中考數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)整式及因式分解

第3講┃整式及因式分解第3講整式及因式分解第3講┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1整式的有關(guān)概念

單項(xiàng)式定義數(shù)與字母的________的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個________或一個________也是單項(xiàng)式次數(shù)一個單項(xiàng)式中，所有字母的________叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)系數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)防錯提醒字母x的次數(shù)是1而不是0，單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號，如的系數(shù)為乘積

數(shù)

字母

指數(shù)的和

第3講┃考點(diǎn)聚焦多項(xiàng)式定義幾個單項(xiàng)式的________叫做多項(xiàng)式次數(shù)一個多項(xiàng)式中，______________的次數(shù)，叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式中的每個________叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)整式________________統(tǒng)稱整式次數(shù)最高的項(xiàng)

和

單項(xiàng)式

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式

第3講┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)2同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)名稱概念防錯提醒同類項(xiàng)所含字母________，并且相同字母的指數(shù)也分別________的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)同類項(xiàng)與系數(shù)無關(guān)，也與字母的排列順序無關(guān)，如－7xy與yx是同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變只有同類項(xiàng)才能合并，如x2＋x3不能合并相同

相同

考點(diǎn)3整式的運(yùn)算

第3講┃考點(diǎn)聚焦類別法則整式的加減整式的加減實(shí)質(zhì)就是____________．一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，再合并同類項(xiàng)冪的運(yùn)算同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加.即：am·an＝________(m，n都是整數(shù))冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘.即：(am)n＝________(m，n都是整數(shù))積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即：(ab)n＝________(n為整數(shù))同底數(shù)冪相除底數(shù)不變，指數(shù)相減.即：am÷an＝________(a≠0，m、n都為整數(shù))合并同類項(xiàng)

am＋n

amn

anbn

am－n

整式的乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma

＋mb＋na＋nb第3講┃考點(diǎn)聚焦第3講┃考點(diǎn)聚焦整式的除法單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個單項(xiàng)式，然后把所得的商相加乘法公式平方差公式

(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式(a±b)2＝________常用恒等變換(1)a2＋b2＝____________＝____________(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4aba2－b2

a2±2ab＋b2

(a＋b)2－2ab

(a－b)2＋2ab考點(diǎn)4因式分解的相關(guān)概念及分解基本方法

第3講┃考點(diǎn)聚焦公因式定義一個多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式提取公因式法定義一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式的乘積形式，即ma＋mb＋mc＝________應(yīng)用注意(1)提公因式時，其公因式應(yīng)滿足：①系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項(xiàng)相同字母的最低次冪；(2)公因式可以是數(shù)字、字母或多項(xiàng)式；(3)提取公因式時，若有一項(xiàng)全部提出，括號內(nèi)的項(xiàng)應(yīng)是“1”，而不是0m(a＋b＋c)

第3講┃考點(diǎn)聚焦運(yùn)用公式法平方差公式a2－b2＝___________完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________a2－2ab＋b2＝________二次三項(xiàng)式x2+(p+q)x+pq=________因式分解的一般步驟一提(提取公因式)；二套(套公式法)；一直分解到不能分解為止(a＋b)(a－b)

(a＋b)2

(a－b)2

(x+p)(x+q)

第3講┃歸類示例歸類示例?類型之一同類項(xiàng)命題角度：1.單項(xiàng)式.多項(xiàng)式的概念；2.同類項(xiàng)的概念；3.由同類項(xiàng)的概念通過列方程組求解同類項(xiàng)的指數(shù)中字母的值．例1

[2013·上海]在下列代數(shù)式中，次數(shù)為3的單項(xiàng)式是(

)A．xy2B．x3－y3C．x3yD．3xyA

[解析]由單項(xiàng)式次數(shù)的概念可知次數(shù)為3的單項(xiàng)式是xy2.所以本題選項(xiàng)為A.第3講┃歸類示例例2

[2013·雅安]如果單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，那么a，b的值分別為(

)A．2，2B．－3，2C．2，3D．3，2D

[解析]依題意知兩個單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，根據(jù)相同字母的指數(shù)相同列方程，得

第3講┃歸類示例

(1)同類項(xiàng)必須符合兩個條件：第一所含字母相同，第二相同字母的指數(shù)相同，兩者缺一不可．(2)根據(jù)同類項(xiàng)概念——相同字母的指數(shù)相同列方程(組)是解此類題的一般方法．?類型之二整式的運(yùn)算命題角度：1.整式的加減乘除運(yùn)算；2.乘法公式．第3講┃歸類示例例3[2012·淮安]

