不等式恒成立問題

大家好主講

漣源市行知中學(xué)

蔣杭洲

考題展示1（05遼寧）在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,則:2（05陜西）對(duì)任意實(shí)數(shù)x

與y,不等式

恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為()A.8B.6C.4D.23(04全國Ⅰ)若不等式∣x-1∣+∣x+2∣≥a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。4（04全國Ⅱ）若不等式∣x+1∣≥kx對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是課題含參不等式恒成立問題13考點(diǎn)闡釋

高考中往往以不等式為載體，以恒成立為模型,考查求函數(shù)的最值問題以及考查函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用。這類題涉及的知識(shí)面廣，變量多，綜合性強(qiáng)，需靈活應(yīng)用不等式與函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，整合性強(qiáng)。對(duì)能力要求較高，能很好地鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。應(yīng)該特別重視。解決這類問題，必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，合理構(gòu)造函數(shù)，恰當(dāng)選擇方法，這樣才能快速解答。

典例分析例1：關(guān)于x的不等式x2-4x+m≤0在區(qū)間［1,5］上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍∴m≤-5根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象可知,問題等價(jià)于解：設(shè)f(x)=x2-4x+m,x∈[1,5]xyo-2-1654321f(1)≤0f(5)≤0-3+m≤05+m≤0即(圖象法)∴m+5≤0,即m≤–

5問題等價(jià)于f(x)max≤0例：關(guān)于x的不等式x2-4x+m≤0在區(qū)間［1,5］上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍∵f(x)=(x–2)2+m–4≤f(5)=m+5設(shè)f(x)=x2-4x+m

x∈[1,5]解:(最值法)例：關(guān)于x的不等式x2-4x+m≤0在區(qū)間［1,5］上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍∴m≤-5解：?jiǎn)栴}m≤-x2+4x在區(qū)間［1，5］上恒成立記g(x)=-x2+4x,x∈[1,5]則問題m≤g(x)min)2+4,∵g(x)=-(x-2x∈[1,5]g(x)min=g(5)=-5-53xyo-2-1654321(分離參數(shù)法)例2

不等式x2-logmx<0在x(0,)時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解不等式x2-logmx<0在x(0,)時(shí)恒成立，即不等式x2<logmx在x(0,)時(shí)恒成立

設(shè)f(x)=x2,g(x)=logmx,則根據(jù)題意可知在時(shí),欲使x2<logmx在x(0,)時(shí)恒成立,必須使g(

)即

logm

解之得

例3

已知不等式

對(duì)于大于1的一切自然數(shù)n恒成立，試求參數(shù)a的取值范圍在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),解:設(shè)則要使不等式對(duì)于大于1的一切自然數(shù)n恒成立必須解之得所以關(guān)于n的函數(shù)f(n)3已知函數(shù)f(x)=x3-ax(a>0)，求使得f(x)在[1，+∞）上為增函數(shù)的a的取值范圍2已知f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在

(0,+∞)上是增函數(shù)如果x∈

[,1]時(shí)，不等式f(ax+1)≤f(x-2)恒成立，則a的取值范圍是

.4已知︱x-︱＜a時(shí)，不等式︱x2-5︱＜4恒成立，求正數(shù)a的取值范圍

自主探究.不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立

,求實(shí)數(shù)k的取值范圍f(x)≤a

恒成立f(x)≥a

恒成立f(x)max≤a

f(x)min≥a

課時(shí)小結(jié)

1.知識(shí)要點(diǎn)2.解題方法最值法圖象法分離參數(shù)法3.數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想化歸思想數(shù)形結(jié)合思想

課后練習(xí)1當(dāng)p∈[0,4]時(shí)，關(guān)于x的不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。2不等式lg(xy)≤lga對(duì)大于1的任意x與y恒成立，試求a的取值范圍3已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=處都取得極值，（1）求a,b的值；

(2)若對(duì)于x∈[-1，2]，都有f(x)<c2恒成立，求c的