高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第29講 4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用（教師版）

第07講4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。②在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型；會從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)知識求解.高考對函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式等知識交匯．知識點(diǎn)一：常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：題型01指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若三個(gè)變量，，隨著變量x的變化情況如下表.x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6則關(guān)于x分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【詳解】由題表可知，隨著x的增大而迅速增大，是指數(shù)型函數(shù)的變化；隨著x的增大而增大，但是變化緩慢，是對數(shù)型函數(shù)的變化；相對于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選:B.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是.①；②；③；④【答案】①【詳解】由于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時(shí)間的推移是越來越快，更為有前途的生意，故答案為：①.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，隨著的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)x＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函數(shù)其次，對數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)的增長速度最快．故選：D.【變式2】（2022秋·高一單元測試）下列函數(shù)中，隨著的增大，增長速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)是常數(shù)函數(shù)，B選項(xiàng)是一次函數(shù)，C、D選項(xiàng)都是指數(shù)型函數(shù)，C選項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是2，D選項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是，且，所以隨著的增大，增長速度最快的是D.故選：D.題型02根據(jù)實(shí)際問題增長率選擇合適的模型【典例1】（2023·全國·高三對口高考）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x01.02.03.0y0.240.5112.023.988.02則x、y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近（其中a、b為待定系數(shù)）？（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：從到，對應(yīng)值依次增大，排除A、C；變化到到到到到由上，隨增大，逐漸變大，即的變化不為定值，排除B.故選：D【典例2】（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）某同學(xué)參加研究性學(xué)習(xí)活動，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：3927812以下函數(shù)中最符合變量與的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，函數(shù)的增長速度越來越慢，對選項(xiàng)A：增長速度不變，不滿足；對選項(xiàng)B：時(shí)，增長速度越來越大，不滿足；對選項(xiàng)C：時(shí)，增長速度越來越大，不滿足；對選項(xiàng)D：函數(shù)的增長速度越來越慢，滿足.故選：D【典例3】（2023春·湖南株洲·高一校考開學(xué)考試）某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間天2620市場價(jià)元10278120為了描述該紀(jì)念章的市場價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：（1）；（2）；（3）．(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù)，請選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型并說明理由；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格.【答案】(1)選擇，理由見解析(2)當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場價(jià)最低為70元【詳解】（1）隨著時(shí)間的增加，的值先減后增，而所給的三個(gè)函數(shù)中和顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，選擇；（2）把點(diǎn)代入中，得，解得，當(dāng)時(shí)，有最小值，故當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場價(jià)最低為70元．【變式1】（2023·全國·高三對口高考）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）1.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：由表格數(shù)據(jù)得到如下散點(diǎn)圖，為遞增趨勢，隨變大增長率變小，只有B符合；

