【工程力學(xué)期末復(fù)習(xí)】必考知識(shí)點(diǎn)

二、剪切〔一〕考試大綱剪切和擠壓的有用計(jì)算；剪切面；擠壓面；抗剪強(qiáng)度；擠壓強(qiáng)度。考點(diǎn)主要內(nèi)容要求：①生疏連接件與被連接件的受力分析；②準(zhǔn)確判定剪切面與擠壓面，把握剪切與擠壓的有用計(jì)算；③準(zhǔn)確理解切應(yīng)力互等定理的意義，了解剪切胡克定律及其應(yīng)用。剪切的概念及有用計(jì)算剪切的概念PPPPFPS圖5-2-15-2-1所示。件軸線垂直的力作用。②變形特征：構(gòu)件沿內(nèi)力的分界面有發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)。③剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的面。FS剪切有用計(jì)算名義切應(yīng)力

或Q表示。假定切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的。假設(shè)As

Fs

為剪力，則名義切應(yīng)力為(5-2-1)許用切應(yīng)力

sFAFsn。剪切條件剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力(5-2-2)擠壓的概念

F sAs

①擠壓：兩構(gòu)件相互接觸的局部承壓作用。②擠壓面：兩構(gòu)件間相系接觸的面。Fb

：承壓接觸面上的總壓力。擠壓有用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力(5-2-3)

F bs Absbs式中：Abs

為名義擠壓面面積。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，則名義擠壓面面積等于實(shí)際5-2-2所示。dh2dh2hL圖5-2-2鍵的名義擠壓面面積A hLbs 2鉚釘?shù)拿x擠壓面面積為A dtbs許用擠壓應(yīng)力安全系數(shù)。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力，即FA b Absbs

bs切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律純剪切圖5-2-3剪切引起的剪應(yīng)變5-2-3圖5-2-3②剪應(yīng)變：在切應(yīng)力作用下，單元為正，反之為負(fù)。切應(yīng)力互等定理平面交線的切應(yīng)力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線〔5-2-，即剪切胡克定律當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即GG為剪切彈性模量。對(duì)各向同性材料，E、G、間只有二個(gè)獨(dú)立常數(shù)，它們之間的關(guān)系為G三、扭轉(zhuǎn)

E1〔一〕考試大綱轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)角計(jì)算及剛度條件?？键c(diǎn)主要內(nèi)容要求：①了解桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特征與變形特征；②了解傳動(dòng)軸的外力偶矩計(jì)算，把握求扭矩和作扭矩圖的方法；③把握橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力的計(jì)算；④把握?qǐng)A截面極慣性矩、抗扭截面系數(shù)計(jì)算公式。扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型5-3-1所示。MeMee圖5-3-1扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型相垂直的外力偶作用。發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。③扭轉(zhuǎn)角：桿件任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。外力偶矩的計(jì)算軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩間有如下關(guān)系：(5-3-1)(5-3-2)

Me9.55nrminMe7.02nrminN的單位為千瓦〔kW〕或公制馬力〔PS

，1PS

735.5Nms；n的單位為轉(zhuǎn)每分〔r/min，Mek·m。扭矩和扭矩圖稱(chēng)為扭矩，用T5-3-2，其值用截面法求得。②扭矩符號(hào)：扭矩T的正負(fù)號(hào)規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，當(dāng)矢量的指向與截面外向的指向全都時(shí)，扭矩為正，反之為負(fù)。③扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力分布規(guī)律5-3-3。M memMeMeeT外法線T外法線Me圖5-3-2

TMeMe

TT切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上距圓心為的任一點(diǎn)的切應(yīng)力

T IP(5-3-3)橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊各點(diǎn)處其值為max

TRTI p t

(5-3-4)切應(yīng)力計(jì)算公式的爭(zhēng)論①公式適用于線彈性范圍〔max≤圓直桿。T為所求截面上的扭矩。③稱(chēng)為極慣性矩，Ｗp

稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)，其值與截面尺寸有關(guān)。d dddDD(b)圖5.3-4d4

d3(5-3-5)

I ，W P 32 t 16〔5-3-4(b)〕(5-3-6)其中：d。D

D4I P 32

14

D3Wt 16

14圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即max

max TWT

p(5-3-7)的計(jì)算。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭轉(zhuǎn)角計(jì)算及剛度條件單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角d T(5-3-8)式中：的單位為radm扭轉(zhuǎn)角

dx GI T dxGI

PradL p(5-3-9)式中：的單位為radLＬT、G、IP均為常量，則TLGIP(5-3-10)公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿。GI 表示圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)彈性P變形的力量稱(chēng)為抗扭剛度。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件剛度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角不得超赤規(guī)定的許可值，即max

TmaxMGIMp

180

m問(wèn)題的計(jì)算?！踩忱}分析例題1：某傳動(dòng)軸，承受M 2.0KNm外力偶作用，軸材料的許用切應(yīng)力為e60MPad0.8的D，內(nèi)徑為d

，確定軸的截面尺寸，并確定其重量比。1〔A〕d51.9mm D71.9mm d1

49.52mm

G＝0.3G實(shí)〔B〕d41.9mm D61.9mm d1

39.52mm

GG實(shí)d50mm D70mm d1

56mm

G G實(shí)〔D〕d51.9mm D61.9mm d1

49.52mm

GG實(shí)〕解析：1〕橫截面為實(shí)心圓截面．設(shè)軸的直徑為d，則TTWp16

Me所以有16M316M3e162.21033 80106

51.9103

51.9mmD，得D3W p

1416

Me所以有3 16M1 e4163 16M1 e4162.210330.8480截面面積之比，利用以上計(jì)算結(jié)果得：4G A4＝＝

D2d211

61.9249.5220.54實(shí) G A 4實(shí)

52212：某傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min轉(zhuǎn)/分1P1

=5023kW234P=10kW，P=P4=20kW。23試畫(huà)軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩。假設(shè)將輪1與論3PPP1PPP1321348008008002解：(1)計(jì)算各傳動(dòng)輪傳遞的外力偶矩；PM9550 11591.7Nm M1 n 2

318.3Nm M M3 4

636.7Nm畫(huà)出軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩；1273.636.(+)1273.636.(+)(-)x318.3Tmax

1273.4kNmT(Nm)(-)

636.(+)xTmax

955kNm

636.7

955所以對(duì)軸的受力有利。例題3：圖示受扭圓桿，沿平面ABCD截取下半局部為爭(zhēng)論對(duì)象，如圖b所示。ABCD上的切向內(nèi)力所形成的力偶矩將由哪個(gè)力偶矩來(lái)平衡？ABCD上的切向內(nèi)力分布及其大小。該bABCD上切向內(nèi)力的合力偶矩平衡。解：1、計(jì)算長(zhǎng)為lABCD上切向內(nèi)力的合力偶矩。如圖c所示，在縱截面上取一微面積dAld，其上切向內(nèi)力的合力即dF ldTlds IP微剪力對(duì)z軸的微力矩為T(mén)dM dFz s

ld Ip

2ld積分得到縱截面上切向內(nèi)力對(duì)z軸的合力偶矩為M dM

2R

2ld

2TlR3

，方向豎直向上。z z 0I 3Ip p2、計(jì)算兩端橫截面切向內(nèi)力的水平重量形成的力偶矩如圖d所示，微面積dAdd上切向內(nèi)力的水平重量為dFddsin

T2sinddIp右端橫截面上剪力的水平重量為2TF2RT2sin2 R32Ts 0 0I 3Ip p左右兩個(gè)橫截面上水平剪力形成繞z軸的力偶矩為2TFls 3Ip

lR3，豎直向下。所以，截面ABCD上的切向內(nèi)力所形成的力偶矩將由左右兩個(gè)橫截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。4D=60mmd=50mm，功率P=7.46kW，n=180r/mil=40G=80GP[]=40MPa。設(shè)土壤對(duì)(2)作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)展強(qiáng)度校核；(3)A、B兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。在鉆桿上，并沿鉆桿長(zhǎng)度方向均勻分布。1M設(shè)鉆機(jī)輸出的功率完全用于抑制土壤阻力，則有Prmin

