高中數學同步講義（人教A版必修一）：第15講 3.1.1函數的概念（教師版）

第01講3.1.1函數的概念課程標準學習目標①函數的概念；②了解函數的三要素；③掌握簡單函數的定義域；④掌握求函數的值；⑤掌握區(qū)間的寫法.通過本節(jié)課的學習，掌握函數概念及函數的三要素，會判斷同一函數，會求簡單函數的定義域及值域.知識點01：函數的概念1、初中學習的函數的傳統(tǒng)定義設在一個變化的過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應地就有唯一確定的一個值與之對應，那么我們就稱是的函數，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關系.2、函數的近代定義一般地，設，是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集.函數的四個特征：①非空性：，必須為非空數集（注意不僅非空，還要是數集），定義域或值域為空集的函數是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應（可以多對一，不能一對多）.④方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數關系.【即學即練1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下列四個圖象中，是函數圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【詳解】由函數的定義可知，對任意的自變量，有唯一的值相對應，選項B中的圖像不是函數圖像，出現了一對多的情況，其中選項A、C、D皆符合函數的定義，可以表示是函數.故選：ACD知識點02：函數的三要素1、定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．2、對應關系：對應關系是函數的核心，它是對自變量實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域(range).【即學即練2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數的定義域為______．【答案】【詳解】，，或所以定義域為：.故答案為：知識點03：函數相等同一函數：只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.【即學即練3】（2023·全國·高一專題練習）下列四組函數中，表示同一函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【詳解】對選項A，因為定義域為R，定義域為R，定義域相同，但，所以，不是同一函數，故A錯誤；對選項B，因為定義域為R，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故B錯誤；對選項C，因為定義域為，定義域為，定義域不同，所以，不是同一函數，故C錯誤；對選項D，因為定義域為R，定義域為R，又，所以，是同一函數，故D正確.故選：D知識點04：區(qū)間的概念1區(qū)間的概念設，是實數，且，滿足的實數的全體，叫做閉區(qū)間，記作，即，。如圖：，叫做區(qū)間的端點．在數軸上表示一個區(qū)間時，若區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示．集合區(qū)間2含有無窮大的表示全體實數也可用區(qū)間表示為，符號“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”，即。集合區(qū)間【即學即練4】（2023秋·廣東廣州·高一西關培英中學?？计谀┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為集合，，所以，即，故選：B.題型01函數關系的判斷【典例1】（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習）若函數的定義域為，值域為，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】選項A中，當時，，不符合題意，排除A；選項C中，存在一個x對應多個y值，不是函數的圖象，排除C；選項D中，x取不到0，不符合題意，排除D.故選：B.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學校考階段練習）已知集合，，下列對應關系中，從到的函數為（

）A．f： B．f：C．f： D．f：【答案】D【詳解】解：對A：當時，對應的為0,1,2，所以選項A不能構成函數；對B：當時，對應的為0,1,4，所以選項B不能構成函數；對C：當時，對應的為0,2,4，所以選項C不能構成函數；對D：當時，對應的為,1,3，所以選項D能構成函數；故選：D.【變式1】（多選）（2023秋·江蘇揚州·高一?？计谀┫铝袑惺呛瘮档氖牵?/p>

）．A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y為不大于x的最大整數，，D．，其中，，【答案】AC【詳解】對于A，對集合中的每個元素x，按照，在中都有唯一元素y與之對應，A是；對于B，在區(qū)間內存在元素x，按照，在R中有兩個y值與這對應，如，與之對應的，B不是；對于C，對每個實數x，按照“y為不大于x的最大整數”，都有唯一一個整數y與之對應，C是；對于D，當時，按照，在中不存在元素與之對應，D不是.故選：AC題型02集合與區(qū)間的轉化【典例1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知全集,集合,則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解:由題知,,故或.故選:B【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學?？计谀┤艏希?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由集合交集運算可得.故選：C.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）全集，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由A中不等式變形得：，即，由中不等式解得：，即，，又全集，則,故選：.題型03同一個函數【典例1】（2023·全國·高一專題練習）下列各組函數表示相同函數的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】對于A中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數；對于B中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數；對于C中，函數與的定義域和對應法則都相同，所以表示相同的函數；對于D中，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以表示不同的函數.故選：C【典例2】（都選）（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫旅娓鹘M函數表示同一函數的是（