法二：對于A，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，增長速度很快，且在時(shí)，時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求；對于B，函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)，增長速度緩慢，且在時(shí)，時(shí)，基本符合要求；對于C，函數(shù)是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求；對于D，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求，故選：B.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）農(nóng)場為了解某農(nóng)作物的產(chǎn)量情況，將近四年的年產(chǎn)量（單位：萬斤）與年份序號x之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：x（第×年）1234（萬斤）4.005.627.008.86若近似符合以下兩種函數(shù)模型之一：①；②．則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是__________．請簡要說明理由．【答案】①，理由見解析【詳解】①，理由如下：若模型為，由已知，和，，得，解得，故，當(dāng)經(jīng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩處相差不大，擬合較好；若模型為，則由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，三處相差較大，擬合相對不好.故最適合的函數(shù)模型的序號是①.【變式3】（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t79101113種植成本Q1911101119為了描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系，現(xiàn)有以下四種函數(shù)模型供選擇：①，②，③，④．(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型并說明理由，同時(shí)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)在第（1）問的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為110，最小值為10，求實(shí)數(shù)m的最大值．【答案】(1)選擇，理由見解析，(2)20【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，都是單調(diào)函數(shù)，所以不符合題意，因?yàn)榭上葐握{(diào)遞減后單調(diào)遞增，故符合題意，由表格數(shù)據(jù)可得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)其他幾組數(shù)據(jù)也滿足表達(dá)式（2）由（1）知，故其對稱軸為，且開口向上，，所以，所以實(shí)數(shù)m的最大值為20題型03利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例1】（2023春·北京密云·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（單位：元）之間的關(guān)系為：.如果這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，請你給出一個(gè)該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量的建議，使工廠能夠達(dá)成這個(gè)周創(chuàng)收目標(biāo)，那么你的建議是.【答案】摩托車數(shù)量在51到59輛【詳解】由題意得，化簡得，得，解得，因?yàn)槿≌麛?shù)，所以該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量在51到59輛時(shí)，工廠能夠達(dá)成這個(gè)周創(chuàng)收目標(biāo).故答案為：摩托車數(shù)量在51到59輛【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）由于慣性作用，行駛中的汽車在剎車后要滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．下表是對某種型號汽車剎車性能的測試數(shù)據(jù)．剎車時(shí)車速153040506080剎車距離1.236.2011.517.8025.2044.40(1)試選擇合適的函數(shù)模型擬合測試數(shù)據(jù)，并寫出函數(shù)解析式；(2)若車速為，剎車距離為多少？若測得剎車距離為，剎車時(shí)的車速是多少？（可以使用計(jì)算器輔助計(jì)算）【答案】(1)選擇二次函數(shù)模型，(2)，【詳解】（1）選擇二次函數(shù)模型，顯然函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，再近似地選取兩個(gè)點(diǎn)和，設(shè)二次函數(shù)為，故，解得，可求得；（注：本題選取的點(diǎn)不同，所得到的函數(shù)解析式和下面所得的結(jié)果均可能不同．）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有，解得（負(fù)舍）．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某商品進(jìn)貨單價(jià)為元，若銷售價(jià)為元，可賣出個(gè)，如果銷售單價(jià)每漲元，銷售量就減少個(gè)，為了獲得最大利潤，則此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為．【答案】元【詳解】解：設(shè)此商品的銷售單價(jià)為元，銷售量為個(gè)，則為一次函數(shù)，設(shè)，由題意可得，解得，所以，，所以，，設(shè)銷售該商品的利潤為元，則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：元.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)“中國女排精神”，加強(qiáng)青少年體育發(fā)展.學(xué)校在體育課中組織學(xué)生進(jìn)行排球練習(xí)，某同學(xué)以初速度豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最多停留時(shí)間為秒（小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）.（注：若不計(jì)空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度與時(shí)間滿足關(guān)系式，其中．）

【答案】【詳解】由題意，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度與時(shí)間滿足關(guān)系式，因?yàn)?，所以，令，可得，即，所以，所?所以排球能夠在拋出點(diǎn)2以上的位置最多停留秒.故答案為：.題型04分段函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023秋·云南麗江·高一統(tǒng)考期末）華為消費(fèi)者業(yè)務(wù)產(chǎn)品全面覆蓋手機(jī)、移動寬帶終端、終端云等，憑借自身的全球化網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢、全球化運(yùn)營能力，致力于將最新的科技帶給消費(fèi)者，讓世界各地享受到技術(shù)進(jìn)步的喜悅，以行踐言，實(shí)現(xiàn)夢想.已知華為公司生產(chǎn)mate系列的某款手機(jī)的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)1只還需另投入80元.設(shè)華為公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬只）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，華為公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為萬只時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元【詳解】（1）依題意，利用利潤等于收入減去成本，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)；因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬只時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元.【典例2】（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測）某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個(gè)5萬元（含5萬元以下），按超額部分的提成作獎金；超額中的第二個(gè)5萬元，按超額部分的提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個(gè)．如銷售員某月銷售額為27萬元，則按照合約，他可得獎金為元．試求：(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？(2)若某銷售員、月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個(gè)月的總獎金的最大、最小值分別是多少？【答案】(1)3.65萬元(2)最高1萬元，最低0.6萬元【詳解】（1）超額第一個(gè)5萬元可得獎金1000元，超額第二個(gè)5萬元可得獎金2000元，超額第三個(gè)5元可得獎金3000元，超額第四個(gè)5萬元可得獎金4000元，所以當(dāng)銷售員的銷售額超額部分為15萬元時(shí)，可得獎金3000元，當(dāng)銷售員的銷售額超額部分為20萬元時(shí)，可得獎金7000元，因?yàn)殇N售員某月獲得獎金7200元，所以銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設(shè)超額部分比15萬多元，提成比例為，則，可得，故他該月的銷售額為萬元．（2）設(shè)兩個(gè)月的總獎金為，某銷售員月份的銷售額為萬元，則銷售員月份的銷售額為萬元，則，①當(dāng)時(shí)，則，，②當(dāng)時(shí)，則，，③當(dāng)時(shí)，則，④當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，，作出圖像，

