期末測試卷（考試范圍選擇性必修第二冊）（解析版）

期末測試卷考試范圍：人教A版選擇性必修第二冊時間：150分鐘滿分：150分姓名：班級：得分：題號一二三四總分得分一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，在給出的四個選項中只有一項是正確的。1．設(shè)數(shù)列滿足且，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由題意首先確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的周期即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，，據(jù)此可得數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，則.故選：D2．已知數(shù)列中，，，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造新數(shù)列，求出通項公式即可計算作答.【詳解】依題意，，，而，因此，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，即，由，得，所以.故選：C3．直線與曲線相切，則的值為（

）A．2 B．-2 C．-1 D．1【答案】D【分析】求出，設(shè)切點，由求出，代入可得答案.【詳解】，設(shè)切點，由，所以，代入，得．故選：D.4．是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出和判斷【詳解】因為，所以，所以，．故選：A5．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按照數(shù)學(xué)歸納法類比題干條件逐項展開即可.【詳解】當(dāng)時,左邊等于;當(dāng)時,左邊等于，即左邊等于；所以左邊增乘的項為，故選：B.6．已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)的值求出可得答案.【詳解】由，可得，若，則，與矛盾，故，所以，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以.故選：A.7．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．的最小值為2e D．有1個零點【答案】C【分析】通過函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性最小值等性質(zhì)判斷即可.【詳解】的定義域為，，A選項不正確；當(dāng)時，，，，，即，不滿足在區(qū)間單調(diào)遞減，B選項不正確；因為，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，，令，因為在單調(diào)遞增；而在也遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取最小值，C選項正確；時，，所以，所以沒有零點，D選項不正確.故選：C.8．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先將不等式進行恒等變形，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意可得：，，，令，易得在上單調(diào)遞增，，記，則,故當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，故，故只需故實數(shù)的取值范圍為．故選：A二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分，在給出的四個選項中至少有一項是正確的，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分。9．設(shè)數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，是其前n項和，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．或為的最大值【答案】ABD【分析】由及前n項和公式可得，即可判斷A、B的正誤，進而得到判斷C，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D的正誤.【詳解】根據(jù)題意可得，即．因為，，所以，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以A，B正確；對于C，因為，，所以，所以，故C不正確；對于D，因為，所以，又為遞減數(shù)列，所以或為的最大值，故D正確．故選：ABD．10．下列命題正確的有（

）A．若等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項的和最大D．若，則數(shù)列的前2020項和為4040【答案】BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式判斷；D.利用數(shù)列并項求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯誤；B.為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；C.因為，則，，則，所以，，所以數(shù)列前項的和最大，故正確；D.因為，所以數(shù)列的前2020項和為：，，故正確.故選：BCD11．對于函數(shù)和，則下列結(jié)論中正確的為（

）A．設(shè)的定義域為，的定義域為，則．B．函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0．C．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的切線斜率以及單調(diào)性問題，利用函數(shù)的概念以及性質(zhì)來研究定義域與對稱性問題.【詳解】因為，所以，即，解得，因為，所以，解得.所以.故A正確；因為，所以，所以，所以的圖像在處的切線斜率為-1，故B錯誤；因為，定義域為：，所以，由有：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故C正確；當(dāng)時，.所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，故D正確.故選：ACD.12．定義；在區(qū)間上，若數(shù)是減函數(shù)且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”，根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．在上是“弱減函數(shù)”C．在上是“弱減函數(shù)”D．若在上是“弱減函數(shù)”，則【答案】BCD【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、并結(jié)合題中定義可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)在上不是增函數(shù)，A不滿足條件；對于B選項，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，令，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，B滿足條件；對于C選項，當(dāng)時，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，故當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，C滿足條件；對于D選項，因為在上是“弱減函數(shù)”且該函數(shù)的定義域為，由，解得，所以，，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，D滿足條件.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分。13．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】由題化簡可得，當(dāng)時，求出，當(dāng)時，由，可求出，再驗證是否滿足，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，所以，即．當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不滿足上式.所以．故答案為：.14．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項積為Tn，若Sn+2Tn＝1，則數(shù)列中最接近2019的是第____項．【答案】45【解析】由已知條件歸納出Sn＝，從而可得an＝SnSn﹣1＝，進而可得＝n2，n≥2，然后賦值可得結(jié)果【詳解】Sn+2Tn＝1，可得S1+2T1＝1，且S1＝T1＝；由S2+2S1S2＝1，解得S2＝；由S3+2S1S2S3＝1，解得S3＝；…推得Sn＝，a1＝S1＝，n≥2時，an＝SnSn﹣1＝＝，＝，由＝n2，當(dāng)n＝44時，442＝1935.75，當(dāng)n＝45時，452＝2024.75，當(dāng)n＝46時，462＝2115.75．綜上可得數(shù)列中最接近2019的是第45項．故答案為：45．15．已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）有兩個極值點，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得，是關(guān)于x的方程的兩個不等的正實根，則得，，則，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】.若有兩個極值點為，則，是關(guān)于x的方程的兩個不等的正實根.由，及方程根的情況，得，則，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，則，當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以當(dāng)時，.由題意，要使恒成立，只需滿足.故答案為：16．已知函數(shù)．若時，直線與曲線相切，則的所有可能的取值為_________；若a∈R時，直線與曲線相切，且滿足條件的k的值有且只有3個，則a的取值范圍為_________．【答案】

