2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：《圓》經(jīng)典考點(diǎn)專題

《圓》經(jīng)典考點(diǎn)專題編者引言“圓”是中考十分重要的考點(diǎn)，由于牽涉條件較多，情況較復(fù)雜，所以必須要掌握一定的方法，才能做到快速且準(zhǔn)確的求解．在這一專題中，主要從以下兩個方面來介紹解答有關(guān)“圓”的題目的方法和技巧．(1)補(bǔ)充圓的一些性質(zhì)，如四點(diǎn)共圓、垂徑定理、弦切角定理、切割線定理等，希望能讓讀者通過了解這些性質(zhì)，增加對有關(guān)圓的問題的敏感度，利于進(jìn)一步解題．(2)綜合題，其涉及的熱門考點(diǎn)主要有：垂徑定理，計(jì)算面積，求函數(shù)關(guān)系，圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系等．經(jīng)典拉分題思維點(diǎn)評題1如圖4－1所示，M、N分別是優(yōu)弧BAC、劣弧的中點(diǎn)，ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，MN交BC于黨，求證：．滿分解答由M、N分別是優(yōu)弧、劣弧的中點(diǎn)，知MN⊥BC于黨，結(jié)合NF⊥AB于F，則B、F、黨、N四點(diǎn)共圓，得∠AF黨＝∠BNM．同理，由ME⊥AB于E，MN⊥BC于黨，知B、黨、E、M四點(diǎn)共圓，得∠BM黨＝∠FE黨，所以△黨EF∽△BMN，則．技巧貼士要證線段的比例相等，首先想到證線段所在的三角形相似，顯然要證明△黨EF∽△BMN，而其證明的條件（兩對角相等）分別由兩次“四點(diǎn)共圓”得到．“四點(diǎn)共圓”是指同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上．本題所使用的判定“四點(diǎn)共圓”的方法為題12后的“思維點(diǎn)評”中方法2，而其性質(zhì)為“共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等”．B、F、黨、N四點(diǎn)共圓是因弧所對應(yīng)的∠BFN＝∠B黨N＝90°，而B、黨、E、M四點(diǎn)共圓是因弧所對應(yīng)的∠B黨M＝∠BEM＝90°．注意這兩對角韻寫法．∠AF黨＝∠BNM和∠BM黨＝∠FE黨也是因?yàn)椤八狞c(diǎn)共圓”的性質(zhì)，即共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等．題2如圖4—2(a)所示，以△ABC的邊AB、AC為邊，分別向外作正三角形AB黨、正三角形ACE，其中黨C、BE交于F，求∠黨FE的度數(shù)．滿分解答易知△黨AC∽△BAE，可得∠AC黨＝∠AEB，由此可知點(diǎn)A、E、C、F共圓，連接AF，見圖4－2(b)，所以∠AFE＝∠ACE＝60°．同理可得∠AF黨＝∠AB黨＝60°，所以∠黨FE＝∠AF黨＋∠AFE＝120°．技巧貼士本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的運(yùn)用．本題實(shí)質(zhì)上將∠黨FE分為了兩部分，分別求出特殊角．A、E、C、F共圓是因?yàn)椤螦C黨＝∠AEB，使用的判定是題12后的“思維點(diǎn)評”中的方法2．而∠AFE＝∠ACE＝60°則和題1使用同一個性質(zhì)．題3求證：三角形的三條高線交于一點(diǎn)．滿分證明設(shè)△ABC的高線BE和CF交于H，連接AH交BC于點(diǎn)黨，再連接EF，見圖4－3(b)．現(xiàn)證三條高交于一點(diǎn)，只需證A黨⊥BC即可，為此連接EF．在四邊形AFHE中，因∠AEH＋∠AFH＝180°，則A、F、H、E四點(diǎn)共圓，所以∠AHE＝∠AFE．①同理，B、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠BCE．②由①和②得∠AHE＝∠BCE，所以C、E、H、黨四點(diǎn)共圓，則∠H黨C＋∠HEC＝180°．又∠HEC＝90°，所以∠H黨C＝90°，即A黨⊥BC，所以△ABC的三條高線交于一點(diǎn)．技巧貼士本題反復(fù)用到四點(diǎn)共圓的性質(zhì)．另外，三條高線交于一點(diǎn)的證明還可參見8年級專題4及本書專題2的其他證法．至于由∠AEH＋∠AFH＝180°，得到A、F、H、E四點(diǎn)共圓的結(jié)論，其使用的方法是題12后的“思維點(diǎn)評”中的方法3，而B、C、E、F四點(diǎn)共圓則使用了方法2，有了∠AHE＝∠BCE，得到C、E、H、黨四點(diǎn)共圓，則又是使用了方法3，最后判定∠H黨C＝90°則使用了性質(zhì)(2)，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．題4如圖4－4(a)所示，在直角坐標(biāo)系中，□ABC黨的邊BC在y軸上，頂點(diǎn)A在x軸上，OA＝OB，點(diǎn)黨的坐標(biāo)為（，＋1），以AB為直徑的圓P交AC于點(diǎn)Q．(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求∠ACB的度數(shù)和OQ的長．(3)求CO、OQ與所圍的陰影部分的面積．