計量經(jīng)濟學-第四章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：放寬基本假定的模型

第

四

章

經(jīng)

典

單

方

程

計

量

經(jīng)

濟

學

模

型

：

放

寬

基

本

假

定

的

模

型基

本

假

定

違

背

：

不滿足基本假定的情況。主要包括：

(1)隨機誤差項序列存在異方差性；(2)隨機誤差項序列存在序列相關(guān)性；(3)解釋變量之間存在多重共線性；(4)解釋變量是隨機變量且與隨機誤差項相關(guān)(

隨

機

解

釋

變

量

)

;此外

：(5)模型設(shè)定有偏誤(6)解

釋

變

量的方

差

不隨

樣

本容

量的增

而收

斂計量經(jīng)濟檢驗：

對模型基本假定的檢驗本章主要學習：前4類一

、異

方

差

的概

念二

、異方差的類型三、

實際經(jīng)濟問題中的異方差性四

、

異方差

性的后果五

、

異方差

性的檢

驗六、異方差的修正七

、

案

例§4.1

異

方

差

性對于模型Y;=β?+β?X;+β?X?i++βX+μ;如

果

出現(xiàn)Var(μ;)=o;2即對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再

是常數(shù)，而互不相同，則認為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。一

、異

方

差

的概

念同方差性假定：σ2=常數(shù)≠f(X;)

異

方

差時

：

σ;2=f(X;)異方差一般可歸結(jié)為三種類型：σ;2隨X的增大而增大

o2隨X的增大而減小σ;2與X的變化呈復雜形式二、異方差的類型(1)單調(diào)遞增型：

(2)單調(diào)遞減型：

(3)復

雜

型

：遞

增

方

差X遞

減

方

差同

方

差氛

雜

型X例4.1.1:截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為Y;=β?+β?X;+μ;Y;:第i個家庭的儲蓄額

X;:第i個家庭的可支配收入高收入家庭：

儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小

μ?的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化三

、實際經(jīng)濟問題中的異方差性例4.1,2,以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面

數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費函數(shù)：Ci=β?+β?Y;+μ?將居民按照收入等距離分成n組，

取組平均數(shù)為樣

本

觀

測

值

。一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入

組人數(shù)多，

兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均

數(shù)的誤差

小，人

數(shù)

少的

組

平

均

數(shù)的

誤

差

大

。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值

的不同而不同，往往引起異方差性。例4.1.3,

以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)

函

數(shù)模

型Y;=A?β1K;β2L;β3eui被解

釋

變

量：產(chǎn)出量Y解釋變量：

資本K、勞動L

、技術(shù)A

,那么:

每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被

包含

在

隨

機

誤

差

項中

。每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不

同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時

，

隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量

觀測值的

變

化

而

呈

規(guī)

律

性

變

化，

呈現(xiàn)復雜

型

。因為在有效性證明中利用了E(μμ?)=o2I一

，，

數(shù)估計量具有性參漸近有下，盡不具本情但仍在大致性而且計量經(jīng)

濟

學

模型

一

旦出

現(xiàn)

異

方

差

性，如果

仍

采

用OLS估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果：四、

異方差性的后果1、參數(shù)估計量非有效OLS估計量仍然具有無偏性，但不具有有效性。它是建立在σ2不變而正確估計了參數(shù)方差

的基礎(chǔ)之上的。如果出現(xiàn)了異方差性，估計的S出

現(xiàn)

偏

誤

(偏大或偏小),

t檢驗失去意義。其

他

檢

驗也

是

如

此

。2、變量的

顯著性檢驗失去意義變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t

統(tǒng)計量一方面

，

由

于

上

述

后

果

，

使

得

模

型

不

具

有良好的統(tǒng)計

性質(zhì)

；另一方面，在預測值的置信區(qū)間中也

包含有參數(shù)方差的估計量S

會。所

以

，

當模型出現(xiàn)異方差性

時

，參數(shù)OLS

估計值的變異程

度

增大，

從而造成對Y

的

預

測

誤差變大，降低預測精度，

預測功能失效。3、模型的

預測失效●

檢

驗

思

路

：由

于異方差性就是相對于不同的解釋變量

觀測值，

隨機誤差項具有

不同的方差。那么:檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的

方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相

關(guān)的“形式”。五、

異方差性的檢驗問題在于用什么來表示隨機誤差項的方差一般的處理方法：首先采用OLS

法估計模型，

以求得隨機誤差項的估計量(注意，該估計量是不嚴格的),我們稱之為“近

似估計量”,用ē,表示。于是有Var(μ?)=E(μ2)≈E2ē;=y;-(y;)os即用e2

來表示隨機誤差項的方差。幾

種

異

方

差

的

檢

驗

方

法

：1、

圖

示

法(

1

)

用X-Y

的

散

點

圖

進

行

判

斷看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復雜型

趨

勢

(即不在

一

個固定的帶型域中)(2)X-e2的散點圖進行判斷看是否形成一斜率為零的直線復雜型異方差遞減異方差基

本

思

想

：

或

le;l=f(Xj)+?;選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對方程進

行估計并進行顯著性檢驗，

如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異

方

差

性

。如：

帕克檢驗常用的函數(shù)形式：f(Xj)=σ2Xe+

或ln(e2)=1no2+alnX,+?;若α在統(tǒng)計上是顯著的，表明存在異方差性。;：;)方X立?償2、

帕克(Park)

檢驗與戈里瑟(Gleiser)檢驗G-Q檢驗以F檢驗為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、

異方差遞增或遞減的情況。G-Q

檢

驗

的

思

想

：先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計量進行異方差檢驗。由于該統(tǒng)計量服從F

分布

，

因此假如

存

在

遞

增

的異方差，則F遠大于1;反之就會等于1(同方

差)

、

或

小

于

1

(

遞

減

方

差

)。3、

戈德菲爾

德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗G-Q檢驗的步驟：①將n對樣本觀察值(X;,Y;)按觀察值X;的大小排

