蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義第1章1.31.3.2第3課時正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)Word版含答案

第3課時正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)(教師獨具)1.了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解掌握正切函數(shù)的性質(zhì)．(重點)2．能利用正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)問題．(難點、易錯點)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和直觀想象核心素養(yǎng).正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝tanx圖象定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域R周期π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函數(shù)對稱性無對稱軸，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)思考：正切函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)嗎？[提示]不是．1．思考辨析(1)正切函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)．()(2)正切函數(shù)的對稱軸方程為x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.()(3)正切函數(shù)的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.()[解析](1)×.正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上是單調(diào)遞增函數(shù)．(2)×.正切函數(shù)不是軸對稱圖形．(3)×.正切函數(shù)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.[答案](1)×(2)×(3)×2．函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的定義域是________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))eq\r(3)[由題意知x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x≠eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．故定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq\r(3).]3．函數(shù)y＝－tanx的單調(diào)遞減區(qū)間是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)[因為y＝tanx與y＝－tanx的單調(diào)性相反，所以y＝－tanx的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．]正切函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))；(2)y＝eq\r(\r(3)tanx－3).思路點撥：(1)分母不為0，且taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))有意義；(2)被開方數(shù)非負，且tanx有意義．[解](1)若使得y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,2x－\f(π,4)≠kπ－\f(π,4)k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)k∈Z，,x≠\f(kπ,2)k∈Z，))∴函數(shù)y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)且x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)，k∈Z)))).(2)由題意得eq\r(3)tanx－3≥0，∴tanx≥eq\r(3)，∴kπ＋eq\f(π,3)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴y＝eq\r(\r(3)tanx－3)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即eqx≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，而對于構(gòu)建的三角函數(shù)不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解.1．求函數(shù)y＝eq\f(1,1＋tanx)的定義域．[解]要使函數(shù)y＝eq\f(1,1＋tanx)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋tanx≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx≠－1，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))∴函數(shù)y＝eq\f(1,1＋tanx)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用【例2】(1)比較下列兩個數(shù)的大小(用“>”或“<”填空)．①taneq\f(2π,7)________taneq\f(10π,7)；②taneq\f(6π,5)________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5))).(2)求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)區(qū)間及最小正周期．思路點撥：(1)把各角化歸到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)再利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．(2)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再把eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)看作一個整體，利用y＝tanx的單調(diào)區(qū)間求解．利用T＝eq\f(π,ω)求周期．①＜②＜[(1)①taneq\f(10π,7)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(3π,7)))＝taneq\f(3π,7)，∵0＜eq\f(2π,7)<eq\f(3π,7)＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴taneq\f(2π,7)<taneq\f(10π,7).②taneq\f(6π,5)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,5)))＝taneq\f(π,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5)))＝taneq\f(2π,5)，∵0＜eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴taneq\f(6π,5)<taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5))).](2)[解]y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z，無增區(qū)間．最小正周期T＝eq\f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2π.1．求y＝Atan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，可先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值，由kπ－eq\f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq\f(π,2)求得x的范圍即可．比較兩個同名函數(shù)的大小，應(yīng)保證自變量在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．2．運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小時，先把各角轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再運用單調(diào)性比較大小．2．(1)求函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)區(qū)間；(2)比較taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5)))的大小．[解](1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，令－eq\f(π,2)＋kπ<2x－eq\f(π,4)<eq\f(π,2)＋kπ，則－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)<x<eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，從而函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z.(2)因為taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5)))＝－taneq\f(π,5)，又0＜eq\f(π,5)＜eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)，y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,4)＞taneq\f(π,5)，所以－taneq\f(π,4)＜－taneq\f(π,5)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＜taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5))).正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用[探究問題]1．如何由y＝tanx的圖象畫出y＝|tanx|的圖象．提示：只需保持y＝tanx的圖象在x軸上方的不動，x軸下方的關(guān)于x軸對稱便可得出y＝|tanx|的圖象．2．如何由y＝tanx的圖象畫出y＝tan|x|的圖象．提示：把y＝tanx(x≥0)的圖象關(guān)于y軸對稱便可得出y＝tan|x|的圖象．【例3】根據(jù)函數(shù)y＝|tanx|的圖象，判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性．思路點撥：eq\x(畫y＝tanx圖象)→eq\x(y＝|tanx|圖象)→eq\x(研究性質(zhì))[解]由y＝|tanx|得，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，kπ≤x<kπ＋\f(π,2)k∈Z，,－tanx，－\f(π,2)＋kπ<x<kπk∈Z，))其圖象如圖．由圖象可知，函數(shù)y＝|tanx|是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z)，周期為π.將本例中的函數(shù)y＝|tanx|改為y＝tan|x|，解答同樣的問題．[解]由y＝tan|x|得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x≥0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－tanx，x<0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，))根據(jù)y＝tanx的圖象，作出y＝tan|x|的圖象如圖：由圖象可知，函數(shù)y＝tan|x|是偶函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋\f(3,2)π))(k＝0,1,2，…)；單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,2)π，kπ－\f(π,2)))(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．作由正切函數(shù)復(fù)合而成的簡單函數(shù)圖象可用兩種方法：1直接描點法，要注意定義域；2圖象變換法，即以y＝tanx的圖象為基礎(chǔ)，采用反轉(zhuǎn)對稱平移等變換，作出函數(shù)的圖象.教師獨具1．本節(jié)課的重點是正切函數(shù)的定義域、單調(diào)性以及奇偶性和周期性，難點是正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．2．本節(jié)課要學(xué)會“三點兩線法”畫正切函數(shù)的圖象類似于正弦、余弦函數(shù)的“五點法”作圖，正切曲線的簡圖可用“三點兩線法”作出，這里的三個點分別為(kπ，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z.兩線為直線x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，直線x＝kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)．3．要掌握與正切函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的三個問題(1)與正切函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題．(2)正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用．(3)與正切函數(shù)有關(guān)的奇偶性、周期性問題．4．本節(jié)課的易錯點有兩處(1)易忽視正切函數(shù)y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠k