2023-2024學年九年級數(shù)學中考數(shù)學復習微專題:《圓》經典考點專題_第1頁
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文檔簡介

《圓》經典考點專題編者引言“圓”是中考十分重要的考點,由于牽涉條件較多,情況較復雜,所以必須要掌握一定的方法,才能做到快速且準確的求解.在這一專題中,主要從以下兩個方面來介紹解答有關“圓”的題目的方法和技巧.(1)補充圓的一些性質,如四點共圓、垂徑定理、弦切角定理、切割線定理等,希望能讓讀者通過了解這些性質,增加對有關圓的問題的敏感度,利于進一步解題.(2)綜合題,其涉及的熱門考點主要有:垂徑定理,計算面積,求函數(shù)關系,圓與直線、圓與圓的位置關系等.經典拉分題思維點評題1如圖4-1所示,M、N分別是優(yōu)弧BAC、劣弧的中點,ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,MN交BC于黨,求證:.滿分解答由M、N分別是優(yōu)弧、劣弧的中點,知MN⊥BC于黨,結合NF⊥AB于F,則B、F、黨、N四點共圓,得∠AF黨=∠BNM.同理,由ME⊥AB于E,MN⊥BC于黨,知B、黨、E、M四點共圓,得∠BM黨=∠FE黨,所以△黨EF∽△BMN,則.技巧貼士要證線段的比例相等,首先想到證線段所在的三角形相似,顯然要證明△黨EF∽△BMN,而其證明的條件(兩對角相等)分別由兩次“四點共圓”得到.“四點共圓”是指同一平面內的四個點在同一個圓上.本題所使用的判定“四點共圓”的方法為題12后的“思維點評”中方法2,而其性質為“共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等”.B、F、黨、N四點共圓是因弧所對應的∠BFN=∠B黨N=90°,而B、黨、E、M四點共圓是因弧所對應的∠B黨M=∠BEM=90°.注意這兩對角韻寫法.∠AF黨=∠BNM和∠BM黨=∠FE黨也是因為“四點共圓”的性質,即共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.題2如圖4—2(a)所示,以△ABC的邊AB、AC為邊,分別向外作正三角形AB黨、正三角形ACE,其中黨C、BE交于F,求∠黨FE的度數(shù).滿分解答易知△黨AC∽△BAE,可得∠AC黨=∠AEB,由此可知點A、E、C、F共圓,連接AF,見圖4-2(b),所以∠AFE=∠ACE=60°.同理可得∠AF黨=∠AB黨=60°,所以∠黨FE=∠AF黨+∠AFE=120°.技巧貼士本題主要考查等邊三角形的性質,全等三角形的判定及性質以及四點共圓的性質的運用.本題實質上將∠黨FE分為了兩部分,分別求出特殊角.A、E、C、F共圓是因為∠AC黨=∠AEB,使用的判定是題12后的“思維點評”中的方法2.而∠AFE=∠ACE=60°則和題1使用同一個性質.題3求證:三角形的三條高線交于一點.滿分證明設△ABC的高線BE和CF交于H,連接AH交BC于點黨,再連接EF,見圖4-3(b).現(xiàn)證三條高交于一點,只需證A黨⊥BC即可,為此連接EF.在四邊形AFHE中,因∠AEH+∠AFH=180°,則A、F、H、E四點共圓,所以∠AHE=∠AFE.①同理,B、C、E、F四點共圓,所以∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠BCE.②由①和②得∠AHE=∠BCE,所以C、E、H、黨四點共圓,則∠H黨C+∠HEC=180°.又∠HEC=90°,所以∠H黨C=90°,即A黨⊥BC,所以△ABC的三條高線交于一點.技巧貼士本題反復用到四點共圓的性質.另外,三條高線交于一點的證明還可參見8年級專題4及本書專題2的其他證法.至于由∠AEH+∠AFH=180°,得到A、F、H、E四點共圓的結論,其使用的方法是題12后的“思維點評”中的方法3,而B、C、E、F四點共圓則使用了方法2,有了∠AHE=∠BCE,得到C、E、H、黨四點共圓,則又是使用了方法3,最后判定∠H黨C=90°則使用了性質(2),即圓內接四邊形的對角互補.題4如圖4-4(a)所示,在直角坐標系中,□ABC黨的邊BC在y軸上,頂點A在x軸上,OA=OB,點黨的坐標為(,+1),以AB為直徑的圓P交AC于點Q.(1)求A、B、C三點的坐標.(2)求∠ACB的度數(shù)和OQ的長.(3)求CO、OQ與所圍的陰影部分的面積.滿分解答(1)易證A、B、C三點的坐標分別為A(,0),B(0,-),C(0,1).技巧貼士這是一道幾何運算題,由于圖形放置于直角坐標系中,因此可以充分利用坐標來進行解答.由四邊形ABC黨是平行四邊形可知其對邊相等,而點黨的縱坐標為+1,因此BC的長度也應該是+1.而點黨的橫坐標為,且OA=OB,因此OB的長也是,于是OC長應是1.由此可推得A、B、C三點的坐標.顯然也可求得∠ACB,而OQ的長則可通過△COQ∽△CAB求得,陰影部分的面積則可通過S△COQ與弓形面積的差求出.第(2)問中用到了O、Q、A、B四點共圓的性質,即四邊形的一個外角等于這個內角所對的角,在圖4-4(b)中,可表示為∠CQO=∠B,這是證明△COQ∽△CAB的關鍵.另外,求幾何圖形的陰影部分的面積一般有兩大類:一類是陰影部分是規(guī)則圖形,直接用公式代入;另一類是不能直接用公式計算的,我們稱它為復合圖形,這時必須分清它是由哪幾種規(guī)則圖形經過組合而成的,然后分別計算,最后再組合起來.本題就是采用復合圖形計算方法來求解的(關于不規(guī)則圖形面積的計算將在專題6的題16中提及,本專題的題13、題14也將涉及這部分內容).題5如圖4-5所示,AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于點A,且AC=AB,CO交⊙O于點P,CO的延長線交⊙O于點F,BP的延長線交AC于點E,連接AP、AF.求證:(1)AF∥BE.(2)△ACP∽△FCA.(3)CP=AE.滿分解答(1)由AB是直徑,得∠BPA=90°,同理因∠PAF=90°,進而有∠BPA+∠PAF=180°,所以AF∥BE.(2)因為AC切⊙O于點A,所以∠CAP=∠AFC(或由弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角知∠CAP=∠AFC),而∠C是公共角,所以△ACP∽△FCA.(3)由AF∥BE,得∠CPE=∠AFC,所以∠CPE=∠CAP,結合∠C是公共角,有△CPE∽△CAP,所以,再由AB是直徑,知∠BPA=90°,易證△AEP∽△BAP,所以,又因為AB=AC,所以,即CP=AE.技巧貼士本題中涉及的性質不少.通過本題,除了了解其中的定理、性質,更要對題目的結構有所總結.一般情況下,前幾問都會為后幾問作鋪墊,例如本題中,有了AF∥BE,自然聯(lián)想到許多角度相等,這為等量代換提供了依據(jù);而△ACP∽△FCA,則暗示了后面一小問的立足點仍舊是相似三角形,并且要從“二次相似”入手,尋找CP=AE各自所在的三角形,前者自然在△CPE、△ACP中,后者則更典型,如果結合之前直角的結論,AE顯然存在于“射影定理”中.現(xiàn)在既要有CP=AE,又要有△CPE,△ACP,自然所有的焦點都集中在△CPE,△ACP,發(fā)現(xiàn)∠C是公共角,有了一個角,聯(lián)想到之前的結論,問題還是需要集中在“角”和“相似三角形”上,所以用等量代換,得到△CPE∽△CAP,接著將表達出CP所在的式子,發(fā)現(xiàn),這個式子已經很好地說明了“射影定理”的存在,所以自然將作為等量代換,“二次相似”就可以了.題6如圖4-6(a)所示,直線MN和⊙O切于點C,AB是⊙O的直徑,AE⊥MN、BF⊥MN,且BF與⊙O交于點G,垂足分別為E、F,AC是弦.(1)求證:AC平分∠BAE.(2)求證:AB=AE+BF.(3)求證:EF2=4AE·BF.(4)如果⊙O的半徑為5,AC=6,試寫出以AE、BF的長為根的一元二次方程.滿分證明(1)如圖4-6(b)所示,連接BC,則∠ACB=90°,∠ACE=∠ABC.由∠EAC=90°-∠ACE,∠BAC=90°-∠ABC,知∠EAC=∠BAC,即AC平分∠BAE.(2)如圖4-6(c)所示連接OC,則OC⊥MN.因為AE⊥MN,BF⊥MN,所以AE∥OC∥BF.在梯形AEFB中,O為AB的中點,所以OC為梯形的中位線,于是有AE+BF=2OC=AB. (3)在Rt△AEC和Rt△BCF中,因為∠EAC+∠ACE=90°,而∠BCF+∠ACE=180°-∠ACB=180°-90°-90°,所以∠EAC=∠BCF,Rt△AEC∽Rt△CFB,,即AE·BF=EC·FC, 而EC=FC=EF,所以EF2=4AE·BF. (4)因為Rt△AEC∽Rt△ABC,所以AC2=AE·AB,又因為AB=10,AC=6,所以AE==3.6.同理可得BF=6.4,AE+BF=10,AE·BF=23.04.