隊②將序列中間的c=n/4個觀察值除去，

并將剩

下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個

子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2③對每個子樣分別進行OLS回歸，并計算各自

的殘差平方和分別用Ze

與

Ze2

表示較小與較大的殘差

平方和(自由度均為

⑤給定顯著

性

水

平

α

,

確

定臨

界

值Fg(v?,v?),若F>Fα(v?,v?),

則拒絕同方差性假設(shè)，表明存

在異

方

差

。當然，還

可

根

據(jù)

兩

個

殘

差

平

方

和

對

應(yīng)的子

樣的順

序判

斷

是

遞

增

型

異

方

差

還

是

遞

減

異

型

方

差

。④在同方差性

假

定

下，構(gòu)

造

如

下

滿

足F

分布

的

統(tǒng)

計

量先對該模型作OLS

回歸，得到

e2然后做如下輔助回歸e2=a?+a?Xi+Q?X?+Q?Xì+Q?X2+QsX?X?+E;可以證明，在同方差假設(shè)下：nR2=x2(h)R2為(*)的可決系數(shù)，

h為(*)式解釋變量的個數(shù)，二

表示漸近服從某分布。懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差

懷特檢驗的基本思想與步驟

(以二元為例):3、

懷

特

(

White)

檢

驗Y?=β?+β?X?+β?X?;+μ;(*)注意：輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的

顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋

變

量的更高

次

方

。如果存在異方差性，

則表明確與解釋變量的

某種組合有顯著的相關(guān)性，

這時往往顯示出有

較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗值較大。當然，在多元回歸中，

由于輔助回歸方程中

可能有太多解釋變量，

從而使

自

由度減少，有

時

可去

掉

交

叉

項

。模型檢驗出存在異方差性，可用加

權(quán)

最

小

二

乘

法(Weighted

Least

Squares,WLS)

進行估計。加權(quán)最小二乘法的基本思想：加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，

使之變成一

個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計

其參

數(shù)

。ZWe2=ZW[X?-(β?+β;X?+

…+β,X)]2在采用OLS方法時：對較小的殘差平方e;?賦予較大的權(quán)數(shù)，對較大的殘差平方e;2賦予較小的權(quán)數(shù)。六

、

異

方

差

的

修

正例如

，

如果對一多元模型，

經(jīng)檢驗知：Var(μ?)=E(μ?)2=c2=f(Xj?)c2可以用

√f(x)

去除該模型，得即滿足同方差性，可用OLS

法估計。新模型中

，存在一

般

情

況

下

：對于模型Y=Xβ+μE(μ)=0Cov(μ)=E(μμ)=σ2即

存

在異

方

差

性。存

在WW

是

一

對

稱

正

定

矩

陣

，

存

在

一

可

逆

矩

陣D

使

得W=DD’用

D-1左

乘

Y=Xβ+μ兩邊，得到一個新的模型：D-1Y=D-1Xβ+D-1μY=X

β+μ該模型具有同方差性。因為E(μ,μ

。)=E(D-μμ/D1)=D-E(uμ)D-

1=D-1o2ΩD-1=D-1o2DD'D'-1=o2I用

OLS法估計新模型，記參數(shù)估計量為B.,則β

。=(X^X*)-1X^Y*=(X'D-1D-|X)-1xD-1D-ly=(X(W-|X)-1xW-1Y這就是原模型

Y=Xβ+μ的加權(quán)最小二乘估計量，是無偏、有效的估計量。這里權(quán)矩陣為D-1,它來自于原模型殘差項μ的

方差

-

協(xié)

方

差

矩

陣σ2

W。如何得到σ2w

?從前面的推導過程

看，它來

自于原

模型

殘

差項

μ

的方

差

-

協(xié)

方

差

矩陣。因此仍對原模型進行OLS

估計

，得到

隨機誤差項

的

近似估計量ě,

以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計量，

即這時可直接以

D-1=diag{1/le

l,1/le?

l,…,1/lē,作為

權(quán)

矩陣

。注

意

：在實際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗

方

法

：不對

原

模型

進

行

異

方

差

性

檢

驗，

而

是

直

接

選擇

加

權(quán)最

小

二

乘

法，

尤

其

是

采

用

截

面

數(shù)

據(jù)作

樣

本

時

。如果

確實

存

在

異

方

差，

則

被

有

效

地

消除了；如果不

存

在

異

方

差

性，

則

加

權(quán)

最

小

二

乘

法

等價

于

普

通

最

小

二

乘

法例4.1.4

中國農(nóng)村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定

。農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入(3)工資性收入、

(4)財產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入。考察從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入(X?)

和其他收入(X?)

對中國農(nóng)村居民消費支出(Y)

增長的影響：InY=β

。+β?lnX?+β?ln

X?+μ七

、

案

例

-

-

中

國

農(nóng)

村

居

民

人

均

消

費

函

數(shù)地區(qū)人均消費支出Y從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的

收

入X?其他收入X?地區(qū)人均消費支出Y從

事

農(nóng)

業(yè)

經(jīng)

營

其

他

收

入

的

收

入X?

X?北

京3552.1579.14446.

4湖北2703.361242.92526.9天

津2050.91314.62633.湖南1550.621068.8875.6河

北1429.8928.81674.8廣東1357.431386.7839.8山

西1221.6609.81346.2廣西1475.16883.21088.0內(nèi)蒙古1554.61492.8480.5海南1497.52919.31067.7遼

寧1786.31254.31303.6重慶1098.39764.0647.8吉

林1661.71634.6547.6四川1336.25889.4644.3黑龍江1604.51684.1596.2貴州1123.71589.6814.4上

海4753.2652.55218.

4云南1331.03614.8876.0江

蘇2374.71177.62607.2西藏1127.37621.6887.0浙

江3479.2985.83596.

