，O點(diǎn)為最低點(diǎn)，小球在O點(diǎn)附近的來回運(yùn)動(dòng)等效于單擺的簡諧運(yùn)動(dòng)．球殼對球的支持力與擺線的拉力等效，其等效擺長為半球殼的半徑R，故其周期公式為：T＝2πeq\r(\f(R,g)).一個(gè)單擺掛在電梯內(nèi)，發(fā)現(xiàn)單擺的周