全等三角形幾種類型總結(jié)5

...wd......wd......wd...全等三角形與角平分線全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形．全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形．相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等．如以以下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形≌五邊形．這里符號(hào)“≌〞表示全等，讀作“全等于〞．全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長(zhǎng)面積均相等．全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形．能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．全等符號(hào)為“≌〞．全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊．(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊．(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角．(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角．全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(2)角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(3)邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(4)角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．判定三角形全等的根本思路：全等三角形的圖形歸納起來(lái)有以下幾種典型形式：⑴平移全等型⑵對(duì)稱全等型⑶旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理：⑴角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．⑵到一個(gè)角的兩邊的距離一樣的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．⑶等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)．⑷等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等⑹線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．⑺和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．與角平分線相關(guān)的問(wèn)題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：⑴角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；⑵到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．它們具有互逆性．角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有以下三種作輔助線的方式：1．由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2．過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3．，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．中位線判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊．中線中位線相關(guān)問(wèn)題(涉及中點(diǎn)的問(wèn)題)見(jiàn)到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線以及中位線定理(以后還要學(xué)習(xí)中線長(zhǎng)公式)，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)．例題精講例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)在、上各取一點(diǎn)、，使，連接、相交于再連結(jié)、，假設(shè)，則圖中全等三角形共有哪幾對(duì)并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．【穩(wěn)固】如以下圖，，，在上，與相交于．圖中有幾對(duì)全等三角形請(qǐng)一一找出來(lái)，并簡(jiǎn)述全等的理由．板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用(2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試)如圖，，，．求證：．(2008年宜賓市)：如圖，，，求證：．【穩(wěn)固】如圖，、相交于點(diǎn)，且，，求證：．(哈爾濱市2008年初中升學(xué)考試)：如圖，、、、四點(diǎn)在同一條直線上，，，．求證：．，如圖，，，，求證：．、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，且．求證：．【穩(wěn)固】、、分別是正方形的、、邊上的點(diǎn)，，．求證：．在凸五邊形中，，，，為中點(diǎn)．求證：．板塊三、截長(zhǎng)補(bǔ)短類如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【穩(wěn)固】如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系如圖，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，則AB的長(zhǎng)為()A.B.C.D.：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.如以下圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)．五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE板塊四、與角平分線有關(guān)的全等問(wèn)題如圖，的周長(zhǎng)是，，分別平分和，于，且，求的面積．AADOCB在中，為邊上的點(diǎn)，，，求證：．中，，、分別是及平分線．求證：．中，，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．如圖，是上的一點(diǎn)，又，．求證：．(“希望杯〞競(jìng)賽試題)長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥ED交AB于F，則EF=__________．如以下圖，中，平分，、分別在、上．，．求證：∥【穩(wěn)固】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，假設(shè)，求證：為的角平分線．【穩(wěn)固】在中，，是的平分線．是上任意一點(diǎn)．求證：．如圖，在中，，的平分線交與．求證：．如以下圖，在中，，為的中點(diǎn)，是的平分線，假設(shè)且交的延長(zhǎng)線于，求證．【穩(wěn)固】如以下圖，是中的外角平分線，于，是的中點(diǎn)，求證且．【穩(wěn)固】如以下圖，在中，平分，，于，求證．如圖，中，，、分別為兩底角的外角平分線，于，于．求證：．【穩(wěn)固】：和分別是的和的外角平分線，，，求證：⑴；⑵．在中，、分別是三角形的外角、的角平分線，，垂足分別是、．求證：，【穩(wěn)固】在中，、分別是三角形的內(nèi)角、的角平分線，，垂足分別是、．求證：，【穩(wěn)固】(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形中，平分，過(guò)作，并且，則等于多少如圖，，平分，平分，點(diǎn)在上．探討線段、和之間的等量關(guān)系．探討線段與之間的位置關(guān)系．版塊一、倍長(zhǎng)中線：中，是中線．求證：．【穩(wěn)固】(2002年通化市中考題)在中，，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么如圖，中，，是中線．求證：．如圖，在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，求證：．△ABC，∠B=∠C，D，E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE．為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且．以線段、、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形【穩(wěn)固】如以下圖，在中，是的中點(diǎn)，垂直于，如果，求證．(年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽·初二組)在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足．假設(shè)，，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)________．版塊二、中位線的應(yīng)用是的中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于．求證：．如以下圖，在中，，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證．【穩(wěn)固】△ABC中，AB=AC，BD為AB的延長(zhǎng)線，且BD=AB，CE為△ABC的AB邊上的中線．求證CD=2CE：ABCD是凸四邊形，且AC<BD．E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點(diǎn)．求證：∠GMN>∠GNM．在中，，，以為底作等腰直角，是的中點(diǎn)，求證：且．如圖，在五邊形中，，，為的中點(diǎn)．求證：．(“祖沖之杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)如以下圖，是內(nèi)的一點(diǎn)，，過(guò)作于，于，為的中點(diǎn)，求證．(全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)如以下圖，在中，為的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)、到點(diǎn)、，使．過(guò)、分別作直線、的垂線，相交于點(diǎn)，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、．求證：(1)；(2)．家庭作業(yè)家庭作業(yè)【習(xí)題1】如圖，，，，求證：．【習(xí)題2】點(diǎn)M，N在等邊三角形ABC的