6陜西1330.45803.8753.5安

徽1412.41013.11006.

9甘肅1388.79859.6963.4福

建2503.11053.02327.青海1350.231300.1410.3江

西1720.01027.81203.8寧夏2703.361242.92526.9山

東1905.01293.01511.6新疆1550.621068.8875.6河

南1375.6108381014.表4.1.1

中國2001年各地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入與消費支出相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：元)ln=1.655+0.3166

ln

X,+0.5084

ln

X,(1.87)

(3.02)

(10.04)R2=0.7831

R2=0.7676DW=1.89

F=50.53RSS=0.8232普通

最

小

二

乘

法的

估

計

結(jié)

果

：異

方

差

檢

驗OLS回歸的

殘差平方項

ê2

與

lnX?的散點圖進

一

步

的

統(tǒng)

計

檢

驗(1)G-Q檢驗將原始數(shù)據(jù)按X?排成升序，去掉中間的7個數(shù)據(jù)，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平

方和RSS?和RSS?:子樣本1:

lnF=4.061+0.3431nX?+0.119lnX?(3.18)(4.13)

(0.94)R2=0.7068,

RSS?=0.0648子樣本2:

InF=0.791+0.138lnX?+0.776lnX?(0.43)(0.73)

(6.53)R2=0.8339,

RSS?=0.2729計算F統(tǒng)計量：F=RSS?/RSS?=0.2792/0.0648=4.31查

表給定α=5%,查得臨界值Foos(9,9)=2.97判

斷F>Fo.os(9,9)否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，

從而該總體隨

機項存在遞增異方差性。(

2

)

懷

特

檢

驗作

輔

助回

歸

：ê2=-0.17+0.1021nX?+0.015(lnX?)2-0.0551nX?+0.026(InX?)2(-0.04)(0.10)

(0.21)

(-0.12)

(1.47)-0.0431n

X,ln

X?(-1.11)R2=0.4638似乎沒有哪個參數(shù)的t檢驗是顯著的。但nR2=31*0.4638=14.38α=5%下，臨界值x2oos(5)=11.07,

拒

絕同方差性去掉交叉項后的輔助回歸結(jié)果e2=3.842-0.570lnX?+0.042(lnX?)2-0.5391nX?+0.039(In

X?)2

(1.36)(-0.64)

(064)

(-2.76)

(2.90)R2=0.4374X?

項

與X?的平方項的參數(shù)的t檢驗是顯著的，且nR2=31×0.4374=13.56α=5%下，臨界值x2o.os(4)=9.49拒絕同方差的原假設(shè)對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近

似估計量ě,以此構(gòu)成權(quán)矩陣σ2W

的估計量；再以1/lèl為權(quán)重進行WLS

估計，得lnF=1.497+0.319InX,+0.527lnX?(5.12)

(5.94)

(28.94)R2=0.9999R2=0.9999DW=2.49F=924432RSS=0.0706各項統(tǒng)計檢驗指標全面改善原模型的加權(quán)最小二乘回歸§4.2

序列

相

關(guān)

性SerialCorrelation§4.2

序列相關(guān)

性一、序列相關(guān)性概念二、

實際經(jīng)濟問題中的序列相關(guān)性三、序列相關(guān)性的后果四、序列相關(guān)性的檢驗五、具有序列相關(guān)性模型的估計六、案例對于模型Y;=β+β?X?+B?X??+

…+βXki+i=1,2,...,n隨機項互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為Cov(μ;,μ;)=0

i≠j,ij=1,2,…,n如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，則認為出現(xiàn)了序列相關(guān)性。一、序列相關(guān)性概念在

其

他

假

設(shè)

仍

成

立的

條

件下，

序

列

相

關(guān)即

意

味

著E(μ;μ;)≠02=O或T2IΩ如果僅存在E(μ;μ+i)≠0

i=1,2,...,n稱為一階列相關(guān)，或自相關(guān)(autocorrelation

)

自相關(guān)往往可寫成如下形式：L=Pμj-1+Ei

-1<pk1其中：

p

被稱為自協(xié)方差系數(shù)(

coefficient

ofautocovariance)

或一階自相關(guān)系數(shù)(

first-order

coefficientofautocorrelation)ε是滿足以下標準的OLS假定的隨機干擾項：E(E;)=0,

var(ε?)=o2,

cov(E;,E-)=0S≠0由于序列相關(guān)性經(jīng)常出現(xiàn)在以時間序列為樣本的模型

中，因此，本節(jié)將用下標t代表i。大多數(shù)經(jīng)濟時間數(shù)據(jù)都有一個明顯的特點：慣

性，表現(xiàn)在時間序列不同時間的前后關(guān)聯(lián)上。例如，

絕對收入假設(shè)下居民總消費函數(shù)模型：C=βo+β?Y+μ

t=1,2,...,n由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則

可能出現(xiàn)序列相關(guān)性(往往是正相關(guān))。二、

實際經(jīng)濟問題中的序列相關(guān)性1、經(jīng)濟變量固有的慣性2、模型設(shè)定的偏誤

所謂模型設(shè)定偏誤

(Specification

error)是指

所設(shè)定的模型“不正確”。主要表現(xiàn)在模型中丟掉了

重要的解

釋

變

量

或

模

型

函

數(shù)

形

式

有

偏

誤

。例如，本來應(yīng)該估計的模型為Y?=βo+β?X?+β?X?t+β?X?t+μ?但在模型設(shè)定中做了下述回歸：Y=βo+β?X?+β?X?t+V?因

此

，

v=β?X?t+μ,如果X?確實影響Y,則出現(xiàn)

序

列

相

關(guān)

。又如：如果真實的邊際成本回歸模型應(yīng)為：Y=β?+β?X+β?X2+μ?其中：

Y=邊際成本，X=產(chǎn)出，但建模時設(shè)立了如下模型：Y=βo+β?X+vt因此，由于v=β?X?2+μ,包含了產(chǎn)出的平方對隨

機項的系統(tǒng)性影響，隨機項也呈現(xiàn)序列相關(guān)性。在實際經(jīng)濟問題中，有些數(shù)據(jù)是通過已知數(shù)據(jù)