）A．， B．（），C．， D．，【答案】BC【詳解】對于A，，，定義域和對應法則不一樣，故不為同一函數；對于B，，，定義域和對應法則相同，故為同一函數；對于C，，，定義域和對應法則相同，故為同一函數；對于D，，，定義域不同，故不為同一函數；故選:BC【變式1】（2023·全國·高三專題練習）下列每組中的函數是同一個函數的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】對于A，函數的定義域為R，函數的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數不是同一個函數；對于B，因為，且，的定義域均為R，所以這兩個函數是同一個函數；對于C，，和的對應關系不同，所以這兩個函數不是同一個函數；對于D，函數的定義域為{，且}，函數的定義域為R，所以這兩個函數不是同一個函數.故選：B.題型04求函數值【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若函數，則_________．【答案】4【詳解】因為,所以,故答案為：4.【典例2】（2023·高一課時練習）若，則＝______．【答案】3【詳解】解：因為，所以，所以，故答案為：3【變式1】（2023·高一課時練習）設函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，.故選：B.【變式2】（2023·高一課時練習）已知，．（1）計算：____________；（2）計算：____________．【答案】1/3.5【詳解】（1），，所以．（2）由（1）知，從而，故，而，所以．故答案為：1；.題型05根據函數值請求自變量或參數【典例1】（2022秋·福建廈門·高三校聯考階段練習）若函數的值域是，則此函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數的值域是，所以當時，，當時，即，解得，所以函數的定義域為：，故選：D【典例2】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學校聯考階段練習）若函數在定義域上的值域為，則區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】∵函數的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域為，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當時，結合圖像，得，故A錯誤；對于B：當時，結合圖像，得，故B錯誤；對于C：當時，結合圖像，得，故C錯誤；對于D：當時，結合圖像，得，故D正確；故選：D．題型06函數的定義域（具體函數的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，解得，故定義域為.故選：B【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數的定義域為______．【答案】【詳解】由，得，故函數的定義域為：．故答案為：【變式1】（2023·全國·高一專題練習）函數的定義域為________.【答案】【詳解】令，可得，解得.故函數的定義域為.故答案為:.題型07函數的定義域（抽象函數的定義域）【典例1】（2023秋·陜西西安·高一長安一中?？计谀┮阎瘮档亩x域為，則函數的定義域為______.【答案】【詳解】因為，即，所以，所以，所以.故答案為：.【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預測）若的定義域為，求的定義域．【答案】.【詳解】由函數的定義域為，則要使函數有意義，則，解得,∴函數的定義域為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）（1）已知函數的定義域為，則函數的定義域為______．（2）已知函數的定義域為，則函數的定義域為______．【答案】【詳解】（1）令，則，因為函數的定義域為，所以，所以函數的定義域為．（2）令，，則，．因為函數的定義域為，所以，所以函數的定義域為，所以，所以，所以函數的定義域為．故答案為：；題型08函數的定義域（復合函數的定義域）【典例1】（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學?？计谀┤艉瘮档亩x域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為函數的定義域為，對于函數，則，解得，即函數的定義域為.故選：C【典例2】（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學?？茧A段練習）已知函數）的定義域為，則函數的定義域為（）A．（，4） B．[，4）C．（，6） D．（，2）【答案】C【詳解】由函數的定義域為，即，得，所以定義域為，又，，取交集得的定義域為，．故選：C．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，則函數的定義域為______.【答案】【詳解】解法1：由函數，則滿足，可得，即函數的定義域為，對于函數，令，即，解得，即函數的定義域為.解法2：由，，可得，令，解得，所以的定義域為.故答案為：.題型09函數的定義域（實際問題中的定義域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數，則函數的定義域為()A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設有，由得，故選A.【典例2】（2022·高一課時練習）周長為定值的矩形，它的面積是這個矩形的一邊長的函數，則這個函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意知，矩形的一邊長為x，則該邊的鄰邊長為，由得，故這個函數的定義域是.