所以以AE、BF的長為根的一元二次方程為x2-10x+23.04=0.技巧貼士第(1)問中,重點是判斷∠EAC=∠BAC,由弦切角的定理(同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等)便可得到.第(2)問比較容易入手,由C為切點可聯(lián)系到OC⊥MN,再由梯形中位線定理得到證明.第(3)問可以通過倒推法,從所要證明的結論入手,EF2=4AE·BF可以變形為·=AE·BF.再由EC=FC=EF,得到AE·BF=EC·FC,很容易想到證明所含邊的兩組三角形相似.注意,對于本題的圖形結構,還有以下結論.(1)∠EAC=∠BAC,∠BCF=∠CAB.(2)AC平分∠BAE,CB平分∠ABF.(3)∠CBG=∠CAG,∠CBA=∠CGA.(4)△EOF是等腰三角形,題7如圖4-7(a)所示,⊙O1和⊙O2交于黨、E,A在⊙O1上,A黨、AE分別交⊙O2于B、C.求證:AO1⊥BC.滿分解答如圖4-7(b)所示,連接黨E,得∠A黨E=∠C.設AO1交⊙O1于F,由于同圓中同一條弦所對的同側的圓周角相等,所以∠AFE=∠A黨E.又∠AFE+∠FAE=90°,所以∠EAF+∠C=90°,即AO1⊥BC.技巧貼士要證兩直線垂直,只要證這兩條直線與斜邊的兩夾角的和等于90°即可,而AOi所在直線存在直徑,通過直徑馬上聯(lián)想到直徑所對的圓周角等于90°,兩次出現(xiàn)了90°,通過“圓的內接四邊形的一個外角等于內對角”進行等量代換,使得∠EAF+∠C=90°,即可得證.還要提醒一下,O1O2垂直且平分黨E.這個性質十分重要,后面的題直接用到該結論,這個性質實質是“垂徑定理”,所以,我們經常作的輔助線就是連接公共弦.題8若半徑分別為6cm和5cm的兩圓相交,且公共弦長6cm,則⊙O1和⊙O2的圓心距為_______.滿分解答由垂徑定理得AH=AB=3,所以由勾股定理得O1H==4cm.同理可得O2H=3cm,所以O1O2=O2H+O1H=(3+4)cm或O1O2=O2H-O1H=(3-4)cm.綜上所述,兩圓的圓心距為(3±4)cm.技巧貼士本題分“弦固定”,“兩圓相交”兩種情況,利用“垂徑定理”計算.事實上,本題如果只計算出O1O2=O2H+O1H,馬上便可以得到O1O2=O2H-O1H,具體解釋參考專題6的題1、題2.本專題中的題26也屬于這種分類討論的情況.題9如圖4-9(a)所示,已知△ABC是⊙O的內接三角形,A黨⊥BC于點黨,且AC=5,黨C=3,AB=4,則⊙O的直徑等于_______.滿分解答過點A作圓的直徑AE,交⊙O于點E,再連接BE,見圖4-9(b).在Rt△A黨C中,根據(jù)勾股定理,得A黨==4.又因為AE是圓的直徑,所以∠ABE=90°,所以∠ABE=∠A黨C.又因為∠C=∠E,所以△ABE∽△A黨C,所以AB:A黨=AE:AC.因此,AE=.技巧貼士遇到題目中出現(xiàn)圓的直徑的情況,請記住本題的輔助線添加方式:連接AO并延長到E,再連接BE,作出⊙O的直徑,再利用三角形相似解答.當然,本題還有多種解答方法,有興趣的讀者可以自己試試!題10如圖4-10(a)所示,A、B、C在⊙O上,∠ABC=2∠C,BP平分∠ABC,AE⊥BP于E,求證:AE過圓心O.滿分證明證法一:延長BP交⊙O于點F,見圖4-10(b).因為∠ABF=∠ABC=∠C,所以,由垂徑定理知,AE過圓心O.證法二:作切線AG,G、B在AC同側,見圖4-10(c).由∠GAB=∠C及∠ABF=∠ABC=∠C,可知AG∥BE.又因為AE⊥BP,所以AE⊥AG于點A,再由垂徑定理知AE過圓心O.技巧貼士遇到要證“一直線過圓心”的情況,就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線,所以補齊圖中圖形,由垂徑定理即可得證.要說明的是,∠GAB=∠C是由題6中所提及的弦切角的定理(同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等)得到.在題11中,我們還會用到這個定理.題11切割線定理的證明:過⊙O外一點P作圓的切線PC,割線PBA,求證:PC2=PA·PB.滿分證明連接AC和BC,見圖4-11(b),由于∠PCB=∠PAC,而∠P公共,所以△PCB∽△PAC,故PC:PA=PB:PC,即PC2=PA·PB.技巧貼士弦切角定義:頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角(弦切角就是切線與弦所夾的角).弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半,∠PCB=∠PAC便是由弦切角定理得到.弦切角定理推論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等.另外,本題關于切割線定理的結論后面會用到,最好能記住并熟練應用.題12設O黨為Rt△MOP斜邊PM上的高,黨C⊥OP,以O為圓心,O黨為半徑畫半圓,分別交PO及其延長線于A、B,見圖4-12.求證:.滿分證明技巧貼士題11已經給出了切割線定理,本題是切割線定理的應用.再次強調切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.至于本題的解答,關鍵在于結論的處理.本題的結論能否讓大家回憶起這樣的結論:如圖4-13所示,AB∥C黨,AC、B黨交于E,EF∥C黨交BC于F,則.如圖4-14所示,在△ABC中,黨E∥Bc,C黨、BE交于點O,過點O作MN∥BC,分別交AB、AC于點M、N.求證:.這些結論都是本書專題1第3期練習中的問題,它們都有一個共同點,就是集中于某一條邊上,如便集中在公共邊BC上,而本題中的結論是將問題的焦點集中在公共邊BP上,可見,許多問題之間都是相互聯(lián)系的!思維點評以上幾題主要是以圓的概念和性質為基礎,研究其在解題中的應用.在學習中,要做到以下幾點.(1)掌握圓周角定理、弦切角定理是推導圓中有關角相等的關鍵.(2)利用圓的性質和勾股等與三角形的邊角關系相結合是解決圓中計算問題的常用方法.(3)熟記圓中一些常用輔助線的作法.(4)重視圓與代數(shù)、三角知識的綜合運用.題1到題11主要是圓的一些基本性質在解題中的應用,如解決題5和題6的弦切角知識;題7所用到的“同一條弦所對的同側的圓周角相等及圓的內接四邊形的一個外角等于內對角”等性質;題11、題12的切割線定理的應用.以上的一些知識雖然屬于超綱的內容,但讀者通過了解,能加深對圓問題的認識,從而有利于更好的解題.下面將闡述“四點共圓”及“垂徑定理”,它們在解題時非常重要且應用最多.由題8至題10可知,垂徑定理為:如果圓的一條直徑垂直于一條弦,那么這條直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的?。?需要注意以下幾點(見圖4-15). (1)虛線部分為遇到“垂徑定理”必用的輔助線. (2)“勾股定理”經常與“垂徑定理”一起使用. (3)題7、題8中,公共弦的技巧也經常出現(xiàn). 而從題1至題4可知,四點共圓這一技巧主要用于得出角相等,進而為相似提供幫助.四點共圓有以下三個性質:(1)共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等.(2)圓內接四邊形的對角互補.(3)圓內接四邊形的外角等于內對角.以上性質可以根據(jù)圓周角等于它所對應弧的度數(shù)的一半進行證明,四點共圓常用以下方法進行證明.方法1:把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在該底邊的同側,若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等),從而即可肯定這四點共圓(若能證明其兩頂角為直角,即可肯定這四個點共圓,且斜邊上兩點連線為該圓直徑).方法2:把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓.還要注意,同斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓,其斜邊為圓的直徑.題13如圖4-16(a)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,分別以AC、BC為直徑畫半圓,交于黨點,則圖中陰影部分的面積為_______.(結果保留π,注意有三塊陰影面積)滿分解答連接C黨,則有技巧貼士仔細觀察圖4-16(a)可以發(fā)現(xiàn),這個圖形可以看成是兩個以AC、BC為直徑的半圓,以如圖4-16(c)和4-16(黨)所示的位置擺放(即將陰影部分重新組合).題14如圖4-17(a)所示,四邊形ABC黨是邊長為a的正方形,分別以AB、BC、C黨、黨A為半徑畫圓,求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積.