生成的。因此，新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的

聯(lián)系，表現(xiàn)出序列相關(guān)性。例如：季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這

種平均的計算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動性，從而使

隨機干擾項出現(xiàn)序列相關(guān)。還有就是兩個時間點之間的“內(nèi)插”技術(shù)往往導

致隨機項的序列相關(guān)性。

3、數(shù)據(jù)的“編造”

因為，在有效性證明中利用了E(NN’)=o2I即同方差性和互相獨立性條件。而且，在大

樣

本

情

況

下，

參

數(shù)

估

計

量雖

然

具

有一致性，但仍然不具有漸近有效性。計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)序列相關(guān)性，如果仍

采用OLS法估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果：二、序列相關(guān)性的后果1、參數(shù)估計量非有效在

變

量

的

顯

著

性

檢

驗

中

，

統(tǒng)

計

量

是

建

立

在

參數(shù)

方

差

正

確

估

計

基

礎(chǔ)

之

上

的

，

這

只

有

當

隨

機

誤

差

項

具

有

同

方

差

性

和

互

相

獨

立

性

時

才

能

成

立

。如果存在序列相關(guān)，估計的參數(shù)方差

S出現(xiàn)偏

誤

(

偏

大

或

偏

小

)

,

t檢驗就失去意義。其

他

檢

驗

也

是

如

此

。2、

變量的顯著性檢驗失去意義區(qū)

間

預

測

與

參

數(shù)

估

計

量

的

方

差

有

關(guān)

，

在方

差

有

偏

誤

的

情

況

下

，

使

得

預

測

估

計

不

準

確

，

預

測

精

度

降

低

。所以，

當模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時，它的

預測功能失效。3、模型的預測失效三

、序列相關(guān)性的檢驗序列相關(guān)性檢驗方法有多種，

但基本思路相同：首先，采用

OLS法估計模型，以求得隨機誤差項的“近似估計量”,

用ē;表示：?,=Y

-(Y)os然

后

，通過分析這些“近似估計量”之間的相關(guān)

性，

以判斷隨機誤差項是否具有序列相關(guān)性。三、序

列相關(guān)

性的檢驗基

本

思

路

：1、

圖

示

法用e;的變化圖形來判斷μ?

的序列相關(guān)性：相

關(guān)(

負

自

相

關(guān)

)關(guān)

(

正

自

相

關(guān)

)正序列相負序列以，為被解釋變量，以各種可能的相關(guān)量，諸如以e,-1、

ē,_2

、e,2等為解釋變量，建立各種方程：e,=pē-i+E,e,=P?e-?+P?e?-2+E;如果存在某一種函數(shù)形式，

使得方程顯著成

立，則說明原模型存在序列相關(guān)性?；貧w檢驗法的優(yōu)點是：

(1)能夠確定序列相關(guān)的形式，

(2)適用于任何類型序列相關(guān)性問

題的檢

驗

。

2、回歸檢驗法

3、

杜

賓-

瓦

森

(Durbin-Watson)檢

驗

法D-W檢

驗

是

杜

賓

(J.Durbin

)和瓦

森

(G.S.Watson)于1

951

年

提出的一

種

檢

驗

序列自

相關(guān)的

方法，

該方法的假定條件是：(1)

解

釋

變

量X非隨

機

；(2)隨機誤差項μ;為一階自回歸形式：μ?=pμi-1+Ei(3)回歸模型中不應(yīng)含有滯后應(yīng)變量作為解釋變

量，

即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式：Y;=βo+β?X?+…βXk+γY?-?+μ;(4)回歸含有截距項該統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X

值有復雜

的關(guān)系，因此其精確的分布很難得到。但是，他

們成功地導出了臨界值的下限d?和釋

變

量的

個

數(shù)k有

關(guān)，

而

與

解

釋

變

量X的

取

值

無關(guān)

。杜賓和瓦森針對原假設(shè)：

H?:p=0,

階自回歸，構(gòu)如下造統(tǒng)計量：上限d,且這些上下限只與樣本的容量n和解D.W.統(tǒng)

計

量

：即不存在一(

1

)

計

算DW

值(2)給定

α,

由

n和

k

的大小查DW分布表

，得臨

界值d

和

du

(3

)

比

較

、

判

斷存在正

自相關(guān)不

能確

定無

自

相

關(guān)不

能

確

定存在負

自相關(guān)若

0<D.W.<dLd?<D.W.<dudu

<D.W.<4—du4—du<D.W.<4—d?自

相

關(guān)2負相關(guān)不能確定D.W

檢驗

步

驟

：不能確定精關(guān)4—d?<D.W.<4O

d?

du無當

D.W.值在2左右時，

模型

不

存

在

一

階自相關(guān)

。證

明

：展

開D.W.

統(tǒng)計

量

：(*)致相等，則

(*)可以簡化為：當n

較大時，這里，

為

一

階自回

歸

模

型μ;=Pμ;-1+E;的參數(shù)估計

。如

果

存

在

完

全

一

階

正

相

關(guān)，

即p=1,完

全

一階

負

相

關(guān)

，即

p=-1,

完

全

不

相

關(guān)

，

即

p=0,D.W.≈0D.W.≈4

D.W.≈2則則

則拉格朗日乘數(shù)檢驗克服了DW

檢驗的缺陷，適合

于高階序列相關(guān)以及模型中存在滯后被解釋變量

的

情

形。它是由布勞殊(

Breusch)

與戈弗雷(Godfrey)

于1978年提出的，也被稱為GB檢驗。對于模型Y;=β?+β?X?+β?X?;+…+βX+μ;如果懷疑隨機擾動項存在p階序列相關(guān)：μ?=P?H-i+P?H?-2·+PpH?-p+∈t4、拉格

朗日乘數(shù)

(

Lagrange

multiplier)檢驗GB檢驗可用來檢驗如下受約束回歸方程Y,=β?+β?Xu+…+βXu+P?μ-+…+PpL-p+∈;約

束

條

件為

：H?:

P?=p?=…=pp=0約束條件H?為真時，大樣本下LM=(n-p)R2~x2(p)其中，

n

為樣本容量，

R2為如下輔助回歸的可決系數(shù)：e,=β?+β?Xi+…+βXμ+H,-?+…+Ppe,-p+E,給定α,查臨界值xa2(p),與LM

值比較，做出判斷，實際

檢

驗中，可

從1

階、

2

階

、

.