7.46180

390Nm單位長(zhǎng)度阻力矩 MT3909.75Nmml 402、作扭矩圖，進(jìn)展強(qiáng)度校核AA截面為危急截面。其上最大切應(yīng)力為T(mén) D2max 390Nm30103T D2max

max I

P 6045041012m432滿足強(qiáng)度要求。3A、B兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角AB lMdx

Txldx T lAB 0GI 0GI GI 2p p p 32390Nm40 80109Pa6045041012m420.148rad8.485：直徑d25mm的鋼圓桿，受軸向拉力60kN作用時(shí)，在標(biāo)距為200mm的0.113mmMe0.2kNm時(shí)，在標(biāo)距為200mm的長(zhǎng)度內(nèi)相對(duì)扭轉(zhuǎn)了0.732E,G和。EL

FL FL N E EA LA60103200103E 216GPa2520.113 4 109②計(jì)算切變模量Ｇ， Ml

Ml 180由公式

e radGIp

e GI p

，求得Ml 180 0.2103200103 180Ge 81.6109Pa81.6GPaIp③由公式G

E

0.732320.02544計(jì)算泊松比 E

1

216109

10.3242G 281.6109例題6：圖示圓軸，MA

1.4kNm，MB

0.6kNm，MC

0.8kNm；d40mm，d1

70mm；l1

0.2m，l2

0.4m；60MPa，1m，G80GPa；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：①計(jì)算扭矩并作扭矩圖T MBC c

0.8kNmT MAB B

0.6kNm其扭矩見(jiàn)圖。②計(jì)算切應(yīng)力和強(qiáng)度校核力發(fā)生在哪一段截面上，需分別計(jì)算兩段截面上最大切應(yīng)力值。AB段1

T 1Wt1

16MB B600

47.7MPa401033BC段T 16M 2 2 Wt2

Cd32 16800 11.9MPa(70103)3滿足強(qiáng)度要求。③剛度校核進(jìn)展剛度校核時(shí)，需計(jì)算最大單位扭轉(zhuǎn)角1

T 180 32600 1801.71/m1GI 801094041012 1P12T 180 32800 1800.24/m22 GI P2

801097041012 1.71/mmax 1此軸不滿足剛度條件。⑤計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角AB、BC段上的扭矩和截面各自不變，要分別計(jì)算兩段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，然后相加； CB 2 1

Tl 22GIP2

Tl 11GIP132 Tl Tl (22 11)G d4 d42 1 32 (8000.46000.2)

180CB 801090.245

704

404

1012 分析與爭(zhēng)論：角，然后從強(qiáng)度和剛度分別考慮，才能保證軸安全正常工作。扭轉(zhuǎn)角的正、負(fù)號(hào)，可由該段扭矩的正、負(fù)表示?？紤]。7：圖示圓截面軸，ABBCd1d2，且d1=4d2/3，材料的切變模量GM=1kNm，許用切應(yīng)力[τ]=80MPa，單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.50/m，試確定軸徑；C的轉(zhuǎn)角；d 1假設(shè)將BC段設(shè)計(jì)為空心的，內(nèi)外徑之比 ，則BC段實(shí)心與空心D 2的用材量之比為多少？AlBAlBlC解：(1)確定軸徑①考慮軸的強(qiáng)度條件；1AB 2M 1AB

21103161

80106

d 116 11M 1103161 BCBC

2

80106

d 39.9mm216 2②考慮軸的剛度條件； AB

180

210332 1800.5

d 73.5mmAB GIABT

180

80109d4 11 110332 180 BCBC GIBC

0.580109d4 2

d 61.8mm2綜合軸的強(qiáng)度和剛度條件，確定軸的直徑；d 73.5mm1d 61.8mm2d4d 31 2d 82.4mm1d 61.8mm2(2)C的轉(zhuǎn)角①畫(huà)軸的扭矩圖；2M2MM(+)x②求最大切應(yīng)力；ABmax