由圖可知，當(dāng)，即7月份銷售額為30萬元，獎金最低為0.6萬元；當(dāng)或時(shí)，即7月份銷售額為20或40萬元，獎金最高為1萬元．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）某醫(yī)藥公司研發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，由監(jiān)測數(shù)據(jù)可知，服用后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量（單位：微克）與時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)進(jìn)一步測定，每毫升血液中含藥量不少于2微克時(shí)，治療有效.

(1)試求服藥后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)問服藥多久后開始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)(2)0.3小時(shí)后，5.2小時(shí)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由圖象可設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，得，解得，所以，故.（2）當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，即，又，∴，故服藥0.3小時(shí)之后開始有治療效果，當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，又，∴，綜上，，所以服藥后的治療效果能持續(xù)5.2小時(shí).【變式2】（2023春·高一平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中國很多鄉(xiāng)村，燃放煙花爆竹仍然是慶祝新年來臨的一種方式，煙花爆竹帶來的空氣污染非常嚴(yán)重，可噴灑一定量的去污劑進(jìn)行處理.據(jù)測算，每噴灑一個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的去污劑濃度（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，由試驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到去污作用.(1)若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑個(gè)單位的去污劑，要使接下來的3天能夠持續(xù)有效去污，求的最小值.【答案】(1)7天(2)【詳解】（1）釋放的去污劑濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，即；故一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，則濃度，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立.所以的最小值為.題型05指數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）著名田園詩人陶淵明也是一個(gè)大思想家，他曾言：勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來對這句話重新詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進(jìn)步率”都是，一年后是；而把“不見其損”量化為每天的“落后率”都是，一年后是.可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“進(jìn)步率”和“落后率”都是20%，要使“進(jìn)步”是“落后”的倍，大約需要經(jīng)過（，）（

）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【詳解】經(jīng)過x天后，“進(jìn)步”與“落后”的比，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，又，，所以，解得，所以大約經(jīng)過天后，“進(jìn)步”是“落后”的倍.故選：C.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從盛滿純酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充滿，再倒出混合溶液，再用水充滿，這樣繼續(xù)下去，若第次倒出純酒精為（單位：L），則函數(shù)的表達(dá)式為．（假設(shè)酒精與水混合后相對體積不變）【答案】【詳解】第1次酒精殘留量，第2次酒精殘留量，即第次酒精殘留量,.則第次倒出純酒精為故答案為：.【典例3】（2023秋·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┪骱埦袊竺柚?，屬綠茶，其產(chǎn)于浙江省杭州市西湖龍井村周圍群山，并因此得名，具有多年歷史．清乾隆游覽杭州西湖時(shí)，盛贊西湖龍井茶，把獅峰山下胡公廟前的十八棵茶樹封為“御茶”．其外形扁平挺秀，色澤綠翠，內(nèi)質(zhì)清香味醇，泡在杯中，芽葉色綠，而泡制龍井的口感與水的溫度有關(guān)：經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，龍井用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足．(1)求常數(shù)的值；(2)經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的龍井大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到分鐘）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感【詳解】（1）解：因?yàn)椴杷疁囟葟拈_始，即當(dāng)時(shí)，，解得.（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，，所以，剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感.【變式1】（2023春·陜西西安·高二校考期末）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數(shù)，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．39分鐘 B．41分鐘 C．43分鐘 D．45分鐘【答案】B【詳解】由題知，，，，，，，.故選：B.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數(shù)．研究過程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（單位：克）02610…－488…已知當(dāng)時(shí)，，其中為常數(shù)．當(dāng)時(shí)，和的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①；②且；③且；其中均為常數(shù)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大．【答案】(1)選擇①的函數(shù)模型，理由見詳解，此時(shí)解析式為：；(2)當(dāng)新材料的含量克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.【詳解】（1）由表格知當(dāng)時(shí)，，若選①，則，若選②且，則，此時(shí)且不滿足時(shí)，，故不選，若選③且，時(shí)無意義，故不選，所以選①的函數(shù)模型來描述之間的關(guān)系，由題意有當(dāng)時(shí)，由，且時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；聯(lián)立，解得：，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，將代入上式有：，解得：，即當(dāng)時(shí)，綜上有，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)新材料的含量克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）工業(yè)廢氣在排放前需要過濾．已知在過濾過程中，廢氣中的某污染物含量P（單位：毫克/升）與過濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為（e為自然對數(shù)的底數(shù)，為污染物的初始含量）．過濾1小時(shí)后檢測，發(fā)現(xiàn)污染物的含量為原來的．(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)要使污染物的含量不超過初始值的，至少需過濾幾小時(shí)？（參考：）【答案】(1)(2)20【詳解】（1）因?yàn)檫^濾1小時(shí)后檢測，發(fā)現(xiàn)污染物的含量為原來的，所以，即.故（2）由，得，兩邊取10為底的對數(shù)，，整理得，，因此，至少還需過濾20小時(shí).題型06對數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，洄游到產(chǎn)卵地產(chǎn)卵.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）與鮭魚的耗氧量的單位數(shù)的關(guān)系為，則鮭魚靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)為（