故選：D【變式1】（2022秋·山東煙臺·高一校考階段練習）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現規(guī)劃在空地內種植一邊長為（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】設矩形另一邊的長為m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面積，解得：.故答案為：題型10函數的值域（常見（一次，二次，反比例）函數的值域）【典例1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一校考期中）函數，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，又所以函數在上單調遞增，在上單調遞減則，又，所以所以的值域為.故選：B.【典例2】（2022·江蘇·高一專題練習）求下列函數的定義域、值域，并畫出圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析(6)答案見解析【詳解】（1）定義域為，值域為，列表如下：作出圖象如圖：（2）的定義域為，值域為，列表如下：作出圖象如圖：.（3）的定義域為，列表如下：作出圖象如圖：由圖知：值域為.（4）的定義域為，列表如下：作出圖象如圖：由圖知：值域為；（5）的定義域為，開口向下的拋物線，最大值為，所以值域為，列表如下：作出圖象如圖：（6）的定義域為，對稱軸為，開口向上，，所以值域為；列表如下：作出圖象如圖：【變式1】例題3．（2022秋·浙江杭州·高一?？茧A段練習）求下列函數的值域.(1);(2),.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數的定義域為,,所以函數的值域為.（2）因為函數的對稱軸為,所以函數在單調遞減,單調遞增,所以函數的值域為.題型11函數的值域（根式型函數的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，所以，因為，所以，所以函數的值域為.故選：A．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）求函數的值域為_________.【答案】【詳解】令，則，容易看出，該函數轉化為一個開口向下的二次函數，對稱軸為，，所以該函數在時取到最大值，當時，函數取得最小值，所以函數值域為.故答案為：【變式1】（2023·高一課時練習）函數的值域是___________.【答案】【詳解】設則所以因為函數在上單調遞增，當，，所以函數的值域為故答案為：.題型12函數的值域（分式型函數的值域）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【詳解】解：，∴y，∴該函數的值域為．故選：D．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學?？计谀?）求函數的值域；（2）求函數的值域.【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數值域為；（2）函數定義域為，令，則，故函數值域為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）求函數的值域______________．【答案】【詳解】由解析式知：函數的定義域為，且，∴整理可得：，即該方程在上有解，∴當時，，顯然成立；當時，有，整理得，即，∴綜上，有函數值域為.故答案為：.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）函數的值域是___________.【答案】【詳解】解：，因為所以函數的定義域為令，整理得方程：當時，方程無解；當時，不等式整理得：解得：所以函數的值域為.故答案為：題型13根據函數的值域求定義域【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當時，結合圖像，得，故A錯誤；對于B：當時，結合圖像，得，故B錯誤；對于C：當時，結合圖像，得，故C錯誤；對于D：當時，結合圖像，得，故D正確；故選：D．【典例2】（多選）（2022秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習）已知函數的值域是，則其定義域可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】令，解得，令，解得或-2，可作出函數圖象如圖：設定義域為，所以或，故AD正確，BC錯.故選：AD.【變式1】（多選）（2022秋·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學校聯考階段練習）若函數在定義域上的值域為，則區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】∵函數的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域為，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.題型14重點方法之換元法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，所以，因為，所以，所以函數的值域為.故選：A．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學?？计谀┣蠛瘮档闹涤?【答案】函數定義域為，令，則，故函數值域為.題型15重點方法之分離常數法求值域【典例1】（2023·全國·高三專題練習）求函數的值域.【答案】.【詳解】由函數，可得其定義域為，又由，可得所以函數的值域為.【典例2】（2023·全國·高一專題練習）求下列函數的值域：【答案】【詳解】因為，且，所以，所以函數的值域為．題型16數學思想方法（數形結合的思想方法）【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當時，結合圖像，得，故A錯誤；對于B：當時，結合圖像，得，故B錯誤；對于C：當時，結合圖像，得，故C錯誤；對于D：當時，結合圖像，得，故D正確；故選：D．【典例2】（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學校考階段練習）若函數的定義域是，則其值域為（

