保險公司多種業(yè)風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題研究

保險公司多種業(yè)風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題研究

1雙變量poisson風(fēng)險模型破產(chǎn)概率模型經(jīng)典風(fēng)險過程。U(t)=u+ct-S(t),t≥0其中,U(t)=保險人在時刻t的資本金;u=U(0)=初始資本金;c=單位時間的保費收入(假定為常數(shù));S(t)=X1+X2+…+XN(t)并且N(t)=到時刻t為止的理賠次數(shù);X=第i個理賠量(設(shè)為非負(fù)),X1,X2,…,Xn獨立同分布,N(t)與Xi獨立。這里N(t)是一個Poisson過程,從而S(t)是一個復(fù)合Poisson過程。上述經(jīng)典的風(fēng)險模型是描述單一險種的風(fēng)險過程,隨著保險公司業(yè)務(wù)規(guī)模的不斷擴大,討論多險種風(fēng)險過程的破產(chǎn)問題顯得越來越必要了。本文研究了兩類相關(guān)的雙變量Poisson風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率問題,并得到了它的破產(chǎn)概率計算公式。現(xiàn)在考慮保險公司有兩個相關(guān)險種:S1(t)=u+c1t-∑i=1N(t)∑i=1Ν(t)Xi(1)S2(t)=v+c2t-∑i=1N(t)∑i=1Ν(t)Yi(2)其中,N(t)是密度為λ的Poisson過程;X1,X2,…,Xn獨立同分布;Y1,Y2,…,Yn獨立同分布;而且對每一i,(Xi,Yi)是具有某種相關(guān)性的隨機向量。由于理賠量有某種相關(guān)性,而且到t時刻為止的理賠次數(shù)N(t)均為密度是λ的Poisson過程,因此,可考慮其和S(t)=S1(t)+S2(t)=(u+v)+(c1+c2)t-∑i=1N(t)∑i=1Ν(t)(Xi+Yi)(3)的破產(chǎn)問題,我們將這種破產(chǎn)問題稱為相關(guān)的雙變量Poisson風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題。記T1=min{t≥0,S1(t)<0},(4)T2=min{t≥0,S2(t)<0},(5)令:S1(t)的破產(chǎn)概率為Ψ1(u)=P(T1<∞);(6)S2(t)的破產(chǎn)概率為Ψ2(u)=P(T2<∞);(7)S(t)的破產(chǎn)概率為或Ψ(u,v)=P(T1<∞,或T2<∞),(8)即只要S1(t)和S2(t)中有一個破產(chǎn)就認(rèn)為S(t)破產(chǎn)。(這在實務(wù)中有其合理性,因為兩個捆綁保險產(chǎn)品,有一個發(fā)生破產(chǎn)另一個亦不能單獨存在。)現(xiàn)在研究對每一i,(Xi,Yi)具有極端相關(guān)性時,S(t)的破產(chǎn)概率。2文本描述2.1經(jīng)典風(fēng)險過程和獨立后的一般過程定義2.1.1如果隨機變量X1,X2,…,Xn非負(fù),且對于一切i,j,i≠j都有P(Xi>0;Xj>0)=0成立,那么稱隨機向量(X1,X2,…,Xn)為互斥的。當(dāng)風(fēng)險過程(3)中的每一理賠隨機向量(Xi,Yi)為互斥時,令P(Xi>0)=ηN′(t)=∑i=1N(t)∑i=1Ν(t)I(Xi>0)N″(t)=∑i=1N(t)∑i=1Ν(t)I(Xi=0)其中,I為特征函數(shù)。顯然N′(t)和N″(t)是兩獨立的Poisson過程,且N′(t)具有密度λη,N″(t)具有密度λ(1-η)。