中考數(shù)學第一輪基礎整式及因式分解

第3講┃整式及因式分解第3講整式及因式分解第3講┃考點聚焦考點聚焦考點1整式的有關概念

單項式定義數(shù)與字母的________的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個________或一個________也是單項式次數(shù)一個單項式中，所有字母的________叫做這個單項式的次數(shù)系數(shù)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)防錯提醒字母x的次數(shù)是1而不是0，單項式的系數(shù)包括它前面的符號，如的系數(shù)為乘積

數(shù)

字母

指數(shù)的和

第3講┃考點聚焦多項式定義幾個單項式的________叫做多項式次數(shù)一個多項式中，______________的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)項多項式中的每個________叫做多項式的項整式________________統(tǒng)稱整式次數(shù)最高的項

和

單項式

單項式和多項式

第3講┃考點聚焦考點2同類項、合并同類項名稱概念防錯提醒同類項所含字母________，并且相同字母的指數(shù)也分別________的項叫做同類項，幾個常數(shù)項也是同類項同類項與系數(shù)無關，也與字母的排列順序無關，如－7xy與yx是同類項合并同類項把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項，合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變只有同類項才能合并，如x2＋x3不能合并相同

相同

考點3整式的運算

第3講┃考點聚焦類別法則整式的加減整式的加減實質就是____________．一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，再合并同類項冪的運算同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加.即：am·an＝________(m，n都是整數(shù))冪的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘.即：(am)n＝________(m，n都是整數(shù))積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即：(ab)n＝________(n為整數(shù))同底數(shù)冪相除底數(shù)不變，指數(shù)相減.即：am÷an＝________(a≠0，m、n都為整數(shù))合并同類項

am＋n

amn

anbn

am－n

整式的乘法單項式與單項式相乘把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式與多項式相乘就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc多項式與多項式相乘先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma

＋mb＋na＋nb第3講┃考點聚焦第3講┃考點聚焦整式的除法單項式除以單項式把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式先把這個多項式的每一項分別除以這個單項式，然后把所得的商相加乘法公式平方差公式

(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式(a±b)2＝________常用恒等變換(1)a2＋b2＝____________＝____________(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4aba2－b2

a2±2ab＋b2

(a＋b)2－2ab

(a－b)2＋2ab考點4因式分解的相關概念及分解基本方法

第3講┃考點聚焦公因式定義一個多項式各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式提取公因式法定義一般地，如果多項式的各項都有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式的乘積形式，即ma＋mb＋mc＝________應用注意(1)提公因式時，其公因式應滿足：①系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項相同字母的最低次冪；(2)公因式可以是數(shù)字、字母或多項式；(3)提取公因式時，若有一項全部提出，括號內的項應是“1”，而不是0m(a＋b＋c)

第3講┃考點聚焦運用公式法平方差公式a2－b2＝___________完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________a2－2ab＋b2＝________二次三項式x2+(p+q)x+pq=________因式分解的一般步驟一提(提取公因式)；二套(套公式法)；一直分解到不能分解為止(a＋b)(a－b)

(a＋b)2

(a－b)2

(x+p)(x+q)

第3講┃歸類示例歸類示例?類型之一同類項命題角度：1.單項式.多項式的概念；2.同類項的概念；3.由同類項的概念通過列方程組求解同類項的指數(shù)中字母的值．例1

[2013·上海]在下列代數(shù)式中，次數(shù)為3的單項式是(

)A．xy2B．x3－y3C．x3yD．3xyA

[解析]由單項式次數(shù)的概念可知次數(shù)為3的單項式是xy2.所以本題選項為A.第3講┃歸類示例例2

[2013·雅安]如果單項式是同類項，那么a，b的值分別為(

)A．2，2B．－3，2C．2，3D．3，2D

[解析]依題意知兩個單項式是同類項，根據(jù)相同字母的指數(shù)相同列方程，得

第3講┃歸類示例

(1)同類項必須符合兩個條件：第一所含字母相同，第二相同字母的指數(shù)相同，兩者缺一不可．(2)根據(jù)同類項概念——相同字母的指數(shù)相同列方程(組)是解此類題的一般方法．?類型之二整式的運算命題角度：1.整式的加減乘除運算；2.乘法公式．第3講┃歸類示例例3[2012·淮安]