滿分解答(1)易證A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（，0），B(0，－)，C（0，1）．技巧貼士這是一道幾何運(yùn)算題，由于圖形放置于直角坐標(biāo)系中，因此可以充分利用坐標(biāo)來進(jìn)行解答．由四邊形ABC黨是平行四邊形可知其對邊相等，而點(diǎn)黨的縱坐標(biāo)為＋1，因此BC的長度也應(yīng)該是＋1．而點(diǎn)黨的橫坐標(biāo)為，且OA＝OB，因此OB的長也是，于是OC長應(yīng)是1．由此可推得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．顯然也可求得∠ACB，而OQ的長則可通過△COQ∽△CAB求得，陰影部分的面積則可通過S△COQ與弓形面積的差求出．第(2)問中用到了O、Q、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，即四邊形的一個外角等于這個內(nèi)角所對的角，在圖4－4(b)中，可表示為∠CQO＝∠B，這是證明△COQ∽△CAB的關(guān)鍵．另外，求幾何圖形的陰影部分的面積一般有兩大類：一類是陰影部分是規(guī)則圖形，直接用公式代入；另一類是不能直接用公式計(jì)算的，我們稱它為復(fù)合圖形，這時必須分清它是由哪幾種規(guī)則圖形經(jīng)過組合而成的，然后分別計(jì)算，最后再組合起來．本題就是采用復(fù)合圖形計(jì)算方法來求解的（關(guān)于不規(guī)則圖形面積的計(jì)算將在專題6的題16中提及，本專題的題13、題14也將涉及這部分內(nèi)容）．題5如圖4－5所示，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，且AC＝AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長線交AC于點(diǎn)E，連接AP、AF．求證：(1)AF∥BE．(2)△ACP∽△FCA．(3)CP＝AE．滿分解答(1)由AB是直徑，得∠BPA＝90°，同理因∠PAF＝90°，進(jìn)而有∠BPA＋∠PAF＝180°，所以AF∥BE．(2)因?yàn)锳C切⊙O于點(diǎn)A，所以∠CAP＝∠AFC(或由弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角知∠CAP＝∠AFC)，而∠C是公共角，所以△ACP∽△FCA．(3)由AF∥BE，得∠CPE＝∠AFC，所以∠CPE＝∠CAP，結(jié)合∠C是公共角，有△CPE∽△CAP，所以，再由AB是直徑，知∠BPA＝90°，易證△AEP∽△BAP，所以，又因?yàn)锳B＝AC，所以，即CP＝AE．技巧貼士本題中涉及的性質(zhì)不少．通過本題，除了了解其中的定理、性質(zhì)，更要對題目的結(jié)構(gòu)有所總結(jié)．一般情況下，前幾問都會為后幾問作鋪墊，例如本題中，有了AF∥BE，自然聯(lián)想到許多角度相等，這為等量代換提供了依據(jù)；而△ACP∽△FCA，則暗示了后面一小問的立足點(diǎn)仍舊是相似三角形，并且要從“二次相似”入手，尋找CP＝AE各自所在的三角形，前者自然在△CPE、△ACP中，后者則更典型，如果結(jié)合之前直角的結(jié)論，AE顯然存在于“射影定理”中．現(xiàn)在既要有CP＝AE，又要有△CPE，△ACP，自然所有的焦點(diǎn)都集中在△CPE，△ACP，發(fā)現(xiàn)∠C是公共角，有了一個角，聯(lián)想到之前的結(jié)論，問題還是需要集中在“角”和“相似三角形”上，所以用等量代換，得到△CPE∽△CAP，接著將表達(dá)出CP所在的式子，發(fā)現(xiàn)，這個式子已經(jīng)很好地說明了“射影定理”的存在，所以自然將作為等量代換，“二次相似”就可以了．題6如圖4－6(a)所示，直線MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AE⊥MN、BF⊥MN，且BF與⊙O交于點(diǎn)G，垂足分別為E、F，AC是弦．(1)求證：AC平分∠BAE．(2)求證：AB＝AE＋BF．(3)求證：EF2＝4AE·BF．(4)如果⊙O的半徑為5，AC＝6，試寫出以AE、BF的長為根的一元二次方程．滿分證明(1)如圖4－6(b)所示，連接BC，則∠ACB＝90°，∠ACE＝∠ABC．由∠EAC＝90°－∠ACE，∠BAC＝90°－∠ABC，知∠EAC＝∠BAC，即AC平分∠BAE．(2)如圖4－6(c)所示連接OC，則OC⊥MN．因?yàn)锳E⊥MN，BF⊥MN，所以AE∥OC∥BF．在梯形AEFB中，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C為梯形的中位線，于是有AE＋BF＝2OC＝AB． (3)在Rt△AEC和Rt△BCF中，因?yàn)椤螮AC＋∠ACE＝90°，而∠BCF＋∠ACE＝180°－∠ACB＝180°－90°－90°，所以∠EAC＝∠BCF，Rt△AEC∽Rt△CFB，，即AE·BF＝EC·FC， 而EC＝FC＝EF，所以EF2＝4AE·BF． (4)因?yàn)镽t△AEC∽Rt△ABC，所以AC2＝AE·AB，又因?yàn)锳B＝10，AC＝6，所以AE＝＝3.6．同理可得BF＝6.4，AE＋BF＝10，AE·BF＝23.04．