浙江省麗水地區(qū)四校 2024屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

浙江省麗水地區(qū)四校2024屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.202．若平面的一個法向量為，點，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－14．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.5．《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增的等差數列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數為（）A.14 B.16C.18 D.206．已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為7．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，8．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.9．已知等差數列的前項和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.1010．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.11．等比數列的各項均為正數，且，則（）A.5 B.10C.4 D.12．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為__________.14．動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.15．若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為3，則__.16．已知正數滿足，則的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點①求證：；②設OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點，過點O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值18．（12分）已知等差數列的前三項依次為，4，，前項和為，且.（1）求的通項公式及的值；（2）設數列的通項，求證是等比數列，并求的前項和.19．（12分）如圖，四棱臺的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值20．（12分）某公司從2020年初起生產某種高科技產品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關系式；.（2）若企業(yè)希望經過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.21．（12分）已知的展開式中只有第五項的二項式系數最大.（1）求該展開式中有理項的項數；（2）求該展開式中系數最大的項.22．（10分）函數（1）求在上的單調區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D2、B【解析】求出，點A到平面的距離：，由此能求出結果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點到平面的距離：故選：B.3、B【解析】求出函數的導數，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B4、D【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據余弦定理可得到，利用基本不等式可得結論【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題5、B【解析】由題可知這是一個等差數列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設每人所出錢數成等差數列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數為.故選：B6、D【解析】根據已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D7、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B8、D【解析】結合不等式的基本性質，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當時，滿足，推不出，故不充分；B.當時，滿足，推不出，故不充分；C.當時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D9、B【解析】根據等差數列的性質，以及等差數列的前項和公式，由題中條件，即可得出結果.【詳解】因為數列為等差數列，由，可得，，則.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數列的性質，以及等差數列前項和的基本量運算，屬于基礎題型.10、B【解析】根據邏輯聯(lián)結詞“且”，一假則假，對四個選項一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯(lián)結詞“且”，一假則假.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯誤；為真，故B正確；為假，故C錯誤；為假，故D錯誤.故選：B11、A【解析】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A12、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式求切線方程.【詳解】函數的導數為，所以切線的斜率，切點為，則切線方程為故答案為：【點睛】易錯點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點，考查學生的運算能力，屬于基礎題.14、##【解析】設，中點，根據中點坐標公式求出，代入圓的標準方程即可得出結果.【詳解】設，中點，則，即，因為在圓上，代入得故答案為：.15、【解析】通過拋物線的定義列式求解【詳解】根據拋物線的定義知，所以.故答案為：16、8【解析】利用“1”代換，結合基本不等式求解.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最小值8.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據離心率及過點求出求解即可；（2）①設直線l的方程為，利用向量的數量積計算證明即可；②設直線CD方程為，利用求出，再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設，，依題意，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因為，所以，因此，②證明：設，，設直線CD方程為，因為，所以，則，聯(lián)立，得當時，，則所以，即滿足則，即為定值18、（1），（2）證明見解析，【解析】(1)直接利用等差中項的應用求出的值，進一步求出數列的通項公式和的值；(2)利用等比數列的定義即可證明數列為等比數列，進一步求出數列的和.【小問1詳解】等差數列的前三項依次為，4，，∴，解得；故首項為2，公差為2，故，前項和為，且，整理得，解得或－11(負值舍去).∴，k＝10.【小問2詳解】由(1)得：，故(常數)，故數列是等比數列；∴.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）：連結交交于點O，連結，，通過四棱臺的性質以及給定長度證明，從而證出，利用線面平行的判定定理可證明面；（2）利用線面平行的性質定理以及基本事實可證明，即求與平面所成角的正弦值；通過條件以及面面垂直的判定定理可證明面面，則為與平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【詳解】（1）證明：連結交交于點O，連結，，由多面體為四棱臺可知四點共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.【點睛】思路點睛：（1）找兩個平面的交線，可通過兩個平面的交點找到，也可利用線面平行的性質找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過直線上一點做平面的垂線，則垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.20、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據題意直接得，，進而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數列的求和公式可得，結合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.21、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解；（2）設第項系數最大，則，即可解得的值，進而可得展開式中系數最大的項.【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開式通項為，，要求展開式中有理項，只需令，所以所以有理項有5項，（2）設第項系數最大，則，即，即，解得：，因為，所以或所以，所以展開式中系數最大的項為和.【點睛】解二項式的題關鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數位置是整數，求展開式中系數最大的項需要滿足第項的系數大于等于第項的系數，第項的系數大于等于第項的系數，屬于中檔題22、（1）單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和（2