.

逐

次向

更

高

階

檢

驗

。如果

模

型

被

檢

驗

證明

存

在

序列

相

關(guān)

性

，

則需

要

發(fā)

展

新的

方

法

估

計

模型

。最常用的方法是廣義最小二乘法(

GLS:

Generalized

least

squares)

和廣義差分法

(Generalized

Difference)。四

、

序

列

相

關(guān)

的

補

救Ω是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D

,

使得2=DD對于模型Y=Xβ+μ如果存在序列相關(guān)，

同時存1、廣義最小二乘法干

異

方

差

，

即

有該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性：E(LL)=E(D-'μμ'D1)=D-'E(μμ)D-'=D-1σ2QD-1=D-1g2DDD-=G2I(*)式的OLS估計：β.=(X/X)1X:Y。=(X(D-D-X)-XD-1D-ly=(X'&-|X)-'X'Q'Y變換原模型

：即

D-

這就是原模型的廣義最小二乘估計量(GLS是無偏的、有效的估計量。estimators),(*)如

何

得到

矩

陣

Ω

?對Ω的形式進行特殊設(shè)定后，才可得到其估計值。如設(shè)定隨機擾動項為

一

階序列相關(guān)形式則廣義

差

分

法是將原模型

變換

為

滿足OLS

法

的

差分模型，再

進

行OLS估

計。如果原模

型Y;=β?+β?X?+β?X?;+…+βX+μ;存

在L?=P?H-1+P?L-2+…+P?L?-i+∈;可以將原

模

型

變

換

為

：Y,-p?Y-?-…-p,Y-,=β?(1-p?-…-P)+β(X-p?Xu-1-…-P,Xn-)+

…+β(Xa-P?X-1-…-P,X-i)+E;該模型

為

廣

義

差

分

模

型，不

存

在

序

列

相

關(guān)問

題

。

可進

行OLS

估計。2、廣

義

差

分

法注

意

：●廣義差分法就是上述廣義最

小

二

乘

法

，但是卻損失了部分樣本觀測值

。如：一階

序

列

相

關(guān)的

情

況

下，

廣

義

差

分

是

估

計Y,-pY,_,=β?(1-p)+β(X?-pX,-)+…+β(X-PX-)+Et=2,3,…,n去掉第

一

行

后

左

乘

原

模

型Y=X

但第

一

次

觀

測

值

被

排除了

。β+|

μ

。即

運

用了GLS

法

，這相

當

于應(yīng)用廣義最小二乘法或廣義差分法，必須已知隨

機誤差項的相關(guān)系數(shù)p?,Pz,…,pt

。實際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必

須首先對它們進行估計。常

用

的

估

計

方

法

有

：·科克倫-奧科特(Cochrane-Orcutt)迭代法?！?/p>

杜

賓

(durbin)

兩

步

法3、

隨機誤差項相關(guān)系數(shù)的估計(

1

)

科

克

倫

-

奧

科

特

迭

代

法

。以一元線性模型為例：首先，采用OLS法估計原模型Y;=β?+β?X;+μ;得到的μ的“近似估計值”,并以之作為觀測值使用OLS法估計下式Li=P?μi-1+P?ui-2+...P?H?-L+E得到?,

p?,….p,,作

為隨

機

誤

差

項的

相

關(guān)

系數(shù)

p,p?,…,p,的第

一

次

估

計

值。求出μ,新的“近擬估計值”,

并以之作為樣本觀測

值，再次估計Li=P?Hi-1+P?Hi-2+...Prui-L+Ei得到p?:p,,…p

的第

次估計值貪戶，…

貪其次，將P,p…,

代入

廣

義差分模型Y-p?Y-…-p?Y-,=β?1-p,-…-p)+β?(X;-p,X--…-p,X-)+E進行OLS

估計，得到B,B再次，將，β?代回原模型i=1+l,2+l,…,nY;-βo+β?X;+類似地，

可進行第三次、第四次迭代。關(guān)于迭代的次數(shù)，可根據(jù)具體的問題來定。一般是事先給出一個精度，當相鄰兩次p?,p?,.,p的

估

計

值

之

差

小

于

這

一

精

度

時

，

迭

代

終止

，實踐中，有

時

只

要

迭

代

兩

次，

就

可

得

到

較

滿

意

的結(jié)果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法

。(

2)

杜

賓

(durbin)

兩

步

法該方法仍是先估計P,p?,…p,

再

對

差

分模型

進

行

估

計第

一

步，變換差分模型為

下

列形式Y(jié);=p?Y_?+…+p,Y-+β?1-p.-…-p,)+β?(X;-p?X--…-p,X-)+E;

i=1+l,2+l,…,n進行OLS估計，得各Y;(j=i-1,i-2,…,i-1)前的系數(shù)p,,p?,…p

的估計值·p,P…,p第二步，將估計的p,p?.….p,代入差分模型Y?-p?Y

.-

…-p,Y-=β?(1-p?-…-P?)+β(X,-P?X--…-P,X-)+Ei=1+1,2+l,…,n采

用

OLS法

估

計，

得

到

參

數(shù)β?(1

-

p?-…-p,),β?的估計量，記為

，β。于

是：B

。=β。/(1-p?-…-p,),β?=β;●

應(yīng)用軟件中的廣義差分法在Eview/TSP軟件包下，廣義差分采用了科克倫-奧

科

特

(Cochrane-Orcutt)

迭

代法估計p。在解釋變量中引入AR(

1)

、AR(2)

、…,

即可得

到參數(shù)和

p?