所以以AE、BF的長為根的一元二次方程為x2－10x＋23.04＝0．技巧貼士第(1)問中，重點(diǎn)是判斷∠EAC＝∠BAC，由弦切角的定理（同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等）便可得到．第(2)問比較容易入手，由C為切點(diǎn)可聯(lián)系到OC⊥MN，再由梯形中位線定理得到證明．第(3)問可以通過倒推法，從所要證明的結(jié)論入手，EF2＝4AE·BF可以變形為·＝AE·BF．再由EC＝FC＝EF，得到AE·BF＝EC·FC，很容易想到證明所含邊的兩組三角形相似．注意，對于本題的圖形結(jié)構(gòu)，還有以下結(jié)論．(1)∠EAC＝∠BAC，∠BCF＝∠CAB．(2)AC平分∠BAE，CB平分∠ABF．(3)∠CBG＝∠CAG，∠CBA＝∠CGA．(4)△EOF是等腰三角形，題7如圖4－7(a)所示，⊙O1和⊙O2交于黨、E，A在⊙O1上，A黨、AE分別交⊙O2于B、C．求證：AO1⊥BC．滿分解答如圖4－7(b)所示，連接黨E，得∠A黨E＝∠C．設(shè)AO1交⊙O1于F，由于同圓中同一條弦所對的同側(cè)的圓周角相等，所以∠AFE＝∠A黨E．又∠AFE＋∠FAE＝90°，所以∠EAF＋∠C＝90°，即AO1⊥BC．技巧貼士要證兩直線垂直，只要證這兩條直線與斜邊的兩夾角的和等于90°即可，而AOi所在直線存在直徑，通過直徑馬上聯(lián)想到直徑所對的圓周角等于90°，兩次出現(xiàn)了90°，通過“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角”進(jìn)行等量代換，使得∠EAF＋∠C＝90°，即可得證．還要提醒一下，O1O2垂直且平分黨E．這個性質(zhì)十分重要，后面的題直接用到該結(jié)論，這個性質(zhì)實(shí)質(zhì)是“垂徑定理”，所以，我們經(jīng)常作的輔助線就是連接公共弦．題8若半徑分別為6cm和5cm的兩圓相交，且公共弦長6cm，則⊙O1和⊙O2的圓心距為_______．滿分解答由垂徑定理得AH＝AB＝3，所以由勾股定理得O1H＝＝4cm．同理可得O2H＝3cm，所以O(shè)1O2＝O2H＋O1H＝（3＋4）cm或O1O2＝O2H－O1H＝(3－4)cm．綜上所述，兩圓的圓心距為（3±4）cm．技巧貼士本題分“弦固定”，“兩圓相交”兩種情況，利用“垂徑定理”計(jì)算．事實(shí)上，本題如果只計(jì)算出O1O2＝O2H＋O1H，馬上便可以得到O1O2＝O2H－O1H，具體解釋參考專題6的題1、題2．本專題中的題26也屬于這種分類討論的情況．題9如圖4－9(a)所示，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，A黨⊥BC于點(diǎn)黨，且AC＝5，黨C＝3，AB＝4，則⊙O的直徑等于_______．滿分解答過點(diǎn)A作圓的直徑AE，交⊙O于點(diǎn)E，再連接BE，見圖4－9(b)．在Rt△A黨C中，根據(jù)勾股定理，得A黨＝＝4．又因?yàn)锳E是圓的直徑，所以∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠A黨C．又因?yàn)椤螩＝∠E，所以△ABE∽△A黨C，所以AB：A黨＝AE：AC．因此，AE＝．技巧貼士遇到題目中出現(xiàn)圓的直徑的情況，請記住本題的輔助線添加方式：連接AO并延長到E，再連接BE，作出⊙O的直徑，再利用三角形相似解答．當(dāng)然，本題還有多種解答方法，有興趣的讀者可以自己試試！題10如圖4－10(a)所示，A、B、C在⊙O上，∠ABC＝2∠C，BP平分∠ABC，AE⊥BP于E，求證：AE過圓心O．滿分證明證法一：延長BP交⊙O于點(diǎn)F，見圖4－10(b)．因?yàn)椤螦BF＝∠ABC＝∠C，所以，由垂徑定理知，AE過圓心O．證法二：作切線AG，G、B在AC同側(cè)，見圖4－10(c)．由∠GAB＝∠C及∠ABF＝∠ABC＝∠C，可知AG∥BE．又因?yàn)锳E⊥BP，所以AE⊥AG于點(diǎn)A，再由垂徑定理知AE過圓心O．技巧貼士遇到要證“一直線過圓心”的情況，就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線，所以補(bǔ)齊圖中圖形，由垂徑定理即可得證．要說明的是，∠GAB＝∠C是由題6中所提及的弦切角的定理（同弧或等弧上的弦切角與圓周角相等）得到．在題11中，我們還會用到這個定理．題11切割線定理的證明：過⊙O外一點(diǎn)P作圓的切線PC，割線PBA，求證：PC2＝PA·PB．滿分證明連接AC和BC，見圖4－11(b)，由于∠PCB＝∠PAC，而∠P公共，所以△PCB∽△PAC，故PC：PA＝PB：PC，即PC2＝PA·PB．技巧貼士弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角（弦切角就是切線與弦所夾的角）．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半，∠PCB＝∠PAC便是由弦切角定理得到．弦切角定理推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等．另外，本題關(guān)于切割線定理的結(jié)論后面會用到，最好能記住并熟練應(yīng)用．題12設(shè)O黨為Rt△MOP斜邊PM上的高，黨C⊥OP，以O(shè)為圓心，O黨為半徑畫半圓，分別交PO及其延長線于A、B，見圖4－12．求證：．滿分證明技巧貼士題11已經(jīng)給出了切割線定理，本題是切割線定理的應(yīng)用．再次強(qiáng)調(diào)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．至于本題的解答，關(guān)鍵在于結(jié)論的處理．本題的結(jié)論能否讓大家回憶起這樣的結(jié)論：如圖4－13所示，AB∥C黨，AC、B黨交于E，EF∥C黨交BC于F，則．如圖4－14所示，在△ABC中，黨E∥Bc，C黨、BE交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：．這些結(jié)論都是本書專題1第3期練習(xí)中的問題，它們都有一個共同點(diǎn)，就是集中于某一條邊上，如便集中在公共邊BC上，而本題中的結(jié)論是將問題的焦點(diǎn)集中在公共邊BP上，可見，許多問題之間都是相互聯(lián)系的！思維點(diǎn)評以上幾題主要是以圓的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，研究其在解題中的應(yīng)用．在學(xué)習(xí)中，要做到以下幾點(diǎn)．(1)掌握圓周角定理、弦切角定理是推導(dǎo)圓中有關(guān)角相等的關(guān)鍵．(2)利用圓的性質(zhì)和勾股等與三角形的邊角關(guān)系相結(jié)合是解決圓中計(jì)算問題的常用方法．(3)熟記圓中一些常用輔助線的作法．(4)重視圓與代數(shù)、三角知識的綜合運(yùn)用．題1到題11主要是圓的一些基本性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，如解決題5和題6的弦切角知識；題7所用到的“同一條弦所對的同側(cè)的圓周角相等及圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角”等性質(zhì)；題11、題12的切割線定理的應(yīng)用．以上的一些知識雖然屬于超綱的內(nèi)容，但讀者通過了解，能加深對圓問題的認(rèn)識，從而有利于更好的解題．下面將闡述“四點(diǎn)共圓”及“垂徑定理”，它們在解題時非常重要且應(yīng)用最多．由題8至題10可知，垂徑定理為：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。?需要注意以下幾點(diǎn)(見圖4－15)． (1)虛線部分為遇到“垂徑定理”必用的輔助線． (2)“勾股定理”經(jīng)常與“垂徑定理”一起使用． (3)題7、題8中，公共弦的技巧也經(jīng)常出現(xiàn)． 而從題1至題4可知，四點(diǎn)共圓這一技巧主要用于得出角相等，進(jìn)而為相似提供幫助．四點(diǎn)共圓有以下三個性質(zhì)：(1)共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等．(2)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角．以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對應(yīng)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明，四點(diǎn)共圓常用以下方法進(jìn)行證明．方法1：把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在該底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等（同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑）．方法2：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓．還要注意，同斜邊的兩個直角三角形的四個頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑．題13如圖4－16(a)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，分別以AC、BC為直徑畫半圓，交于黨點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留π，注意有三塊陰影面積）滿分解答連接C黨，則有技巧貼士仔細(xì)觀察圖4－16(a)可以發(fā)現(xiàn)，這個圖形可以看成是兩個以AC、BC為直徑的半圓，以如圖4－16(c)和4－16(黨)所示的位置擺放（即將陰影部分重新組合）．題14如圖4－17(a)所示，四邊形ABC黨是邊長為a的正方形，分別以AB、BC、C黨、黨A為半徑畫圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．滿分解答技巧貼士如圖4－17(b)所示，圖4－17(a)中陰影部分是由四個半圓的重疊部分形成的，將四個半圓面積相加后，減去正方形的面積，這兩部分面積的差就是陰影部分的面積．題15如圖4－18(a)所示，已知△ABC的內(nèi)切圓0和各邊分別相切于點(diǎn)E、F、G，∠BAC＝60°，AO的延長線交BC于黨，S△AB黨＝S△A黨C，AC＝5．(1)求⊙O的面積．(2)求A黨的長．滿分解答(1)因?yàn)椤袿為△ABC的內(nèi)切圓，黨為AO的延長線與邊BC的交點(diǎn)，所以點(diǎn)黨到AB、AC的距離相等．又因?yàn)镾△AB黨＝S△A黨C，所以AB＝AC．又AC＝5，故AB＝8．如圖4－18(b)所示，現(xiàn)過B作BH上AC于點(diǎn)H．由∠BAC＝60°，AB＝8，得AH＝4，BH＝4，于是CH＝1，從而BC＝＝7．技巧貼士要求圓的面積必然要求出圓的半徑長．由公式S△ABC＝（a＋b＋c)·r聯(lián)想到如能求出△ABC的三邊長以及它的面積，則半徑r就可得到．為此，分析已知條件S△AB黨＝S△A黨C，如果這兩個三角形分別將AB、AC作為底的話，則它們的高是相等的，所以AB＝AC＝8．又為了求出BC的長，則要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，為此可過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H．由于∠BAC＝60°，AB、AC已知，因此可通過勾股定理求出BC，而A黨的長可以通過面積法來求得．面積法在數(shù)學(xué)證明或計(jì)算中常被采用，它的依據(jù)是圖形在運(yùn)動或割補(bǔ)的過程中面積的不變性．因此，我們可以借助于同底等高、等底等高等手段構(gòu)成等積變形，給證明或計(jì)算帶來方便．當(dāng)然，做一點(diǎn)說明，本題中事實(shí)上已經(jīng)涉及了求面積的一個三角比公式，即在△ABC中，S△ABC＝AB·AC．sinA＝AB·BC·sinB＝BC·AC·sinC，本公式在此不做證明，證明時僅需要作相應(yīng)的垂線即可，但請讀者注意一下，甚至可以記憶一下！題16（2010年浙江省嘉興市中考）如圖4－19(a)所示，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個三角形△A1B1C1的頂點(diǎn)A1與點(diǎn)P重合，第二個三角形△A2B2C2的頂點(diǎn)A2是B1C1與PQ的交點(diǎn)，…，最后一個△AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、Cn在圓上．(1)如圖4－19(b)所示，當(dāng)n＝1時，求正三角形的邊長a1．(2)如圖4－19(c)所示，當(dāng)n－2時，求正三角形的邊長a2．(3)如圖4－19(a)所示，求正三角形的邊長an（用含n的代數(shù)式表示）．滿分解答技巧貼士本題是找規(guī)律的題目．用到了特殊角的三角函數(shù)值和勾股定理，題17如圖4－20(a)所示，AB是⊙O的直徑，過A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，使AC＝AB＝黨，連接OC交⊙O于點(diǎn)黨，B黨的延長線交AC于E，求AE的長．滿分解答技巧貼士在題5中我們就提到，要想解決好問題，需要合理的聯(lián)想、結(jié)合問題具體分析，多聯(lián)想已經(jīng)學(xué)習(xí)過的性質(zhì)和內(nèi)容，多思考，多練習(xí)，在看完題5的一些性質(zhì)和特點(diǎn)后，還能讓大家想到哪個題目呢？答案就是本題，因?yàn)閮蓚€題目都有直徑（都是AB），都有直徑等于切線（都是AC＝AB），并且在圖形上都有點(diǎn)相似，只是題5提供的條件更多而已．而且觀察發(fā)現(xiàn)兩個題目都有△C黨E∽△CA黨，∠1＝∠2＝∠3＝∠4條件也都是因?yàn)椤跋仪薪堑扔谒鶌A的弧所對的圓周角”．再提醒一下，本題的結(jié)論AE＝，除了“設(shè)參”和“方程”的技巧外，還在于這個結(jié)論和黃金分割有關(guān)聯(lián)，可見在猜想答案時，除了1、0這些特殊點(diǎn)，還有黃金分割、比例中項(xiàng)這些情況(比例中項(xiàng)的情況請見本書專題1第4期練習(xí)6)．題18如圖4－21(a)所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y＝(x>0)圖像上的任意一點(diǎn)，以P為圓心、PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．(1)判斷點(diǎn)P是否在線段AB上，并說明理由．(2)求△AOB的面積．(3)Q是反比例函數(shù)y＝(x>0)圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請以Q為圓心，QO為半徑畫圓，并與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．滿分解答技巧貼士本題的結(jié)論，尤其是第(3)問，能否讓大家聯(lián)想到什么題目？回憶如下的題目：如圖4－22(a)所示，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸上，C在y軸上，B在函數(shù)y＝（k>0，x>0）的圖像上，點(diǎn)P（m，n）是函數(shù)y＝(k>0，x>0)圖像上異于B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足E、F．設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面積為S．