）A．1 B．100 C．200 D．300【答案】B【詳解】因?yàn)椋援?dāng)鮭魚靜止時(shí)，，即，化簡得，所以；故選:B.【典例2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）陜西榆林神木石峁遺址發(fā)現(xiàn)于1976，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)掘研究，已證實(shí)是中國已發(fā)現(xiàn)的龍山晚期到夏早期規(guī)模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發(fā)現(xiàn)的某具人婁骨骼化石進(jìn)行碳14測定年代，公式為：（其中為樣本距今年代，為現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，該人類骨骼碳14放射性豐度，則該骨骼化石距今的年份大約為（

）（附：，，）A．3353 B．3997 C．4125 D．4387【答案】B【詳解】由題知，，∴.故選：B.【典例3】（2023秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）近年來，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五號載人飛船搭載航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸飛往中國空間站，與神舟十四航天員“會師”太空，12月4日晚神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲安全順利出艙，圓滿完成飛行任務(wù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知型火箭的噴流相對速度為.(1)當(dāng)總質(zhì)比為時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù):，，）【答案】(1)(2)11【詳解】（1）由已知可得.（2）設(shè)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比為，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，所以，即，，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值為.【變式1】（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量．當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時(shí)，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【詳解】因?yàn)?，將代入，則，則，所以，所以，故選：C【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過0.08，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式，其中，且，，則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)（