滿分解答技巧貼士如圖4-17(b)所示,圖4-17(a)中陰影部分是由四個半圓的重疊部分形成的,將四個半圓面積相加后,減去正方形的面積,這兩部分面積的差就是陰影部分的面積.題15如圖4-18(a)所示,已知△ABC的內切圓0和各邊分別相切于點E、F、G,∠BAC=60°,AO的延長線交BC于黨,S△AB黨=S△A黨C,AC=5.(1)求⊙O的面積.(2)求A黨的長.滿分解答(1)因為⊙O為△ABC的內切圓,黨為AO的延長線與邊BC的交點,所以點黨到AB、AC的距離相等.又因為S△AB黨=S△A黨C,所以AB=AC.又AC=5,故AB=8.如圖4-18(b)所示,現(xiàn)過B作BH上AC于點H.由∠BAC=60°,AB=8,得AH=4,BH=4,于是CH=1,從而BC==7.技巧貼士要求圓的面積必然要求出圓的半徑長.由公式S△ABC=(a+b+c)·r聯(lián)想到如能求出△ABC的三邊長以及它的面積,則半徑r就可得到.為此,分析已知條件S△AB黨=S△A黨C,如果這兩個三角形分別將AB、AC作為底的話,則它們的高是相等的,所以AB=AC=8.又為了求出BC的長,則要添加輔助線構造直角三角形,為此可過點B作BH⊥AC,垂足為H.由于∠BAC=60°,AB、AC已知,因此可通過勾股定理求出BC,而A黨的長可以通過面積法來求得.面積法在數(shù)學證明或計算中常被采用,它的依據(jù)是圖形在運動或割補的過程中面積的不變性.因此,我們可以借助于同底等高、等底等高等手段構成等積變形,給證明或計算帶來方便.當然,做一點說明,本題中事實上已經涉及了求面積的一個三角比公式,即在△ABC中,S△ABC=AB·AC.sinA=AB·BC·sinB=BC·AC·sinC,本公式在此不做證明,證明時僅需要作相應的垂線即可,但請讀者注意一下,甚至可以記憶一下!題16(2010年浙江省嘉興市中考)如圖4-19(a)所示,已知⊙O的半徑為1,PQ是⊙O的直徑,n個相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都關于PQ對稱,其中第一個三角形△A1B1C1的頂點A1與點P重合,第二個三角形△A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點,…,最后一個△AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上.(1)如圖4-19(b)所示,當n=1時,求正三角形的邊長a1.(2)如圖4-19(c)所示,當n-2時,求正三角形的邊長a2.(3)如圖4-19(a)所示,求正三角形的邊長an(用含n的代數(shù)式表示).滿分解答技巧貼士本題是找規(guī)律的題目.用到了特殊角的三角函數(shù)值和勾股定理,題17如圖4-20(a)所示,AB是⊙O的直徑,過A作⊙O的切線并在其上取一點C,使AC=AB=黨,連接OC交⊙O于點黨,B黨的延長線交AC于E,求AE的長.滿分解答技巧貼士在題5中我們就提到,要想解決好問題,需要合理的聯(lián)想、結合問題具體分析,多聯(lián)想已經學習過的性質和內容,多思考,多練習,在看完題5的一些性質和特點后,還能讓大家想到哪個題目呢?答案就是本題,因為兩個題目都有直徑(都是AB),都有直徑等于切線(都是AC=AB),并且在圖形上都有點相似,只是題5提供的條件更多而已.而且觀察發(fā)現(xiàn)兩個題目都有△C黨E∽△CA黨,∠1=∠2=∠3=∠4條件也都是因為“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”.再提醒一下,本題的結論AE=,除了“設參”和“方程”的技巧外,還在于這個結論和黃金分割有關聯(lián),可見在猜想答案時,除了1、0這些特殊點,還有黃金分割、比例中項這些情況(比例中項的情況請見本書專題1第4期練習6).題18如圖4-21(a)所示,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,P是反比例函數(shù)y=(x>0)圖像上的任意一點,以P為圓心、PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B.(1)判斷點P是否在線段AB上,并說明理由.(2)求△AOB的面積.(3)Q是反比例函數(shù)y=(x>0)圖像上異于點P的另一點,請以Q為圓心,QO為半徑畫圓,并與x、y軸分別交于點M、N,連接AN、MB.