AB 2MTW 1T

18.22MPapAB 16 1 BC 21.59MPaBCmax

WPBC

16 2

2比較得

21.59MPamaxC截面的轉(zhuǎn)角； C AB BC

T lABGIpAB

T lBCGIpBC2Ml Ml 16.6Ml 1

1.42106radGd4G G 32 1 32 2〔3〕BC段設(shè)計(jì)為空心的，內(nèi)外徑之比d1BC段截面尺寸D 2①考慮軸的強(qiáng)度條件； M 1 BC 116

D314

8010D314

D40.8mm②考慮軸的剛度條件； TBC

180

1103

D62.83mmBC GI BC

80109D4

14 D62.83mmd31.41mmBC實(shí)心與空心的用材量之比軸的材料、長(zhǎng)度一樣，則質(zhì)量比等于軸的橫截面面積之比4Q4BC＝QBC實(shí)

D2d2d2

0.784 2分析與爭(zhēng)論：分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實(shí)心軸輕。慣性矩愈大，從而提高了軸的搞扭強(qiáng)度和剛度。求等因素。五、彎曲〔一〕考試大綱積分法、疊加法?？键c(diǎn)主要內(nèi)容要求：彎曲內(nèi)力①了解平面彎曲的概念，生疏具有縱對(duì)稱(chēng)面的梁產(chǎn)生平面彎曲的條件；②嫻熟梁內(nèi)剪力，彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定；③嫻熟把握用截面法求指定截面的剪力、彎矩；依據(jù)這些方程作圖；的正確性。彎曲應(yīng)力①了解中性軸的概念及其在截面上的位置；適用條件；〔圓形，矩形〕的軸慣性矩、抗彎截面的計(jì)算公式；生疏中性軸為截面對(duì)稱(chēng)軸或非對(duì)稱(chēng)軸時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件；④生疏常見(jiàn)截面切應(yīng)力的分布規(guī)律及切應(yīng)力計(jì)算公式；彎曲變形①生疏列出梁撓曲線近似微分方程的步驟；②用積分法求解濰的位移時(shí)，能正確寫(xiě)出梁的邊界條件和連續(xù)條件；③利用梁在簡(jiǎn)潔荷載下的變形結(jié)果，會(huì)用疊加法求梁的位移。彎曲內(nèi)力平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的根本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱(chēng)為梁。彎曲變形特征任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。平面彎曲〔外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面〔軸線彎曲后所在平面〕5-5-1所示。圖5-5-1圖5-5-1〔橫向力或外力偶都作用在此縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)。〔即橫向力必需通過(guò)橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。梁橫截面上的內(nèi)力重量——剪力與彎矩剪力與彎矩F表示。s②彎矩：梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱(chēng)為彎矩，以M表示。③剪力與彎矩的符號(hào)：考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相5-5-2(b)所示。pmAmBpmAmBFSS SFSFSMFSMRMMAMFS(a)RB圖5-5-2

(b)由截面法可知以下兩點(diǎn)。〔或右側(cè)面方向的投影代數(shù)和；且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪5-5-2(a)。F Rs i左〔右〕②橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(cè)〔或右側(cè)〕梁上全部外力對(duì)該截5-5-2(a)所示。M MCi左〔右〕剪力方程與彎矩方程方程，表示為F Fs s

x方程，表示為MMx剪力圖與彎矩圖荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用qFs

、M間的微分關(guān)系設(shè)荷載集度q(x)為截面位置x(5-5-1)