下列運算中，正確的是(

)A．a2·a3＝a6B．a3÷a2＝aC．(a3)2＝a9D．a2＋a2＝a5B[解析]因為a2·a3＝a2＋3＝a5，a3÷a2

＝a3－2＝a，(a3)2＝a3×2＝a6，a2＋a2＝

2a2.故選B.第3講┃歸類示例

(1)進行整式的運算時，一要注意合理選擇冪的運算法則，二要注意結果的符號．(2)不要把同底數(shù)冪的乘法和整式的加減法混淆，如a3·a5＝a8和a3＋a3＝2a3.(am)n和an·am也容易混淆．(3)單項式的除法關鍵：注意區(qū)別“系數(shù)相除”與“同底數(shù)冪相除”的含義，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3,一定不能把同底數(shù)冪的指數(shù)相除．第3講┃歸類示例例4[2013·山西]先化簡，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－√3.

[解析]按運算法則化簡代數(shù)式，再代入求值．第3講┃歸類示例

整式的運算順序是：先計算乘除，再做整式的加減，整式加減的實質就是合并同類項，其中能運用乘法公式計算的應采用乘法公式進行計算．?類型之三因式分解第3講┃歸類示例命題角度：1．因式分解的概念；2．提取公因式法因式分解；3．運用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．

例5[2012·無錫]

分解因式(x－1)2

－2(x－1)＋1的結果是(

)A．(x－1)(x－2)B.x2C．(x＋1)2D.(x－2)2D

[解析]首先把x－1看做一個整體，觀察發(fā)現(xiàn)符合完全平方公式，直接利用完全平方公式進行分解．(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.

(1)因式分解時有公因式的要先提取公因式，再考慮是否應用公式法或其他方法繼續(xù)分解．(2)提公因式時，若括號內合并的項有公因式應再次提??；注意符號的變換y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)應用公式法因式分解時，要牢記平方差公式和完全平方式及其特點．(4)因式分解要分解到每一個多項式不能再分解為止．第3講┃歸類示例?類型之四因式分解的應用命題角度：1.利用因式分解進行計算與化簡；2.利用幾何圖形驗證因式分解公式．第3講┃歸類示例例6[2013·綿陽]圖3－1①是一個長為2m，寬為2n(m>n)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖3－1②那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是(

)A．2mnB．(m＋n)2C．(m－n)2D．m2

－n2圖3－1C第3講┃歸類示例

[解析]中間空的部分的面積是(m＋n)2－2m·2n＝(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.

(1)通過拼圖的方法可驗證平方差公式和完全平方公式，關鍵要能準確計算陰影部分的面積．(2)利用因式分解進行計算與化簡，先把要求的代數(shù)式進行因式分解，再代入已知條件計算．第3講┃歸類示例?類型之五整式的創(chuàng)新應用命題角度：1.整式的有關規(guī)律性問題；2.利用整式驗證公式或等式；3.新定義運算；第3講┃歸類示例例7[2012·寧波]用同樣大小的黑色棋子按如圖3－1所示的規(guī)律擺放：圖3—2第3講┃歸類示例(1)第5個圖形有多少顆黑色棋子？(2)第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由．

[解析](1)根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案；(2)根據(jù)(1)所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案．解：(1)第一個圖需棋子6顆，第二個圖需棋子9顆，第三個圖需棋子12顆，第四個圖需棋子15顆，第五個圖需棋子18顆，…第n個圖需棋子3(n＋1)顆．答：第5個圖形有18顆黑色棋子．(2)設第n個圖形有2013顆黑色棋子，根據(jù)(1)得3(n＋1)＝2013，解得n＝670，所以第670個圖形有2013顆黑色棋子．解決整式的規(guī)律性問題應充分發(fā)揮數(shù)形結合的作用，從分析圖形的結構入手，分析圖形結構的形成過程，從簡單到復雜，進行歸納猜想，從而獲得隱含的數(shù)學規(guī)律，并用代數(shù)式進行描述．第3講┃歸類示例第3講┃回歸教材完全平方式大變身回歸教材教材母題江蘇科技版七下P80T9已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3.求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．第3講┃回歸教材[點析]完全平方公式的一些主要變形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.在四個量a＋b，a－b，a2＋b2，ab中，知道其中任意兩個量，就能