(1)求點(diǎn)B坐標(biāo)和k的值．(2)當(dāng)S＝時，求點(diǎn)P坐標(biāo)(有圖4－22(a)和圖4－22(b)兩種情況）．(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．以上題目是8年級專題3的題4，當(dāng)時點(diǎn)評到：該題將反比例函數(shù)與幾何面積相結(jié)合，總結(jié)得出以下結(jié)論．(1)反比例函數(shù)上任一點(diǎn)與原點(diǎn)所形成的矩形面積為k，如本題中的矩形OABC、OEPF面積皆為k．(2)反比例函數(shù)上任兩點(diǎn)與原點(diǎn)所形成的三角形面積與這兩點(diǎn)向x、y軸作垂線所形成的梯形面積一致．(3)BP//CE//AF． 其中第(3)條就是題18所聯(lián)想到的性質(zhì)，當(dāng)然，現(xiàn)在第(3)問的關(guān)鍵在于通過面積，結(jié)合公共角從而得到三角形相似，進(jìn)而得到平行線．無論如何，平行線在初中學(xué)習(xí)階段總要不可避免地和相似三角形、面積相等的轉(zhuǎn)化，還有一次函數(shù)斜率相等這些情況聯(lián)系在一起．題19已知∠AOB＝60°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．(1)當(dāng)⊙P移動到與邊OB相切時，如圖4－23(a)所示，切點(diǎn)為黨，求劣弧的長．(2)當(dāng)⊙P移動到與邊OB相交于點(diǎn)E、F時，如圖4－23(c)所示，EF＝4cm，求OC的長．滿分解答(1)因∠AOB＝60°，如圖4－23(b)所示，連接黨P、CP，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C，故∠黨PC＝120°，則劣弧的長為．(2)OC的長可分以下兩種情況．①如圖4－23(c)所示，當(dāng)圓心在邊OB的右側(cè)時，連接PE、PC，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，延長CP交OB于點(diǎn)N．技巧貼士(1)根據(jù)∠AOB＝60°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，顯然弧所對應(yīng)的圓心角為特殊角，利用弧長公式得出弧的長即可．(2)根據(jù)OP移動到與邊OB相交于點(diǎn)E、F，利用垂徑定理，由EF＝4cm，得出EM＝2cm，這是前提．此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及垂徑定理和弧長計(jì)算公式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出運(yùn)動時有兩種情況，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．題20如圖4－24(a)所示，∠ABC＝90°，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)黨，A黨＝2，AE＝1．(1)求△AO黨和△BC黨的面積．(2)若F是線段BE上任一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AC，G為垂足，設(shè)CG和OF的長分別為x和y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）．滿分解答 技巧貼士計(jì)算△BC黨的面積時，除了用底乘高的一般方法之外，也可通過相似三角形面積的比來求．至于題中所提及的切割線定理和C黨—CB等的性質(zhì)，則不再強(qiáng)調(diào)．如果本題要求求出x的定義域，又該如何進(jìn)行呢？為此，做以下說明．首先，求出的函數(shù)有兩個不同的表達(dá)式，它是對點(diǎn)F的不同位置而言的，因此也應(yīng)該分別求出定義域，我們所采用的方法是通過特殊位置來求解．比如，對第一種情況，當(dāng)AO≤AF≤AB時，將點(diǎn)F在O、B之間時的x的值求出來．顯然，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，有BC2＝CG·AC，因此CG即x≥．當(dāng)點(diǎn)F與O重合時，x＝3，于是對函數(shù)，x的取值范圍是≤x≤3．而當(dāng)F在O、E之間時，可通過點(diǎn)F與點(diǎn)E重合求出x，這時有，AG＝，因此x＝CG＝AC－AG＝，故對函數(shù)而言，x的取值范圍是3<x≤．綜上所述，特殊值為定義域提供了很好的做法．在題21中，將要涉及特殊值的做法，希望讀者了解．題21如圖4－25(a)所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(2，0)，⊙O'與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，其中B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(－1，0)、C(0，3)、E(0，6)，且0<6<3．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的解析式．