考點(diǎn)37離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征

考點(diǎn)37離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征1.【2020全國Ⅲ卷】在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且i=14A.，==0.1，==0.4 B.==0.4，==0.1

C.，==0.2，==0.3 D.==0.3，==0.2【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，屬于中檔題．根據(jù)各項(xiàng)數(shù)據(jù)，先求樣本平均數(shù)，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：A中，平均數(shù)為1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，標(biāo)準(zhǔn)差為(1?2.5同理可得B中，平均數(shù)為2.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1.85，

C中，平均數(shù)為2.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1.05，

D中，平均數(shù)為2.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1.45，

2.【2020浙江】盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ=0)=

，E(ξ)=

．【答案】13【解析】【分析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；分別計(jì)算P(ξ=0)、P(ξ=1)和P(ξ=2)，再求E(ξ)的值．【解答】

解：由題意知，隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2；

計(jì)算P(ξ=0)=14+14×13=13；

P(ξ=1)=1?2×3.【2023全國甲卷】?項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)?案如下：選40只???，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的???飼養(yǎng)在?濃度臭氧環(huán)境，對照組的???飼養(yǎng)在正常環(huán)境，?段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只???體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：對照組的???體重的增加量從?到?排序?yàn)?5.2?18.8?20.2?21.3?22.5?23.2?25.8?26.5?27.5?30.132.6?34.3?34.8?35.6?35.6?35.8?36.2?37.3?40.5?43.2試驗(yàn)組的???體重的增加量從?到?排序?yàn)?.8?9.2?11.4?12.4?13.2?15.5?16.5?18.0?18.8?19.219.8?20.2?21.6?22.8?23.6?23.9?25.1?28.2?32.3?36.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；(2)(ⅰ)求40只???體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中?于m與不?于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表<m≥m對照組實(shí)驗(yàn)組(ⅱ)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為???在?濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?附：K2P(0.1000.0500.010k

2.7063.8416.635【答案】解：(1)(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)×(2)中位數(shù)m=23<m≥m對照組614實(shí)驗(yàn)組146(3)∴有95%的把握認(rèn)為???在?濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異【解析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識，屬于中檔題．(1)(2)由平均數(shù)及中位數(shù)的概念即可得平均數(shù)及中位數(shù)，完成列聯(lián)表．(3)由題意完成列聯(lián)表，求出K2的值與34.【2022全國甲卷】甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】解：(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，PX=0PX=10PX=20PX=30即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望EX【解析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)事件的分布列與均值，屬中檔題．

(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可以求出甲學(xué)校獲勝2場或者3場的概率，可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

(2)乙學(xué)校的總得分X的值可取0，10，20，30，分別求出X取上述值時(shí)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望．5.【2022北京】校運(yùn)動(dòng)會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m):

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX:

(3)在校運(yùn)動(dòng)會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大??(結(jié)論不要求證明)【答案】解：(1)由題意得：

設(shè)“甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)”為事件A．

比賽成績達(dá)到9.50m以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績達(dá)到9.50以上的有：9.80，9.70.9.55，9.54四個(gè)．

所以，甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4

(2)

X所有可能取值為0，1，2，3．

甲在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4．

乙在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件B，則P(B)=0.5．

丙在校運(yùn)會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件C，則P(C)=0.5．

P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15，

P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4，

P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35，

R(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1，

EX=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4;

(3)丙獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．

【解析】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，屬于中檔題．6.【2021新高考Ⅰ卷】某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，

則P(X=0)=1?0.8=0.2，

P(X=20)=0.8×(1?0.6)=0.32

P(X=100)=0.8×0.6=0.48，

所以X的分布列為：

X

0

20

100

P

0.2

0.32

0.48(2)由(1)可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，

若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，

則Y的所有可能取值為0，80，100，

P(Y=0)=1?0.6=0.4，

P(Y=80)=0.6×(1?0.8)=0.12，

P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，

則Y的期望為E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，

因?yàn)镋(Y)>E(X)，

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．

【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

(1)由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，分別求出對應(yīng)的概率即可求解分布列；

(2)由(1)可得E(X)，若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，Y的所有可能取值為0，80，100，分別求出對應(yīng)的概率，從而可得E(Y)，比較E(X)與E(Y)的大小，即可得出結(jié)論．7.【2021新高考Ⅱ卷】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1．(2)設(shè)fx因?yàn)閜3+p若EX≤1，則p1f′x因?yàn)閒′0=?p故f′x有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,且x∈?∞,x1∪x2,+∞故fx在?∞,x1，x若x2=1，因?yàn)閒x在x而當(dāng)x∈0,x2時(shí)，因?yàn)閒x在故1為p0若x2>1，因?yàn)閒1=0且在0,x綜上，若EX≤1，則若EX>1，則p1此時(shí)f′0=?p故f′x有兩個(gè)不同零點(diǎn)x3,且x∈?∞,x3?x4,+∞故fx在