，5

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點的曲線切線斜率即可；再利用過點的曲線的切線有3條，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)有3個零點求解作答.【詳解】當(dāng)時，，求導(dǎo)得：，設(shè)直線與曲線相切的切點為，則，且，即，整理得，解得或，則或，所以的所有可能的取值為，5；由求導(dǎo)得：，設(shè)直線與曲線相切的切點為，于是得，且，則，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因直線與曲線相切的k的值有且只有3個，則有直線與曲線相切的切點橫坐標(biāo)t值有且只有3個，即方程有3個不等實根，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上遞增，在上遞減，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，方程有3個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)有3個不同的零點，因此，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：，5；四、解答題：本大題共6小題，共計70分，需要寫出必要的推理過程。17.（10分）已知{}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若．(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)求Sn．【答案】(1)an＝8﹣2n；(2).【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列通項公式求基本量，進而寫出通項公式；（2）由等差數(shù)列前n項和公式求Sn.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1＝6，a3+a5＝0，則6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，所以{an}的通項公式為an＝8﹣2n．（2）由題意知：，18.（12分）已知函數(shù).(1)求導(dǎo)函數(shù)；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確運算，即可求解；（2）由（1）分別求得和，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，函數(shù)，可得.(2)解：當(dāng)時，可得，由（1）得，所以，所以函數(shù)的圖像在點處的切線方程，即.19.（12分）已知正項等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)，；(2)證明見解析【分析】（1）利用，，成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，寫出的通項公式，再利用，得到是公比為的等比數(shù)列，求出的通項公式；（2）利用分組求和及裂項相消法，得到，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因為，且，，成等比數(shù)列，所以，所以d＝3，所以．由，得，所以是公比為的等比數(shù)列，又，所以．（2），所以．因為，所以．20.（12分）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對于任意正實數(shù)，，當(dāng)+=2時，試判斷與的大小關(guān)系并加以證明.【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，分類討論，和，即可得出的單調(diào)區(qū)間.（2）由，換元，構(gòu)造函數(shù)，分情況討論的最值，進而求解.【詳解】（1）的定義域為，，令，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，③當(dāng)時，令，則，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：，的單調(diào)減區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）結(jié)論：，證明如下：設(shè)，由均為正數(shù)且得設(shè)，則①當(dāng)時，由得即故單調(diào)遞減，從而而，此時成立②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為此時只需證，化簡后即證設(shè)，故單調(diào)遞增，從而有，即證.21.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，（n∈N*）.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn＜m對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明詳見解析；（2）；證明詳見解析；（3）.【解析】（1）由得遞推式，可得證明；（2）由（1）求出，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）求得，用裂項相消可求得答案.【詳解】（1）證明：由得，且首項a1+1＝3≠0，∴數(shù)列是公比為-2，首項為3的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，∴，∴，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：.（i）n＝1時，|a1|＝|3﹣1|＝2，，∴|a1|≥.（ii）假設(shè)n＝k∈N*，|ak|≥.則n＝k+1，|ak+1|＝|3×2k﹣1|＝|2（3×2k﹣1﹣1）+1|≥+1≥.綜上可得：n＝k+1時成立.綜上可得：假設(shè)成立.因此?n∈N*，.（3）∴，∴.22.（12分）已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的方程有3個不等實根，求的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式對一切實數(shù)x恒成立，求ab的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】根據(jù)題意得到，求得，得出函