）A．17周 B．24周 C．28周 D．26周【答案】D【詳解】，由，，得，，兩式相減得，則，所以，.該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則，則，即，解得，故至少需要通風(fēng)26周.故選：D．【變式3】（2023秋·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）中國夢蘊(yùn)含航天夢，航天夢助力中國夢.2022年11月29日23時(shí)08分，搭載神舟十五號載人飛船的長征二號遙十五運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點(diǎn)火發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了神舟十五號航天員乘組與神舟十四號航天員乘組太空在軌輪換.已知火箭起飛質(zhì)量（單位：）是箭體質(zhì)量（單位：）和燃料質(zhì)量（單位：）之和.在發(fā)射階段，不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和x的函數(shù)關(guān)系是，其中為常數(shù)，且當(dāng)燃料質(zhì)量為0時(shí)，火箭的最大速度為0.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭最大速度為4.(1)求該火箭的最大速度與起飛質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的多少倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8？【答案】(1)(2)燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8【詳解】（1）因?yàn)榛鸺淖畲笏俣龋▎挝唬海┖蛒的函數(shù)關(guān)系是，又時(shí)，，；時(shí)，，，所以，解得，所以；（2）設(shè)且，則，又所以時(shí)可得，即，解得故燃料質(zhì)量至少是箭體質(zhì)量的倍時(shí)，該火箭最大速度可達(dá)到8.題型07冪函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時(shí)年利潤最大？【答案】(1)更適合作為與的函數(shù)模型(2)果樹數(shù)量為時(shí)年利潤最大【詳解】（1）①若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與表格中的和相差較大，所以不適合作為與的函數(shù)模型.②若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，剛好與表格中的和相符合，所以更適合作為與的函數(shù)模型.（2）由題可知，該果園最多120000棵該呂種果樹，所以確定的取值范圍為，令，則經(jīng)計(jì)算，當(dāng)時(shí)，取最大值（萬元），即，時(shí)（每畝約38棵），利潤最大.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？【答案】(1)，；(2)當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤約為4萬元．【詳解】（1）設(shè)投資額為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，，，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，約為4萬元．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.（1）試分別求出生產(chǎn)，兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大?（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片.設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲利潤，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入-發(fā)耗費(fèi)資金)【答案】（1）生產(chǎn)芯片的毛收入，生產(chǎn)芯片的毛收入；（2）答案見解析；（3）千萬元時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤9千萬元.【詳解】（1）設(shè)投入資金(千萬元)，則生產(chǎn)芯片的毛收入.將，代入，得，∴，生產(chǎn)芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.∴當(dāng)投入資金大于16千萬元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入大；當(dāng)投入資金等于16千萬元時(shí)，生產(chǎn)、芯片的毛收入相等；當(dāng)投入資金小于16千萬元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入大（3）公司投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)、兩種芯片，設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，投入千萬元資金生產(chǎn)芯片，∴公司所獲利潤，故當(dāng)，即千萬元時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤9千萬元.【變式2】（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某企業(yè)計(jì)劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤與投資額成正比，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬元時(shí)，甲、乙兩類產(chǎn)品的利潤分別為0.125萬元和0.5萬元.（1）分別寫出兩類產(chǎn)品的利潤與投資額的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)有100萬元資金，全部用于生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品，問怎樣分配資金能使得利潤之和最大，最大利潤為多少萬元？【答案】（1）；（2）當(dāng)投資甲產(chǎn)品96萬元，投資乙產(chǎn)品4萬元時(shí)，可使利潤最大，最大利潤是13萬元【詳解】解：（1）設(shè)兩種產(chǎn)品的利潤與投資額的函數(shù)關(guān)系分別為：，結(jié)合已知得，所以；（2）設(shè)投資乙產(chǎn)品萬元，則投資甲產(chǎn)品萬元，依題意，獲得的利潤為，令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，，故當(dāng)投資甲產(chǎn)品96萬元，投資乙產(chǎn)品4萬元時(shí)，可使利潤最大，最大利潤是13萬元.題型08利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例1】（2023秋·云南麗江·高一統(tǒng)考期末）華為消費(fèi)者業(yè)務(wù)產(chǎn)品全面覆蓋手機(jī)、移動寬帶終端、終端云等，憑借自身的全球化網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢、全球化運(yùn)營能力，致力于將最新的科技帶給消費(fèi)者，讓世界各地享受到技術(shù)進(jìn)步的喜悅，以行踐言，實(shí)現(xiàn)夢想.已知華為公司生產(chǎn)mate系列的某款手機(jī)的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)1只還需另投入80元.設(shè)華為公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬只）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，華為公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為萬只時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元【詳解】（1）依題意，利用利潤等于收入減去成本，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)；因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬只時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元.【典例2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是（單位：萬元）和）（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式分別為，，其中為常數(shù)．今將5萬元資金經(jīng)營甲、乙兩種商品，設(shè)對甲種商品投入獎金x萬元，其中．(1)當(dāng)時(shí)，如何進(jìn)行投資甲、乙兩種商品才能使得總利潤y最大；(2)存在，使得甲、乙兩種商品投資總利潤等于，求a的取值范圍．【答案】(1)對甲種商品投入獎金萬元，對乙種商品投入獎金萬元時(shí)，總利潤最大(2)【詳解】（1）由題可知對甲種商品投入獎金萬元，則對乙種商品投入獎金萬元，其中，所以總利潤.

令，則，，所以，

當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以對甲種商品投入獎金萬元，對乙種商品投入獎金萬元時(shí)，總利潤最大.（2）由題可知總利潤，令，則，，所以問題轉(zhuǎn)化為存在，使得有解，

化簡得因?yàn)?，所以，從而，所?