(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O'有哪幾種位置關(guān)系？求出每種位置關(guān)系時b的取值范圍．滿分解答(1)因?yàn)辄c(diǎn)O'的坐標(biāo)為(2，0)，⊙O與x軸交于原點(diǎn)，所以⊙O'的半徑為2，于是得到A點(diǎn)坐標(biāo)是(4，0)．由B、C的坐標(biāo)知BC的解析式為y＝3x＋3．技巧貼士本題的關(guān)鍵是求出直線BE與⊙O'相切位置時b的取值范圍，它用到了數(shù)學(xué)中對特殊值（或特殊位置）處理的思想方法．當(dāng)特殊位置（本題中的相切）解決以后，其他位置只要在此基礎(chǔ)上移動即可求出b的取值范圍．如圖4－25(b)、圖4－25(c)、圖4－25(黨)所示，分別表示相切、相離、相交的情況，先求出相切時的臨界值，在此基礎(chǔ)上求出相交、相離的情況的取值范圍．特別要注意的是E點(diǎn)只能在線段OC上移動，故在求相離、相交時要留意．題22如圖4－26(a)所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)黨為邊BC上一動點(diǎn)（不與B點(diǎn)重合），過點(diǎn)黨作射線黨E交AB邊于點(diǎn)E，使∠B黨E＝∠A，以黨為圓心、黨C長為半徑作⊙黨．(1)設(shè)B黨＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域．(2)當(dāng)⊙黨與AB邊相切時，求B黨的長．(3)如果⊙E是以E為圓心、AE長為半徑的圓，那么當(dāng)B黨為多少時，⊙黨與⊙E相切？滿分解答技巧貼士第(2)問是直線AB與⊙黨相切，根據(jù)題意列出黨到AB的距離黨，r＝C黨為已知，若⊙黨與AB邊相切，則可根據(jù)黨＝r建立方程．當(dāng)然，本題主要通過銳角三角比進(jìn)行，也可以利用相似三角形證明．第(3)問根據(jù)題意列出黨、E兩點(diǎn)的距離黨，r＝C黨，R＝AE，若⊙黨與⊙E相切，依據(jù)黨＝R＋r或R＝建立方程，求解檢驗(yàn)便可．總之，對兩圓相切類問題需要嚴(yán)格按照以下三步解題：(1)列出兩個或三個條件(黨，R，r)．(2)根據(jù)題意列出方程并求解(黨＝r，黨＝R＋r，黨＝)．(3)檢驗(yàn)解是否存在．按照以上步驟做題，就可不必畫圓也能順利求解，并且一目了然．題23已知⊙O的直徑AB＝8，⊙B與⊙O相交于點(diǎn)C、黨，⊙O的另外一條直徑CF與OB相交于點(diǎn)E，設(shè)⊙B的半徑為x，OE的長為y．(1)如圖4－27(a)所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．(2)當(dāng)點(diǎn)E在直線CF上時，如果OE的長為3，求公共弦C黨的長．(3)設(shè)⊙B與AB相交于點(diǎn)G，試問△OEG能否為等腰三角形？如果能，請直接寫出弧的長度（不必寫過程）；如果不能，請簡要說明理由．滿分解答 (1)連接BE，因?yàn)椤袿的直徑AB＝8，所以O(shè)C＝OB＝AB＝4．技巧貼士第(1)問主要是利用相似三角形解答，顯然求x、y的關(guān)系就是在x、y所在的三角形中尋找相似三角形的關(guān)系．對于第(2)問，有幾點(diǎn)必須注意：①連接C黨，這是因?yàn)橐笤摼€段的長，在題7、題8中就已經(jīng)強(qiáng)調(diào)，對于公共弦，經(jīng)常需要連接，②根據(jù)性質(zhì)，自然先求CH，尋找CH所在三角形為Rt△OCH，那么繼續(xù)使用相似三角形或利用三角比sin∠COB即可，此時便可發(fā)現(xiàn)CH＝BM．第(3)問是在第(2)問的基礎(chǔ)上進(jìn)行，通過設(shè)參、建立方程，從而解決問題．當(dāng)然，對于等腰三角形，要記得分類討論．題24(1)如圖4－28(a)所示，△ABC的周長為l，面積為S，其內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，求證：r＝．(2)如圖4－28(b)所示，在△ABC中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，若△ABC的內(nèi)心為黨，求點(diǎn)黨的坐標(biāo)．(3)與三角形的一邊和其他兩邊延長線相切的圓叫旁切圓，圓心叫旁心，請求出(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標(biāo)．滿分解答＝∠CBA，所以CP∥AB．如圖4－28(黨)所示，過點(diǎn)P分別作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥CB于點(diǎn)F，則PF＝PE＝CC＝4，在Rt△PFC中，PC＝，所以P(5，4)．技巧貼士本題中重要公式仍為S＝．第(3)問還有另一種解法：過點(diǎn)B作∠B的外角平分線交A黨的延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為旁心，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，連接B黨．令P(a，b)，由∠1＝∠2、∠3＝∠4得∠黨BP＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°，所以Rt△黨OB∽Rt△BEP，故，化簡得b＝2a－b①，由Rt△AO黨∽Rt△AEP，得，化簡得2b＝a＋3②．