四川省綿陽市綿陽中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

四川省綿陽市綿陽中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A={x|?2<x<4}，集合B={x|(x?6)(x+1)<0}，則A∩B=A.{x|1<x<4} B.{x|x<4或x>6}C.{x|?2<x<?1} D.{x|?1<x<4}2．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.43．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.4．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定5．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.16．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（）A. B.C. D.7．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.8．橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.89．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.10．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．2018年，倫敦著名的建筑事務(wù)所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座教堂輕盈，極簡和雕塑般的氣質(zhì)，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線下支的一部分，且該雙曲線的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，到漸近線距離為12，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．一直線過點(diǎn)，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.14．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.15．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則______16．?dāng)?shù)列滿足，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，證明：20．（12分）已知圓C過點(diǎn)，，它與x軸的交點(diǎn)為，，與y軸的交點(diǎn)為，，且.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線，從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個動點(diǎn)，求的最小值22．（10分）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點(diǎn)，且該橢圓的離心率為，（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（Ⅱ）求過點(diǎn)的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由(x?6)(x+1)<0，得?1<x<6，從而有B={x|?1<x<6}，所以A∩B={x|?1<x<4}，故選D2、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，所以，所?故選：C3、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D4、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點(diǎn)睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.5、D【解析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因?yàn)椋?，解得：，又，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.6、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.8、C【解析】根據(jù)橢圓的離心率，即可求出，進(jìn)而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B10、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、A【解析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，即，上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中一條漸近線為，上焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，解得，，即，故選：.12、A【解析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因?yàn)?，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。14、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，即故答案：15、-2【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合垂徑定理和勾股定理表示出圓心到弦的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到弦的距離，解方程即可求得的值.【詳解】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓心為，半徑圓C與直線相交于、兩點(diǎn),且，由垂徑定理和勾股定理得圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得，所以，解得，故答案為：.16、【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求得的值.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因?yàn)椋?，由，?解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由成等比數(shù)列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算和裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點(diǎn)情況，即可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設(shè)，由零點(diǎn)可得，進(jìn)而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當(dāng)a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點(diǎn)，當(dāng)a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，設(shè)，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設(shè)，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，法一：應(yīng)用極值點(diǎn)偏移方法構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點(diǎn)可得，再由分析法將問題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F(xiàn)的值即可得到圓的方程；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點(diǎn)，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)，所以有，解之得，故點(diǎn)，∴反射光線所在直線過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.21、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)?，則當(dāng)時，取最小值23.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出的值