又由題知，，所以所以.【變式1】（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式為和保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護(hù)對象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：）．水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護(hù)對象的保護(hù)面積S為，保護(hù)對象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為時(shí)，保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【詳解】依題意，，，，，由，，得，所以保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個(gè).故選：C【變式2】（2023春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）隨著科技的發(fā)展，手機(jī)上各種APP層出不窮，其中抖音就是一種很火爆的自媒體軟件，抖音是一個(gè)幫助用戶表達(dá)自我，記錄美好生活的視頻平臺．在大部分人用來娛樂的同時(shí)，部分有商業(yè)頭腦的人用抖音來直播帶貨，可謂賺得盆滿缽滿，抖音上商品的價(jià)格隨著播放的熱度而變化．經(jīng)測算某服裝的價(jià)格近似滿足：，其中（單位：元）表示開始賣時(shí)的服裝價(jià)格，J（單位：元）表示經(jīng)過一定時(shí)間t（單位：天）后的價(jià)格，（單位：元）表示波動價(jià)格，h（單位：天）表示波動周期．某位商人通過抖音賣此服裝，開始賣時(shí)的價(jià)格為每件120元，波動價(jià)格為每件20元，服裝價(jià)格降到70元每件時(shí)需要10天時(shí)間．(1)求h的值；(2)求服裝價(jià)格降到60元每件時(shí)需要的天數(shù)．（結(jié)果精確到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)10；(2)14.【詳解】（1）在中，，則有，整理得，即，解得，所以h的值為10.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，即有，取常用對數(shù)得：，解得，而，則，所以服裝價(jià)格降到60元每件時(shí)需要14天.題型09建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例1】（2023春·陜西西安·高二西安市第三中學(xué)?？计谀檫M(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場.根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚紀(jì)念章的市場價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.上市時(shí)間/天2632市場價(jià)/元1486073(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系（無需說明理由），并求出該函數(shù)的解析式；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場價(jià).【答案】(1)，(2)當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場價(jià)最低，最低市場價(jià)為每枚48元.【詳解】（1）每枚紀(jì)念章的最低市場價(jià)不是關(guān)于上市時(shí)間的單調(diào)函數(shù)，故選.分別把，代入，得解得，，∴，.此時(shí)該函數(shù)的圖象恰經(jīng)過點(diǎn)，∴，.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，且.故當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場價(jià)最低，最低市場價(jià)為每枚48元.【典例2】（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期中）疫情后全國各地紛紛布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)已知第1天的日銷售收入為244元．設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】(1)選擇模型②，，；(2)139.5元．【詳解】（1）解：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變長時(shí)，先增后減，①③④函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇模型②：，由函數(shù)圖象對稱性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日銷售量與時(shí)間的變化的關(guān)系式為，.（2）因?yàn)榈?天的日銷售收入為244元，則，解得，則，由（1），知，由，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，當(dāng)，時(shí)，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值139.5元．【變式1】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【答案】(1)，(2)模型①是“理想函數(shù)模型”，理由見解析(3)（百萬個(gè)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，，，聯(lián)立上式，解方程可得，，則；當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，聯(lián)立上式，解方程可得，則；（2）考慮①，由，可得，而，可得模型①是“理想函數(shù)模型”；考慮②，由，可得而，所以模型②不是“理想函數(shù)模型”；（3）由（2）可得時(shí)，（百萬個(gè)【變式2】（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）2022年11月，國務(wù)院發(fā)布了簡稱優(yōu)化防控二十條的通知后，某藥業(yè)公司的股票在交易市場過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)，包括第30天），第x天每股的交易價(jià)格（元）滿足，第x天的日交易量（萬股）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第x（天）12410（萬股）14121110.4(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①；②.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù).從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述該股票日交易量（萬股）與時(shí)間第x天的函數(shù)關(guān)系（簡要說明理由），并求出該函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，求出該股票在過去一個(gè)月內(nèi)第x天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并求其最小值.【答案】(1)選擇模型②，理由見解析，(2)，最小值484【詳解】（1）對于函數(shù)，根據(jù)題意，把點(diǎn)代入可得，解得，而點(diǎn)均不在函數(shù)的圖象上；對于函數(shù)，根據(jù)題意，把點(diǎn)代入可得，解得，此時(shí).而均在函數(shù)的圖象上.所以.（2）由（1）知.所以，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值484.一、單選題1．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）廈門市實(shí)行“階梯水價(jià)”，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表所示不超過12的部分3元/超過12不超過18的部分6元/超過18的部分9元/若小曾同學(xué)用水量為16，則應(yīng)交水費(fèi)（