如果設(shè)v′0=0,v″0=0,而且對于一切l(wèi)≥1,定義v′l=inf{n≥1|v′l-1<n,Xn>0}v″l=inf{n≥1|v″l-1<n,Xn=0},同時定義X′n=∑k=1∞∑k=1∞I(v′n=k)XkY″n=∑k=1∞∑k=1∞I(v″n=k)Yk,那么有定理2.1.2設(shè)S′(t)=u+c1t-∑i=1N′(t)∑i=1Ν′(t)X′i,S″(t)=v+c2t-∑i=1N′′(t)∑i=1Ν″(t)Y″i,則S′(t)和S″(t)是兩個獨立經(jīng)典風(fēng)險過程,且S′(t)=S1(t),S″(t)=S2(t)。證明過程與文獻(xiàn)中定理6.3.6的證明過程類似,只要用Y″代替X″即可,故此省略。定理2.1.3設(shè)風(fēng)險過程(3)中的每一理賠隨機向量(Xi,Yi)為互斥,那么Ψ(u,v)=Ψ1(u)+Ψ2(v)-Ψ1(u)·Ψ2(v)(9)證明:由定理2.1.2知,S′(t)和S″(t)是兩個獨立的經(jīng)典風(fēng)險過程,且S′(t)=S1(t),S″(t)=S2(t),所以由(4)(5)兩式知隨機變量T1,T2,相互獨立。因此,由(6)(7)(8)知(9)式成立。2.2“x”fx型定義2.2.1隨機向量(X1,X2,…,Xn)被稱為同單調(diào)的,如果存在隨機變量Z,以及不減的函數(shù)f1,f2,…,fn,使得Xd=(f1(Z)?f2(Z)???fn(Z))Xd=(f1(Ζ)?f2(Ζ)???fn(Ζ))成立,其中“d=d=”表示同分布。定理2.2.2當(dāng)風(fēng)險過程(3)中的每一理賠隨機向量(Xi,Yi)為同單調(diào)時,有(1)當(dāng)v≤u,c2≤c1時,Ψ(u,v)=Ψ2(u);(2)當(dāng)u≤v,c1≤c2時,Ψ(u,v)=Ψ1(u);(3)當(dāng)u<v,c2<c1時,Ψ(u,v)=Ψ1(u;t0)+?1(u;t0)·[P(∑i=1N(t0)Xi=0)?Ψ2(u+c1t0)+∫u+c1t00Ψ2(x)f(x)dx]；∑i=1Ν(t0)Xi=0)?Ψ2(u+c1t0)+∫0u+c1t0Ψ2(x)f(x)dx]；其中,Ψ1(u;t0)為在(0,t0]內(nèi),S1(t)破產(chǎn)的概率;?1(u;t0)為在(0,t0]內(nèi),S1(t)不破產(chǎn)的概率;f(x)為Xi的概率密度函數(shù);(4)當(dāng)v<u,c1<c2時,Ψ(u,v)=Ψ2(v;t0)+?2(v;t0)?[P(∑i=1N(t0)Yi=0)?Ψ1(v+c2t0)+∫v+c2t00Ψ1(x)g(x)dx]；t0)?[Ρ(∑i=1Ν(t0)Yi=0)?Ψ1(v+c2t0)+∫0v+c2t0Ψ1(x)g(x)dx]；其中,Ψ2(v;t0)為在(0,t0]內(nèi),S2(t)破產(chǎn)的概率;?2(v;t0)為在(0,t0]內(nèi),S2(t)不破產(chǎn)的概率;g(x)為Yi的概率密度函數(shù)。證明:(1)顯然在這種情況下,對于所有的t都有S2(t)≤S1(t)成立,所以Ψ(u,v)=P(T2<∞)=Ψ2(v)。(2)同(1)的證法。(3)在這種情況下,存在一個關(guān)鍵點t0=v?uc1?c2t0=v-uc1-c2,使得對于所有t<t0,有S1(t)<S2(t)成立;而對于所有t>t0,有S1(t)>S2(t)成立;同時,S1(t0)=S2(t0)。因此,Ψ(u,v)=P(S1(t)<0,對某個t<t0)+P(S1(t)≥0,對所有t<t0)×P(S2(T)<0,對某個t>t0)|S1(t)≥0,t<t0)=Ψ1(u;t0)+?1(u;t0)·P(S2(t)<0,對某個t>t0)|S1(t)≥0,t<t0)因為N(t)是一個Poisson過程,使用獨立增量屬性或馬爾可夫?qū)傩缘玫絇(S2(t)<0,對某個t>t0)|S1(t)≥0,t<t0)=P(S2(t)<0,對某個t>t0|∑