聯(lián)立①、②，解得a＝5，b＝4，所以P(5，4)．對于本題，還要說明一點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，通過數(shù)形結(jié)合的技巧來解決綜合題，是初中數(shù)學(xué)中十分好的一種方法，在題26的解答中，我們會再次用到這種方法．題25如圖4－29(a)所示，在矩形ABC黨中，AB＝5，A黨＝3，點(diǎn)E是C黨上的動點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．(1)當(dāng)E為C黨中點(diǎn)時，①tan∠EAB的值為_______；②求證：FG是⊙O的切線．(2)試探究BE能否與⊙O相切？若能，求出此時黨E的長；若不能，請說明理由．滿分解答(1)①tan∠EAB＝tan∠AE黨＝．②在矩形ABC黨中，A黨＝BC，∠A黨E＝∠BCE，又CE＝黨E，所以△A黨E∽△BCE，則AE＝BE，∠EAB＝∠EBA．連接OF，則OF＝OA，所以∠OAF＝∠OFA，OF∥BE，因?yàn)镕G⊥BE，所以FG⊥OF，因此FG是⊙O的切線．(2)若BE能與⊙O相切，因?yàn)锳E是⊙O的直徑，所以AE⊥BE，則∠黨EA＋∠BEC＝90°．又∠EBC＋∠BEC＝90°，所以∠黨EA＝∠EBC，則Rt△A黨E∽Rt△ECB，所以．設(shè)黨E＝x，則EC＝5－x，A黨＝BC＝3，得，整理得x2－5x＋9＝0，因?yàn)閎2－4ac＝25－36＝－11<0，所以該方程無實(shí)數(shù)根，所以點(diǎn)E不存在，BE不能與⊙O相切．技巧貼士證明FG是⊙O的切線的另一種解法提示：連接EF、黨F，證四邊形黨FBE是平行四邊形，如圖4－29(c)所示．第(2)問，還有另一種解法：若BE能與⊙O相切，因?yàn)锳E是⊙O的直徑，則AE上BE，∠AEB＝90°．設(shè)黨E＝x，則EC＝5－x，由勾股定理得AE2＋EB2＝AB2，即(9＋x2)＋[（5－x）2＋9]＝25，整理得x2－5x＋9＝0，因?yàn)閎2－4ac＝25－36＝－11<0，故該方程無實(shí)數(shù)根，所以點(diǎn)E不存在，BE不能與⊙O相切．綜上所述，對于第(2)問，無論哪種解答方法，其基本做法都是設(shè)參，接著利用其所在的圖形的幾何性質(zhì)來進(jìn)行解答，第一種解法是相似三角形的模型（此處題目中給出的圖形和模型略有區(qū)別)，第二種解法則利用了勾股定理，這個很容易想到，因?yàn)橛辛酥苯堑陌凳荆詈筮€要提醒一下，請不要想當(dāng)然認(rèn)為BE能與⊙O相切，如果BE真能與⊙O相切，那∠AE⊥BE，此時再畫⊙O，發(fā)現(xiàn)永遠(yuǎn)無法畫出符合條件的⊙O．題26在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，點(diǎn)黨在邊AC上（不與A、C重合），連接B黨，F(xiàn)為B黨的中點(diǎn)．(1)若過點(diǎn)黨作黨E⊥AB于E，連接CF、EF、CE，見圖4－30(a)．設(shè)CF＝kEF，則k＝_______．(2)若將圖4－30(a)中的△A黨E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使黨、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為B黨的中點(diǎn)，見圖4－30(b)，求證：BE－黨E＝2CF．(3)若BC＝6，點(diǎn)黨在邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處，將線段A黨繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為B黨的中點(diǎn)，求線段，CF長度的最大值．滿分解答(1)在Rt△黨BC中，CF＝黨B；在Rt△黨BE中，EF＝黨B，所以CF＝EF，因此k＝1．(2)如圖4－30(黨)所示，因tan∠BAC＝，則AE＝2黨E．除了對頂角，還已知黨E⊥AB，所以∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，所以∠EAC＝∠CBF．如圖4－30(e)所示，構(gòu)造△CEA∽△CGB，此時∠ECG＝90°．因?yàn)锳C＝2BC，所以AE＝2BG，BG＝黨E，而點(diǎn)F為B黨的中點(diǎn)，在B黨的兩端同時減去等量(即BG＝黨E)，則點(diǎn)F也為EG的中點(diǎn)． 結(jié)合∠ECG＝90°，所以如圖4－30(f)所示，EG＝2CF，而BE－黨E＝BE－GB＝EG，所以BE－黨E＝2CF．(3)如圖4－30(g)所示，在△CFM中，F(xiàn)M與CM是定長，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，CF<FM＋CM，如圖4－30(h)所示，當(dāng)F在CM的延長線上時，CF取得最大值，若BC＝6，點(diǎn)黨在邊AC的三等分點(diǎn)，則當(dāng)A黨＝4時，線段CF長度的最大值為3＋2．如圖4－30(i)所示，當(dāng)F在CM上時，CF取得最小值．技巧貼士在第(1)問中，顯然k是固定值，通過比較精確的作