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四川省仁壽一中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面,的法向量分別為,,則()A. B.C.,相交但不垂直 D.,的位置關(guān)系不確定2.函數(shù),的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5,m)和(m,8)的直線的斜率等于1,則m的值為()A.5 B.8C. D.74.某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化,不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè).把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào),若018號(hào)被抽中,則下列編號(hào)也被抽中的是()A.076 B.122C.390 D.5225.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出S的結(jié)果是()A.128 B.64C.16 D.326.已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,直線與C交于點(diǎn)M,N,若四邊形的面積為且,則C的離心率為()A. B.C. D.7.過(guò)雙曲線(,)的左焦點(diǎn)作圓:的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,雙曲線的左頂點(diǎn)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)(且,)的一個(gè)極值點(diǎn)為2,則的最小值為()A. B.C. D.79.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積,則()A. B.C. D.10.已知橢圓的離心率,為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若定點(diǎn),則的最大值為A. B.C. D.11.若不等式在上有解,則的最小值是()A.0 B.-2C. D.12.已知,向量,,若,則x的值為()A.-1 B.1C.-2 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者,則所選3人中男女生都有的概率為_(kāi)__________.(用數(shù)字作答)14.如圖,正方體中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是,AB,的中點(diǎn),則直線與GF所成角的大小是______(用反三角函數(shù)表示)15.如圖,四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱,AB是一條側(cè)棱,是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn),則集合中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____16.若、是雙曲線的左右焦點(diǎn),過(guò)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于,兩點(diǎn).若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知命題p:直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),命題q:直線與直線平行.(1)若,判斷命題“”的真假;(2)若命題“”為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)(1)求直線和曲線的普通方程;(2)直線與軸交于點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求19.(12分)已知直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求;(2)是否存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時(shí),y=f(x)有極值(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上最大值和最小值21.(12分)在三棱柱中,側(cè)面正方形的中心為點(diǎn)平面,且,點(diǎn)滿足(1)若平面,求的值;(2)求點(diǎn)到平面的距離;(3)若平面與平面所成角的正弦值為,求的值22.(10分)已知命題:;:.(1)若“”為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若“”為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫妫姆ㄏ蛄糠謩e為,,所以,即不垂直,則,不垂直,因?yàn)?,即即不平行,則,不平行,所以,相交但不垂直,故選:C2、A【解析】利用基本不等式可得,進(jìn)而可得,即求.【詳解】∵,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),∴,,∴.故選:A.3、C【解析】根據(jù)斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn),寫(xiě)出組數(shù)與對(duì)應(yīng)抽取編號(hào)的關(guān)系式,即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意,780名公務(wù)員中,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人,則需要分為組,每組人;設(shè)第組抽取的編號(hào)為,故可設(shè),又第一組抽中號(hào),故可得,解得故,當(dāng)時(shí),.故選:.5、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫(xiě)出執(zhí)行步驟,即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯,其執(zhí)行步驟如下:1、成立,則;2、成立,則;3、成立,則;4、成立,則;5、不成立,輸出;故選:C6、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形,設(shè),進(jìn)而得,根據(jù)四邊形面積求出點(diǎn)M的坐標(biāo),再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程,解方程即可.【詳解】如圖,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,由橢圓的對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形,設(shè)點(diǎn),由,得,因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為,所以,得,由,得,解得,所以,即點(diǎn),代入橢圓方程,得,整理得,由,得,解得,由,得.故選:A7、C【解析】根據(jù),,可以得到,從而得到與的關(guān)系式,再由,,的關(guān)系,進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解:由,,則是圓的切線,,,,所以,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,即為故選:C8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由給定極值點(diǎn)可得a與b的關(guān)系,再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得:,因函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2,則,此時(shí),,,因,即,因此,在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負(fù),2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則有,又,,于是得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,所以的最小值為.