）（單位：元）A．48 B．60 C．72 D．80【答案】B【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，分段計(jì)算即可作答.【詳解】因?yàn)樾≡瑢W(xué)用水量為16，則不超過12的部分的水費(fèi)為（元），顯然沒有超過18，則超過12不超過18的部分的水費(fèi)為（元），所以應(yīng)交水費(fèi)為（元）.故選：B2．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量．當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時(shí)，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【分析】根據(jù)題意將代入可求出即可.【詳解】因?yàn)椋瑢⒋?，則，則，所以，所以，故選：C3．（2023·全國·高三對口高考）在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長，專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)有，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)圖象.【詳解】由題設(shè)，由，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象知：D符合要求.故選：D4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在環(huán)境檢測中人們常用聲強(qiáng)級表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：），為基礎(chǔ)聲強(qiáng)，其值約為，某環(huán)境檢測點(diǎn)檢測到某一時(shí)段的聲強(qiáng)約為，則這一時(shí)段的聲強(qiáng)級約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將的值代入關(guān)系式即可化簡求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，.故選：C.5．（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：取）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】設(shè)石片第次“打水漂”時(shí)的速率為，則，由于，可得，再結(jié)合對數(shù)公式，即可求解．【詳解】設(shè)石片第次“打水漂”時(shí)的速率為，則，，，則，即，解得，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為10．故選：．6．（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）2023年4月18日，我國自行研制具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機(jī)ARJ21完成了在印尼首航，這是ARJ21在海外市場商業(yè)運(yùn)行的首秀，標(biāo)志著國產(chǎn)新支線客機(jī)ARJ21在海外商業(yè)運(yùn)營邁開第一步．中國商飛公司為了進(jìn)一步打開海外市場，需要加大在開創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和實(shí)踐方面的投入．中國商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤的關(guān)系如下．甲公司：利潤（億元）與投入（億元）成一次函數(shù)關(guān)系，乙公司：利潤（億元）與投入（億元）成冪函數(shù)型關(guān)系，如圖所示．目前，中國商飛總公司準(zhǔn)備拿出資金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤最大呢？（

）

A．投入甲公司億元，投入乙公司億元B．投入甲公司億元，投入乙公司億元C．投入甲公司0億元，投入乙公司10億元D．投入甲公司10億元，投入乙公司0億元【答案】B【分析】根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求相應(yīng)的解析式，進(jìn)而可得總利潤，換元，結(jié)合而成函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，解得，即甲公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式；，解得，乙公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式．設(shè)投入到乙公司億元，則投入到甲公司億元，總利潤，令，則總利潤為，因此當(dāng)，即投入到乙公司億元，投入到甲公司億元，總利潤最大．故選：B.7．（2023春·北京密云·高二統(tǒng)考期末）單級火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度滿足公式：.其中，分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量.是發(fā)動機(jī)的噴氣速度.已知某單級火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的2倍，火箭的最大速度為.則火箭發(fā)動機(jī)的噴氣速度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，其中，則，求得.故選：B8．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）牛奶保鮮時(shí)間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時(shí)間與儲藏溫度的關(guān)系為（為常數(shù)）.若牛奶在的冰箱中，保鮮時(shí)間約是，在的冰箱中，保鮮時(shí)間約是，那么在的冰箱中保鮮時(shí)間約是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將對應(yīng)溫度和保鮮時(shí)長分別帶入關(guān)系式，解出方程組即可得，再利用指數(shù)關(guān)系運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】由題得，解得，因此在的冰箱中的保鮮時(shí)間大約是.故選：B．二、多選題9．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)，則（

）A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動變化C．當(dāng)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)時(shí)，的最小值為3【答案】AC【詳解】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，即人口數(shù)呈下降趨勢，故A正確，B不正確；，所以，所以，，所以的最小值為3，故C正確；，所以，所以，，所以的最小值為2，故D不正確；故選：AC.10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用（千元）乙廠的總費(fèi)用（千元）與印制證書數(shù)量x（千個(gè)）的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則（

）A．甲廠的制版費(fèi)為1千元，印刷費(fèi)平均每個(gè)為0.5元B．甲廠的費(fèi)用與證書數(shù)量x