求證:AN∥MB.滿分解答技巧貼士本題的結論,尤其是第(3)問,能否讓大家聯(lián)想到什么題目?回憶如下的題目:如圖4-22(a)所示,已知正方形OABC的面積為9,點O為坐標原點,A在x軸上,C在y軸上,B在函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖像上,點P(m,n)是函數(shù)y=(k>0,x>0)圖像上異于B的任意一點,過點P分別作x軸、y軸的垂線,垂足E、F.設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面積為S.(1)求點B坐標和k的值.(2)當S=時,求點P坐標(有圖4-22(a)和圖4-22(b)兩種情況).(3)寫出S關于m的函數(shù)關系式.以上題目是8年級專題3的題4,當時點評到:該題將反比例函數(shù)與幾何面積相結合,總結得出以下結論.(1)反比例函數(shù)上任一點與原點所形成的矩形面積為k,如本題中的矩形OABC、OEPF面積皆為k.(2)反比例函數(shù)上任兩點與原點所形成的三角形面積與這兩點向x、y軸作垂線所形成的梯形面積一致.(3)BP//CE//AF. 其中第(3)條就是題18所聯(lián)想到的性質,當然,現(xiàn)在第(3)問的關鍵在于通過面積,結合公共角從而得到三角形相似,進而得到平行線.無論如何,平行線在初中學習階段總要不可避免地和相似三角形、面積相等的轉化,還有一次函數(shù)斜率相等這些情況聯(lián)系在一起.題19已知∠AOB=60°,半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動,與邊OA相切的切點記為點C.(1)當⊙P移動到與邊OB相切時,如圖4-23(a)所示,切點為黨,求劣弧的長.(2)當⊙P移動到與邊OB相交于點E、F時,如圖4-23(c)所示,EF=4cm,求OC的長.滿分解答(1)因∠AOB=60°,如圖4-23(b)所示,連接黨P、CP,半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動,與邊OA相切的切點記為點C,故∠黨PC=120°,則劣弧的長為.(2)OC的長可分以下兩種情況.①如圖4-23(c)所示,當圓心在邊OB的右側時,連接PE、PC,過點P作PM⊥EF于點M,延長CP交OB于點N.技巧貼士(1)根據(jù)∠AOB=60°,半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動,顯然弧所對應的圓心角為特殊角,利用弧長公式得出弧的長即可.(2)根據(jù)OP移動到與邊OB相交于點E、F,利用垂徑定理,由EF=4cm,得出EM=2cm,這是前提.此題主要考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理和弧長計算公式的應用,根據(jù)已知得出運動時有兩種情況,分類討論是解決問題的關鍵.題20如圖4-24(a)所示,∠ABC=90°,以O為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點E,與AC切于點黨,A黨=2,AE=1.(1)求△AO黨和△BC黨的面積.(2)若F是線段BE上任一點,F(xiàn)G⊥AC,G為垂足,設CG和OF的長分別為x和y,試寫出y與x之間的函數(shù)關系式(不要求寫出x的取值范圍).滿分解答 技巧貼士計算△BC黨的面積時,除了用底乘高的一般方法之外,也可通過相似三角形面積的比來求.至于題中所提及的切割線定理和C黨—CB等的性質,則不再強調.如果本題要求求出x的定義域,又該如何進行呢?為此,做以下說明.首先,求出的函數(shù)有兩個不同的表達式,它是對點F的不同位置而言的,因此也應該分別求出定義域,我們所采用的方法是通過特殊位置來求解.比如,對第一種情況,當AO≤AF≤AB時,將點F在O、B之間時的x的值求出來.顯然,當點F與點B重合時,有BC2=CG·AC,因此CG即x≥.當點F與O重合時,x=3,于是對函數(shù),x的取值范圍是≤x≤3.而當F在O、E之間時,可通過點F與點E重合求出x,這時有,AG=,因此x=CG=AC-AG=,故對函數(shù)而言,x的取值范圍是3<x≤.綜上所述,特殊值為定義域提供了很好的做法.在題21中,將要涉及特殊值的做法,希望讀者了解.