F

x

dF sdx

qxdx s(5-5-2)F

x s qx(5-5-3)

dx2 dx應(yīng)用5-5-1和式5-5-2說(shuō)明剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度，彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)截面上的剪力。由式5-5-3的幾何意義可依據(jù)M(x)對(duì)xM(x)圖的凸凹q(x)>0Mq(x)<0Mq(x)＝0M圖為直線。5-5-1可得(5-5-4)

dFxqxdxA s A

F F SB SA AB即截面B上的剪力與截面A上的剪力之差等于梁上AB間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必需無(wú)集中外力作用。5-5-2可得BdMxBFxdxA A sM M B A AB(5-5-5)AB間剪力圖的面積，但兩截面之間必需無(wú)集中力偶作用。5-5-15-5-2，依據(jù)梁上的荷載集度，判定剪力、彎矩圖5-5-45-5-5Fs

Ri左〔右〕

MCi左〔右〕確定掌握截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。特別截面上的剪力、彎矩值Fs

圖有突變，M圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向全都。Fs

M圖有突變。其突變值等于該力偶則向正方向突變，否則反之。5-5-1，以供參考。表5-5-1 幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征力的狀況向下的均布荷q無(wú)荷載集中力PC集中力偶Me向下方傾斜的剪力圖上的特 直線征 或般為或處有突變?cè)贑處無(wú)變化CPC征物線或一般為斜直線C處有尖角C處有突變或CMe截面F0的截s面在剪力變號(hào)的在緊靠C點(diǎn)的截面 某一側(cè)的截面彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)的彎曲，稱(chēng)為純彎曲。中性層與中性軸①中性層：桿件彎曲變形時(shí)既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層。②中性軸：中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。面形心，且垂直于荷載作用平面。〔關(guān)系為1M EIz為變形后中性層〔或桿軸〕的曲率半徑；EI為桿的抗彎剛度，軸z為z橫截面的中性軸。平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力zzbhhxy圖5-5-35-5-3。②計(jì)算公式：任 一 點(diǎn) 應(yīng) 力

MyI(5-5-7)最 大 應(yīng) 力(5-5-8)

max

MyIz

zMmax Wz式中：M為所求截面的彎矩；Iz截面對(duì)中性軸的慣性矩；Wz為抗彎截面系數(shù)。IW z ，它是一個(gè)只與橫截面的開(kāi)關(guān)和尺寸有關(guān)的幾何量。對(duì)于矩形截z ymaxI bh3,yz 12

max

h,W2

bh26〔5-5-4〔b〕d4 d d3I z 64

,ymax

,W 2 z 32dczdczyhzy(a)

圖5-5-4

爭(zhēng)論：①公式適用于線彈性范圍且材料在拉伸和壓縮時(shí)彈性模量相等的狀況。由于切應(yīng)力在存在，橫截面發(fā)生翹曲，但準(zhǔn)確爭(zhēng)論指出，工程實(shí)際中的梁，只要跨度與截面高度之比Lh5，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式仍適用。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：梁的最大工作正應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用正應(yīng)力，即max

W(5-5-9)到滿足。

c,min

t

c

z時(shí)，梁的拉伸與壓縮強(qiáng)度均就得彎曲切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件矩形截面梁的切應(yīng)力〔5-5-。①計(jì)算公式F* sSzF*bIz(5-5-10)Fs為橫截面上的剪力；b為橫截面的寬度；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣S*y處橫線一側(cè)的局部截面對(duì)中性軸的靜矩。z②最大切應(yīng)力：發(fā)生在中性軸處zbQzbQyhy圖5-5-5ss 3F 3Fss(5-5-11)其它常用截面圖形的最大切應(yīng)力

max 2bh 2AF工 字 形 截 F

s

S*zmax(5-5-12)式中：dIz

S*

Idz可查型鋼表。圓(5-5-13)環(huán)(5-5-14)

形 截 面 形 截 面

4Fsmax 3A1Fsmax 2A最大切應(yīng)力均發(fā)生在中性軸上。切應(yīng)力強(qiáng)度條件

F S* smax zmaxIbz(5-5-15)F

smax

S*zmax

為中性軸一邊的橫截面面積對(duì)中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸處的寬度；Iz為整個(gè)橫截