）.A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數圖像可由圖像向右平移一個單位得到，如圖所示:，結合圖像可知，函數的值域為.故選：D題型17易錯題（換元必換范圍）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）求下列函數的值域：．【答案】【詳解】設（換元），則且，令.因為，所以，即函數的值域為.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為___________．【答案】【詳解】解：因為，令，則，則，所以，，所以在上單調遞增，所以，即的值域為；故答案為：3.1.1函數的概念A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數，那么的值（

）A．3 B．5 C．7【答案】C【詳解】.故選：C2．（2023·高一課時練習）函數的定義域是（

）A． B．C． D．或【答案】A【詳解】的自變量需滿足，所以定義域為，故選：A3．（2023·高一課時練習）下列各函數中，與函數表示同一函數的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故的定義域為,對于A，的定義域為，且解析式與相同，故為同一個函數，對于B,，故不是同一個函數，對于C,的定義域為，而對定義域為，定義域不同，不是同一個函數，對于D,的定義域為，而對定義域為，定義域不同，不是同一個函數，故選:A4．（2023·高一課時練習）已知高斯取整函數，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】取整函數，所以.故選：A5．（2023·高一課時練習）下表給出了x與和的對應關系，根據表格可知的值為（

）x1234x123431424321A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由表中數據可知，所以，故選：B6．（2023·全國·高三專題練習）下列對應是從集合A到集合B的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A選項，對集合A中的任意一個數x，集合B中都有唯一的數y與之對應，是函數；對于B選項，時，，有兩個y與之對應，不是函數；對于C選項，當時，不存在，不是函數；對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應元素，不是函數.故選：A7．（2023春·陜西咸陽·高一?？茧A段練習）若函數的定義域是，則函數的定義域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）【答案】D【詳解】由解得，又，得.故選：D．8．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：令，當時，，又，所以，，即所以，故選：D．二、多選題9．（2023·高一課時練習）若函數定義域為，且，，則下列結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】解：因為，，所以，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故BD選項正確，AC選項錯誤.故選：BD10．（2023·全國·高一專題練習）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”．1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數定義．已知集合M＝{1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從M到N的函數的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】解：在A中，當時，，故A錯誤；在B中，當時，，故B錯誤；在C中，任取，總有，故C正確；在D中，任取，總有，故D正確．故選：CD．三、填空題11．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定遠縣第三中學校聯考期末）設二次函數（，）的值域是，則的最小值是____________．【答案】【詳解】當二次函數的圖象開口向上，且與軸有且只有一個交點時，其值域為，∴，∴，，.∴由基本不等式，，當且僅當時等號成立．∴的最小值是．故答案為：.12．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為___________．【答案】【詳解】解：因為，令，則，則，所以，，所以在上單調遞增，所以，即的值域為；故答案為：四、解答題13．（2023·高一課時練習）已知函數的定義域為A，集合.(1)當時，求；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）要使函數有意義，則，解得：，所以集合.，∴，∴或，∴或；（2），①當時，，即，滿足題意；②當時，由，得，解得：，綜上所述：a的取值范圍為.14．（2023·高一課時練習）已知函數的值域為[1，3]，求的值【答案】【詳解】由題意定義域為，則在上有解，當符合題意，當，即的解集為[1，3]，故1和3為關于y的二次方程的兩個根所以解得B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習）若函數的定義域為，值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的二次函數令，解得：，

即實數的取值范圍為故選：2．（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：令，，令，則，原函數化為，該函數在上為減函數，在上為增函數，又當時，，當時，，當時，.∴函數的值域為，則函數的值域為.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數．例如：，，已知函數，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當時，，當且僅當時，等號成立；當時，，當且僅當時，等號成立，此時；又因為，所以，函數的值域為，當時，；當時，；當時，.綜上所述，函數的值域為.故選：D.4．（2023·高一課時練習）已知函數．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)202