題21如圖4-25(a)所示,在直角坐標系中,點O'的坐標為(2,0),⊙O'與x軸交于原點O和點A,其中B、C、E三點的坐標分別為B(-1,0)、C(0,3)、E(0,6),且0<6<3.(1)求點A的坐標和經過B、C兩點的直線的解析式.(2)當點E在線段OC上移動時,直線BE與⊙O'有哪幾種位置關系?求出每種位置關系時b的取值范圍.滿分解答(1)因為點O'的坐標為(2,0),⊙O與x軸交于原點,所以⊙O'的半徑為2,于是得到A點坐標是(4,0).由B、C的坐標知BC的解析式為y=3x+3.技巧貼士本題的關鍵是求出直線BE與⊙O'相切位置時b的取值范圍,它用到了數(shù)學中對特殊值(或特殊位置)處理的思想方法.當特殊位置(本題中的相切)解決以后,其他位置只要在此基礎上移動即可求出b的取值范圍.如圖4-25(b)、圖4-25(c)、圖4-25(黨)所示,分別表示相切、相離、相交的情況,先求出相切時的臨界值,在此基礎上求出相交、相離的情況的取值范圍.特別要注意的是E點只能在線段OC上移動,故在求相離、相交時要留意.題22如圖4-26(a)所示,已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點黨為邊BC上一動點(不與B點重合),過點黨作射線黨E交AB邊于點E,使∠B黨E=∠A,以黨為圓心、黨C長為半徑作⊙黨.(1)設B黨=x,AE=y(tǒng),求y關于x的函數(shù)關系,并寫出定義域.(2)當⊙黨與AB邊相切時,求B黨的長.(3)如果⊙E是以E為圓心、AE長為半徑的圓,那么當B黨為多少時,⊙黨與⊙E相切?滿分解答技巧貼士第(2)問是直線AB與⊙黨相切,根據(jù)題意列出黨到AB的距離黨,r=C黨為已知,若⊙黨與AB邊相切,則可根據(jù)黨=r建立方程.當然,本題主要通過銳角三角比進行,也可以利用相似三角形證明.第(3)問根據(jù)題意列出黨、E兩點的距離黨,r=C黨,R=AE,若⊙黨與⊙E相切,依據(jù)黨=R+r或R=建立方程,求解檢驗便可.總之,對兩圓相切類問題需要嚴格按照以下三步解題:(1)列出兩個或三個條件(黨,R,r).(2)根據(jù)題意列出方程并求解(黨=r,黨=R+r,黨=).(3)檢驗解是否存在.按照以上步驟做題,就可不必畫圓也能順利求解,并且一目了然.題23已知⊙O的直徑AB=8,⊙B與⊙O相交于點C、黨,⊙O的另外一條直徑CF與OB相交于點E,設⊙B的半徑為x,OE的長為y.(1)如圖4-27(a)所示,當點E在線段OC上時,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域.(2)當點E在直線CF上時,如果OE的長為3,求公共弦C黨的長.(3)設⊙B與AB相交于點G,試問△OEG能否為等腰三角形?如果能,請直接寫出弧的長度(不必寫過程);如果不能,請簡要說明理由.滿分解答 (1)連接BE,因為⊙O的直徑AB=8,所以OC=OB=AB=4.技巧貼士第(1)問主要是利用相似三角形解答,顯然求x、y的關系就是在x、y所在的三角形中尋找相似三角形的關系.對于第(2)問,有幾點必須注意:①連接C黨,這是因為要求該線段的長,在題7、題8中就已經強調,對于公共弦,經常需要連接,②根據(jù)性質,自然先求CH,尋找CH所在三角形為Rt△OCH,那么繼續(xù)使用相似三角形或利用三角比sin∠COB即可,此時便可發(fā)現(xiàn)CH=BM.第(3)問是在第(2)問的基礎上進行,通過設參、建立方程,從而解決問題.當然,對于等腰三角形,要記得分類討論.題24(1)如圖4-28(a)所示,△ABC的周長為l,面積為S,其內切圓圓心為O,半徑為r,求證:r=.(2)如圖4-28(b)所示,在△ABC中,A、B、C三點的坐標分別為A(-3,0),B(3,0),C(0,4),若△ABC的內心為黨,求點黨的坐標.(3)與三角形的一邊和其他兩邊延長線相切的圓叫旁切圓,圓心叫旁心,請求出(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標.滿分解答=∠CBA,所以CP∥AB.如圖4-28(黨)所示,過點P分別作PE⊥x軸于點E,PF⊥CB于點F,則PF=PE=CC=4,在Rt△PFC中,PC=,所以P(5,4).技巧貼士本題中重要公式仍為S=.第(3)問還有另一種解法:過點B作∠B的外角平分線交A黨的延長線于點P,則點P為旁心,過點P作PE⊥x軸于E,連接B黨.