、Pz

、

…的估計值。其中AR(m)

表示隨機誤差項的m

階自回歸。在估

計過程中自動完成了

p

、p2

、…

的迭代。注意：·如果能夠找到一種方法，求得Q或各序列相關(guān)

系數(shù)p;的估計量，使得GLS能夠?qū)崿F(xiàn)，則稱為

可行的廣義最小二乘法(FGLS,FeasibleGeneralized

Least

Squares)

。·FGLS

估計量，也稱為可行的廣義最小二乘估計

量

(feasible

general

least

squares

estimators)·

可行的廣義最小二乘估計量不再是無偏的，但

卻是一致的，而且在科克倫-奧科特迭代法下，

估計量也具有漸近有效性。●

前

面

提

出

的

方

法

，

就

是FGL

S由

于

隨

機

項

的

序

列

相

關(guān)

往

往

是

在

模

型

設(shè)

定中遺漏了重要的解釋變量或?qū)δＰ偷暮瘮?shù)形式設(shè)定有誤，這種情形可稱為虛假序

列相關(guān)(false

autocorrelation)

,

應(yīng)在模型

設(shè)

定

中

排

除

。避

免

產(chǎn)

生

虛

假

序

列

相

關(guān)

性

的

措

施

是

在

開始

時

建

立

一

個

“

一

般

”

的

模

型

，

然

后

逐

漸

剔

除確實不顯著的變量。4、虛假序列相關(guān)問題經(jīng)濟理論指出，

商品進口主要由進口國的經(jīng)

濟發(fā)展水平，以及商品進口價格指數(shù)與國內(nèi)價格

指數(shù)對比因素決定的。由于無法取得中國商品進口價格指數(shù)，我們

主要研究中國商品進口與國內(nèi)生產(chǎn)總值的關(guān)系。(

下

表

)

。五

、

案例

：

中

國

商

品

進

口

模

型資料來源：《中國統(tǒng)計年鑒》(1995、2000、2002)。國內(nèi)

生

產(chǎn)

總

值商品進口國內(nèi)生產(chǎn)總值商品進口GDPMGDPM(億

元)(

億

美

元

)(

億

元

)(

億

美

元

)19783624.1108.9199018547.9533.519794038.2156.7199121617.8637.919804517.8200.2199226638.1805.919814862.4220.2199334634.41039.619825294.7192.9199446759.41156.119835934.5213.9199558478.11320.819847171.0274.1199667884.61388.319858964.4422.5199774462.61423.7198610202.2429.1199878345.21402.4198711962.5432.1199982067.461657198814928.3552.7200089442.22250.9198916909.2591.4200195933.32436.1表4.2.1

1978~2001年中國商品進口與國內(nèi)生產(chǎn)總值M,=152.91+0.02GDP,(2.32)

(20.12)R2=0.948

R2=0.946SE=154.9DW=0.6281.通過OLS法建立如下中國商品進口方程：2.進行序列相關(guān)性檢驗?！?/p>

DW

檢

驗取α=5%

,由于n=24,k=2

(包含常數(shù)項),查表得：d?=1.27,

d?=1.45由

于

DW=0.628<d

,,

故：

存在正自相關(guān)。拉格朗日乘數(shù)檢驗2

階

滯

后

：

?,=6.593-0.0003GDP,+1.094?,?

-0.786e,,(0.23)

(-0.50)(6.23)

(-3.69)R2=0.6614于是，LM=22×0.6614=14.55取α=5%,

x2分布的臨界值x2o.os(2)=5.991LM>x2o.os(2)故：

存在正自相關(guān)3

階

滯

后

：e,=6.692-0.0003GDP+1.108e-1-0.819e-2+0.032E,-3(0.22)

(-0.497)

(4.541)

(-1.842)

(0.087)R2=0.6615于是，LM=21×0.6614=13.89取α=5%,

x2分布的臨界值x2oos(3)=7.815LM>x2o.os(3)表明：存在正自相關(guān)；但ět-3的參數(shù)不顯著,說明不存在3階序列相關(guān)性。(1)采用杜賓兩步法估計p第一

步，估

計

模型M,=β?+P?M,-?+P?M,-2+β?GDP,+β?GDP,-?+β?GDP,-2+E,M,=78.09+0.938M-0.469M,-2+0.055GDP-0.096GDP+0.054GDP?(1.76)

(6.64)(-1.76)

(5.88)(-5.19)

(5.30)R2=0.9913.R2=0.9886

、D.W.=2.31第二

步，

作

差

分

變

換

：M,=M,-(0.938M,--0.469M,-2)GDP;=GDP,-(0.938GDP_,-0.469GDP-2)3、運用

廣

義

差

分法

進

行自

相

關(guān)

的

處

理則M*關(guān)

于GDP*的

OLS

估

計

結(jié)

果

為

：M,=86.18+0.020GDP(2.76)(16.46)R2=0.9313

R2=0.9279

D.W.=1.583取α=5%,

DW>d,=1.43

(樣本容量24

-

2=22)表明：

已

不

存

在自

相

關(guān)為了

與OLS估

計

結(jié)

果

對比

，

計

算

房

：β?=β1(I-p-p?)=86.18/(1-0.938+0.469)=162.30于

是

原

模

型

為

：,=162.30+0.020GDP,與OLS

估計結(jié)果的差別只在截距項：

M,=152.91+0.02GDP,(2)采用科克倫-奧科特迭代法估計p在Eviews軟包下，2階廣義差分的結(jié)果為：M,=169.32+0.020GDP,+1.108AR[1]-0.801AR[2](3.81)