故選:B9、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有,再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡(jiǎn)求即可.【詳解】由,∴,在中,,∴,解得.故選:A.10、C【解析】首先求得橢圓方程,然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得:,據(jù)此可得:,橢圓方程為,設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,故:,當(dāng)時(shí),.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程問(wèn)題,橢圓中的最值問(wèn)題等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式能成立問(wèn)題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可以進(jìn)行分情況討論.12、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量,,,則,解得,所以x的值為2.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是,所選3人中男女生都有的方法數(shù)為,所以概率為故答案為:14、【解析】連接,由得出直線與GF所成角,再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接,因?yàn)?,所以直線與GF所成角為.設(shè),則,,,又異面直線的夾角范圍為,所以直線與GF所成角的大小是.故答案為:15、1【解析】根據(jù)空間平面向量的運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖像可知,,則因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1,,所以,所以,故集合中的元素個(gè)數(shù)為1故答案為:116、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°,利用余弦定理算出c=a,結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形,可知,A為雙曲線上一點(diǎn),,B為雙曲線上一點(diǎn),則,即,∴由,則,已知,在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得:,得c2=7a2,則e2=7?e=故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求雙曲線的離心率,常常不能經(jīng)過(guò)條件直接得到a,c的值,這時(shí)可將或視為一個(gè)整體,把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程,從而得到離心率的值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)命題“”為真命題(2)【解析】(1)先判斷命題p,命題q的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷;(2)根據(jù)命題“”真命題,由p為真命題,q為假命題求解.【小問(wèn)1詳解】解:對(duì)于命題p,易知直線與雙曲線的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn),∴命題p為假命題;對(duì)于命題q,時(shí),有與,顯然兩條直線垂直,∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問(wèn)2詳解】∵命題“”為真命題,∴p為真命題,q為假命題.對(duì)于命題p,由得,直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即此方程有兩個(gè)不同的正根,∴得.對(duì)于命題q,要使命題q為真,則,解得,∴命題q為假命題,即.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.18、(1),(2)4【解析】(1)根據(jù),即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;消參數(shù),即可求出曲線的普通方程;(2)由題意易知,求出直線的參數(shù)方程,將其代入曲線的普通方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,即可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解:直線極坐標(biāo)方程為,即,又,可得的普通方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),消參數(shù),所以曲線的普通方程為【小問(wèn)2詳解】解:在中令得,,傾斜角,的參數(shù)方程可設(shè)為,即(為參數(shù)),將其代入,得,,設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,,異號(hào),.19、(1);(2)不存在,理由見(jiàn)解析.【解析】(1)當(dāng)時(shí),將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式可求得;(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)、,將直線與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由已知可得出,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出,即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)點(diǎn)、,當(dāng)時(shí),聯(lián)立,可得,,由韋達(dá)定理可得,,所以,.【小問(wèn)2詳解】解:假設(shè)存在實(shí)數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)、,聯(lián)立得,由題意可得,解得且,由韋達(dá)定理可知,因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則,所以,,整理可得,該方程無(wú)實(shí)解,故不存在.20、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組,即可得解;(2)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,再和端點(diǎn)值比較即可得解.【詳解】(1)由題意,,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,所以,,又當(dāng)時(shí),y=f(x)有極值,所以,所以;(2)由(1)得,,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;又,,,,所以在[-3,1]上的最大值為,最小值為.21、(1);(2);(3)或.【解析】(1)連接ME,證明即可計(jì)算作答.(2)以為原點(diǎn),的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系,借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中,因,即點(diǎn)在上,連接ME,如圖,因平面面,面面,則有,而為中點(diǎn),于是得為的中點(diǎn),所以.【小問(wèn)2詳解】在三棱柱中,面面,則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,又為正方形,即,而平面,以為原點(diǎn),的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,依題意,,則,,設(shè)平面的法向量為,則,令,得,又,則到平面的距離,所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)3詳解】因,則,,設(shè)面
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