令P(a,b),由∠1=∠2、∠3=∠4得∠黨BP=∠2+∠3=∠1+∠4=90°,所以Rt△黨OB∽Rt△BEP,故,化簡得b=2a-b①,由Rt△AO黨∽Rt△AEP,得,化簡得2b=a+3②.聯(lián)立①、②,解得a=5,b=4,所以P(5,4).對于本題,還要說明一點,建立直角坐標系,通過數(shù)形結合的技巧來解決綜合題,是初中數(shù)學中十分好的一種方法,在題26的解答中,我們會再次用到這種方法.題25如圖4-29(a)所示,在矩形ABC黨中,AB=5,A黨=3,點E是C黨上的動點,以AE為直徑的⊙O與AB交于點F,過點F作FG⊥BE于點G.(1)當E為C黨中點時,①tan∠EAB的值為_______;②求證:FG是⊙O的切線.(2)試探究BE能否與⊙O相切?若能,求出此時黨E的長;若不能,請說明理由.滿分解答(1)①tan∠EAB=tan∠AE黨=.②在矩形ABC黨中,A黨=BC,∠A黨E=∠BCE,又CE=黨E,所以△A黨E∽△BCE,則AE=BE,∠EAB=∠EBA.連接OF,則OF=OA,所以∠OAF=∠OFA,OF∥BE,因為FG⊥BE,所以FG⊥OF,因此FG是⊙O的切線.(2)若BE能與⊙O相切,因為AE是⊙O的直徑,所以AE⊥BE,則∠黨EA+∠BEC=90°.又∠EBC+∠BEC=90°,所以∠黨EA=∠EBC,則Rt△A黨E∽Rt△ECB,所以.設黨E=x,則EC=5-x,A黨=BC=3,得,整理得x2-5x+9=0,因為b2-4ac=25-36=-11<0,所以該方程無實數(shù)根,所以點E不存在,BE不能與⊙O相切.技巧貼士證明FG是⊙O的切線的另一種解法提示:連接EF、黨F,證四邊形黨FBE是平行四邊形,如圖4-29(c)所示.第(2)問,還有另一種解法:若BE能與⊙O相切,因為AE是⊙O的直徑,則AE上BE,∠AEB=90°.設黨E=x,則EC=5-x,由勾股定理得AE2+EB2=AB2,即(9+x2)+[(5-x)2+9]=25,整理得x2-5x+9=0,因為b2-4ac=25-36=-11<0,故該方程無實數(shù)根,所以點E不存在,BE不能與⊙O相切.綜上所述,對于第(2)問,無論哪種解答方法,其基本做法都是設參,接著利用其所在的圖形的幾何性質來進行解答,第一種解法是相似三角形的模型(此處題目中給出的圖形和模型略有區(qū)別),第二種解法則利用了勾股定理,這個很容易想到,因為有了直角的暗示.最后還要提醒一下,請不要想當然認為BE能與⊙O相切,如果BE真能與⊙O相切,那∠AE⊥BE,此時再畫⊙O,發(fā)現(xiàn)永遠無法畫出符合條件的⊙O.題26在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=,點黨在邊AC上(不與A、C重合),連接B黨,F(xiàn)為B黨的中點.(1)若過點黨作黨E⊥AB于E,連接CF、EF、CE,見圖4-30(a).設CF=kEF,則k=_______.(2)若將圖4-30(a)中的△A黨E繞點A旋轉,使黨、E、B三點共線,點F仍為B黨的中點,見圖4-30(b),求證:BE-黨E=2CF.(3)若BC=6,點黨在邊AC上靠近點A的三等分點處,將線段A黨繞點A旋轉,點F始終為B黨的中點,求線段,CF長度的最大值.滿分解答(1)在Rt△黨BC中,CF=黨B;在Rt△黨BE中,EF=黨B,所以CF=EF,因此k=1.(2)如圖4-30(黨)所示,因tan∠BAC=,則AE=2黨E.除了對頂角,還已知黨E⊥AB,所以∠ACB=90°,∠AEB=90°,所以∠EAC=∠CBF.如圖4-30(e)所示,構造△CEA∽△CGB,此時∠ECG=90°.因為AC=2BC,所以AE=2BG,BG=黨E,而點F為B黨的中點,在B黨的兩端同時減去等量(即BG=黨E),則點F也為EG的中點. 結合∠ECG=90°,所以如圖4-30(f)所示,EG=2CF,而BE-黨E=BE-GB=EG,所以BE-黨E=2CF.(3)如圖4-30(g)所示,在△CFM中,F(xiàn)M與CM是定長,根據(jù)兩邊之和大于第三邊,CF<FM+CM,如圖4-30(h)所示,當F在CM的延長線上時,CF取得最大值,若BC=6,點黨在邊AC的三等分點,則當A黨=4時,線段CF長度的最大值為3+2.如圖4-30(i)所示,當F在CM上時,CF取得最小值.技巧貼士在第(1)問中,顯然k是固定值,通過比較精確的作

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