(18.45)

(6.11)

(-3.61)R2=0.982

R2=0.979D.W.=1.85取α=5%

,DW>d?=1.66

(樣本容量：22)表明：廣義差分模型已不存在序列相關(guān)性?？梢则炞C：僅采用1階廣義差分，變換后的模

型仍存在1階自相關(guān)性；采用3階廣義差分，變換后的模型不再有自相

關(guān)性，但AR[3]的系數(shù)的t值不顯著。§4.3

多重共線性Multi-Collinearity§4.3多重共線性·

一

、

多重共線性的概念·

二、實際經(jīng)濟問題中的多重共線性·

三、多重共線性的后果·四、多重共線性的檢驗·

五、克服多重共線性的方法

·

六

、

案

例·

*七、分部回歸與多重共線性對

于模

型Y;=β?+β?X?+β?X?+…+BXki+μ?i=1,2,...,n其基本

假

設(shè)

之

一

是

解

釋

變

量

是

互

相

獨

立的

。如

果

某

兩

個

或

多

個

解

釋

變

量

之

間

出

現(xiàn)

了

相

關(guān)性，則稱為多重共線性(Multicollinearity)。一、多重共線性的概念其中：

c;不全為0,則稱為解釋變量間存在完全共線

性(perfect

multicollinearity)。如

果

存

在c?X?+c?X??+…+ckXk+v=0

i=1,2,...,n其中c;不全為0,

v;為隨機誤差項，則稱為近似共線

性

(approximate

multicollinearity)或

交互相關(guān)

(intercorrelated)。如果存在c?X?+c?X??+…+c?Xki=0i=1,2,...,n中，至少有一列向量可由其他列向量

(不包括第

一列)線性表

出。如

：X?=λX?,則

X?對Y

的

作

用

可由X?代

替。在矩陣

表

示的線性回歸

模型Y=Xβ+μ中，完全

共

線

性

指：秩

(X)<k+1,即注

意

：完

全

共

線

性

的

情

況

并

不

多

見

，

一

般

出

現(xiàn)

的是在一定程度上的共線性，

即近似共線

性

。一般地，產(chǎn)生多重共線性的主要原因有以下三個

方

面

：(1)經(jīng)濟變量相關(guān)的共同趨勢時間序列樣本：經(jīng)濟繁榮時期，各基本經(jīng)濟

變量(收入、消費、投資、價格)都趨于增長；

衰退時期，又同時趨于下降。橫截面數(shù)據(jù)：生產(chǎn)函數(shù)中，資本投入與勞動

力投入往往出現(xiàn)高度相關(guān)情況，大企業(yè)二者都

大，小企

業(yè)

都

小

。二、

實際經(jīng)濟問題中的多重共線性(

2

)

滯

后

變

量

的

引

入在經(jīng)濟計量模型中，往往需要引入滯

后經(jīng)濟變量來反映真實的經(jīng)濟關(guān)系。例如，消費=f(當期收入，前期收入)顯然，兩期收入間有較強的線性相關(guān)性。(

3

)

樣

本

資

料

的

限

制由于完全符合理論模型所要求的樣本數(shù)據(jù)較難

收集，特定樣本可能存在某種程度的多重共線性。一

般經(jīng)

驗

：時間序列數(shù)據(jù)樣本：簡單線性模型，往往存在多

重

共

線

性

。截面數(shù)據(jù)樣本：問題不那么嚴重，但多重共線性仍

然

是

存

在的

。β=(X'X)-1X'Y如果存在完全共線性，則(X’X)-1不存在，無法得

到參數(shù)的估計量。二、多重共線性的后果1、完全共線性下參數(shù)估計量不存在Y=X估

計

量

為

：的

OLSβ+μ例：

對離差形式的二元回歸模型y=β?x?+β?x?+μ如果兩個解釋變量完全相關(guān)，如x?=λx?

,則

y=(B+λB)x?+μ這時，只能確定綜合參數(shù)β?+λB

的估計值：B+aB?=Zx?y?/Zx近似共線性下，可以得到OLS參數(shù)估計量，但參數(shù)估計量方

差的表達式為Cov(β)=σ2(X^X)-1由于IX’Xl≈0,引

起(X’X)-1

主對角線元素較

大，使參數(shù)估計值的方差增大，

OLS參數(shù)估計量

非有效。2、

近

似共

線性

下OLS

估

計量非

有效

恰

為X?與X?的線性相關(guān)系數(shù)的平方r2由于

r2≤1,

故

1/(1-r2)≥1仍以二元線性模型y=β?x?+βx?+μ

為例：多

重

共線

性

使

參

數(shù)

估

計

值的

方

差

增

大

，1/(1-r2)為方

差

膨

脹因子(VarianceInflationFactor,VIF)表4.3.1方差膨脹因子表相

關(guān)

系

數(shù)

平

方00.50.80.90.950.960.970.980.990.999方

差

膨

脹因

子12510202533501001000當

完

全

不

共

線

時

，r2=0當

近

似

共

線

時

，0

<r2<1當

完

全

共

線時

，

r2=1,var(β)=var(β)=o2/Zxi如果模型中兩個解釋變量具有線性相關(guān)性，例如

X?=λX?,這時，

X?

和X?前的參數(shù)β?、β并不反映各自與被解釋變

量

之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，

而是反映它們對被

解釋變量的共同影響。β?