下列運(yùn)算中，正確的是(

)A．a(chǎn)2·a3＝a6B．a(chǎn)3÷a2＝aC．(a3)2＝a9D．a(chǎn)2＋a2＝a5B[解析]因?yàn)閍2·a3＝a2＋3＝a5，a3÷a2

＝a3－2＝a，(a3)2＝a3×2＝a6，a2＋a2＝

2a2.故選B.第3講┃歸類示例

(1)進(jìn)行整式的運(yùn)算時，一要注意合理選擇冪的運(yùn)算法則，二要注意結(jié)果的符號．(2)不要把同底數(shù)冪的乘法和整式的加減法混淆，如a3·a5＝a8和a3＋a3＝2a3.(am)n和an·am也容易混淆．(3)單項(xiàng)式的除法關(guān)鍵：注意區(qū)別“系數(shù)相除”與“同底數(shù)冪相除”的含義，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3,一定不能把同底數(shù)冪的指數(shù)相除．第3講┃歸類示例例4[2013·山西]先化簡，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－√3.

[解析]按運(yùn)算法則化簡代數(shù)式，再代入求值．第3講┃歸類示例

整式的運(yùn)算順序是：先計(jì)算乘除，再做整式的加減，整式加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，其中能運(yùn)用乘法公式計(jì)算的應(yīng)采用乘法公式進(jìn)行計(jì)算．?類型之三因式分解第3講┃歸類示例命題角度：1．因式分解的概念；2．提取公因式法因式分解；3．運(yùn)用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．

例5[2012·無錫]

分解因式(x－1)2

－2(x－1)＋1的結(jié)果是(

)A．(x－1)(x－2)B.x2C．(x＋1)2D.(x－2)2D

[解析]首先把x－1看做一個整體，觀察發(fā)現(xiàn)符合完全平方公式，直接利用完全平方公式進(jìn)行分解．(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.

(1)因式分解時有公因式的要先提取公因式，再考慮是否應(yīng)用公式法或其他方法繼續(xù)分解．(2)提公因式時，若括號內(nèi)合并的項(xiàng)有公因式應(yīng)再次提??；注意符號的變換y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)應(yīng)用公式法因式分解時，要牢記平方差公式和完全平方式及其特點(diǎn)．(4)因式分解要分解到每一個多項(xiàng)式不能再分解為止．第3講┃歸類示例?類型之四因式分解的應(yīng)用命題角度：1.利用因式分解進(jìn)行計(jì)算與化簡；2.利用幾何圖形驗(yàn)證因式分解公式．第3講┃歸類示例例6[2013·綿陽]圖3－1①是一個長為2m，寬為2n(m>n)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖3－1②那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是(

)A．2mnB．(m＋n)2C．(m－n)2D．m2

－n2圖3－1C第3講┃歸類示例

[解析]中間空的部分的面積是(m＋n)2－2m·2n＝(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.

(1)通過拼圖的方法可驗(yàn)證平方差公式和完全平方公式，關(guān)鍵要能準(zhǔn)確計(jì)算陰影部分的面積．(2)利用因式分解進(jìn)行計(jì)算與化簡，先把要求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，再代入已知條件計(jì)算．第3講┃歸類示例?類型之五整式的創(chuàng)新應(yīng)用命題角度：1.整式的有關(guān)規(guī)律性問題；2.利用整式驗(yàn)證公式或等式；3.新定義運(yùn)算；第3講┃歸類示例例7[2012·寧波]用同樣大小的黑色棋子按如圖3－1所示的規(guī)律擺放：圖3—2第3講┃歸類示例(1)第5個圖形有多少顆黑色棋子？(2)第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由．

[解析](1)根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案；(2)根據(jù)(1)所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案．解：(1)第一個圖需棋子6顆，第二個圖需棋子9顆，第三個圖需棋子12顆，第四個圖需棋子15顆，第五個圖需棋子18顆，…第n個圖需棋子3(n＋1)顆．答：第5個圖形有18顆黑色棋子．(2)設(shè)第n個圖形有2013顆黑色棋子，根據(jù)(1)得3(n＋1)＝2013，解得n＝670，所以第670個圖形有2013顆黑色棋子．解決整式的規(guī)律性問題應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，從分析圖形的結(jié)構(gòu)入手，分析圖形結(jié)構(gòu)的形成過程，從簡單到復(fù)雜，進(jìn)行歸納猜想，從而獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式進(jìn)行描述．第3講┃歸類示例第3講┃回歸教材完全平方式大變身回歸教材教材母題江蘇科技版七下P80T9已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3.求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．第3講┃回歸教材[點(diǎn)析]完全平方公式的一些主要變形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.在四個量a＋b，a－b，a2＋b2，ab中，知道其中任意兩個量，就能