、B?已經(jīng)失去了應(yīng)有的經(jīng)濟含義，于是經(jīng)常

表現(xiàn)出似乎反常的現(xiàn)象：

例如β?本來應(yīng)該是正

的

，

結(jié)果恰

是負的

。3、參數(shù)估計量經(jīng)濟含義不合理4、變量的顯著性檢驗失去意義存在多重共線性時參數(shù)估計值的方差與標準差變大容易使通過樣本計算的t值小于臨界值，

誤導作出參數(shù)為0的推斷可能將重要的解釋變量排除在模型之外變大的方差容易使區(qū)間預測的“區(qū)間”變大，使預

測失

去

意

義

。5、模型的預測功能失效注意：除非是完全共線性，多重共線性并不意味

著任何基本假設(shè)的違背；因此，

即使出現(xiàn)較高程

度的多重

共

線

性，

OLS估計量仍具有線性性等良好的統(tǒng)計性質(zhì)。問題在于，

即

使OLS法仍是最好的估計方法，它卻不是“完美的”,尤其是在統(tǒng)計推斷上

無法給出真正有用的信息。多重共線性檢驗的任務(wù)是：(1)檢驗多重共線性是否存在；(2)估計多重共線性的范圍，

即判斷哪些變量之

間

存

在

共

線

性

。多重共線性表現(xiàn)為解釋變量之間具有相關(guān)關(guān)系，所以用于多重共線性的檢驗方法主要是統(tǒng)計

方法：如判定系數(shù)檢驗法、逐步回歸檢驗法等。三、

多重共線性的檢驗(1)對兩個解釋變量的模型，

采用簡單相關(guān)系數(shù)法求出X?與X?的簡單相關(guān)系數(shù)r,

若Irl接近1,則說明兩變量存在較強的多重共線性。(2)對多個解釋變量的模型，

采用綜合統(tǒng)計檢驗法若

在OLS法下：R2與F值較大，但t

檢驗值較小，

說明各解釋變量對Y的聯(lián)合線性作用顯著,但各解

釋變量間存在共線性而使得它們對Y的獨立作用不

能分辨，故t

檢驗不顯著。1、檢驗多重共線性是否存在如果存

在多

重

共

線

性，

需進一步確定究竟由哪

些變量引起。(1)判定系數(shù)檢驗法使模型中每一

個

解

釋

變

量

分

別以其

余

解

釋

變

量

為解釋變量進行回歸，

并計算相應(yīng)的擬合優(yōu)度。如果某一種回歸Xji=α?X?+a?X?i+…QLXLi的判定系數(shù)較大，說明X;與其他X

間存在共線性。2、判

明存在多

重共

線

性

的范

圍式中：R;.?為第j個解釋變量對其他解釋變量的回歸

方

程的決

定

系

數(shù)

，若存在較強的共線性，則R;.2較大且接近于1,這

時(1-Rj,2)

較小，從而F;的值較大。因此，給定顯著

性

水

平

α,

計

算F值，并與相應(yīng)的臨界值比

較，來

判

定

是

否

存

在

相

關(guān)

性

。具體可進

一

步

對

上

述回歸方程作F

檢驗

：構(gòu)造如

下F

統(tǒng)

計

量另

一

等

價

的

檢

驗是

：在模型中排除

某一個解釋變量X;,

估

計模

型；如果擬合優(yōu)度與包含X;時十分接近，則說明X;與其它解釋變量之間存在共線性。(2)逐步回歸法以Y為被解釋變量，逐個引入解釋變量，

構(gòu)

成回歸模型，進行模型估計。根據(jù)擬合優(yōu)度的變化決定新引入的變量是否獨

立

。如果擬合優(yōu)度變化顯著,

則說明新引入的變量是一個獨立解釋變量；如果擬合優(yōu)度變化很不顯著,則說明新引入

的變量與其它變量之間存在共線性關(guān)系。以逐步回歸法得到最廣泛的應(yīng)用。注意：這時，剩余解釋變量參數(shù)的經(jīng)濟含義和數(shù)值都找出引起多重共線性的解釋變量，將它排除出去

。如果模型被檢驗證明存在多重共線性，

則需要

發(fā)展新的方法估計模型，最常用的方法有三類。四、

克服多重共線性的方法1、第一類方法：

排除引

起共線性的變量發(fā)生了變化

。時間序列數(shù)據(jù)、線性模型：

將原模型變

換

為

差

分

模

型

：△Y;=β?△X?+β?△X,;+.+βx

△

X+

△

μ可以有效

地

消

除

原

模

型中的多

重

共

線

性

。一

般

講

，

增

量

之

間

的

線

性

關(guān)

系

遠

比

總

量

之間的線性關(guān)系弱得多。2、第二類方法：

差分法表4.3.2

中國GDP與居民消費C的總量與增量數(shù)據(jù)(億元)年份CYC/Y△C△Y△C/△Y19781759.13605.60.48819792005.44074.00.492246.3468.40.52619802317.14551.30.509311.7477.30.65319812604.14901.40.531287.0350.10.82019822867.95489.20.522263.8587.80.44919833182.56076.30.524314.6587.10.53619843674.57164.40.513492.01088.10.45219854589.08792.10.522914.51627.70.56219865175.010132.80.511586.01340.70.43719875961.211784.70.506786.21651.90.47619887633.114704.00.5191671.92919.30.57319898523.516466.00.518890.41762.00.50519909113.218319.50.497589.71853.50.318199110315.921280.40.4851202.72960.90.406199212459.825863.70.4822143.94583.30.468199315682.434500.70.4553222.68637.00.373199420809.846690.70.4465127.412190.00.421199526944.558510.50.4616134.711819.80.519199632152.368330.40.4715207.8981990.530199734854.674894.20.4652702.36563.80.412199836921.179003.30.4672066.54109.10.503199939334.482673.10.4762413.33669.80.658200042911.989112.50.4823577.56439.40.556例

如由表中的比值可以直觀地看到，

增量

的線性關(guān)系弱于總量之間的線性關(guān)系。進

一

步

分

析

：Y與C(-1)

之間的判定系數(shù)為0.9988,△Y

與△C(-1)之間的判定系數(shù)為0.9567多重共線性的主要后果是參數(shù)估計量具

有較大的方差，所

以采取適當方法減小參數(shù)估計量的方差，雖然沒有消除模型中的多重共線性，