基于二次插值函數(shù)的分形插值曲面

基于二次插值函數(shù)的分形插值曲面

0分形插值曲面的生成分段插值曲線是截面幾何理論的重要組成部分。廣泛應(yīng)用于圖形和數(shù)據(jù)處理、科學(xué)研究、地理科學(xué)和計(jì)算機(jī)工程建模等領(lǐng)域。在矩形區(qū)域中,一般通過構(gòu)造二元迭代函數(shù)系生成分形插值曲面,但有嚴(yán)格的限制條件。文獻(xiàn)給出了矩形區(qū)域上分形插值曲面更加一般的連續(xù)性條件,但這一條件也過于苛刻,且在實(shí)際應(yīng)用中不易判別。文獻(xiàn)中應(yīng)用一元遞歸分形插值函數(shù)生成分形插值曲面,并給出了這類插值曲面盒維數(shù)的一個(gè)下界估計(jì),這種方法解除了邊界插值結(jié)點(diǎn)共線和壓縮因子相等的限制條件,使得分形插值更具靈活性,更有利于實(shí)際應(yīng)用。本文研究了由二次分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的變差與盒維數(shù)。第1節(jié)介紹了基于二次插值函數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造方法;第2節(jié)給出了連續(xù)函數(shù)中心變差的概念,以及連續(xù)函數(shù)圖像的盒維數(shù)的計(jì)算公式;第3節(jié)研究了分形插值函數(shù)的中心變差的性質(zhì),對(duì)分形插值曲面的的中心變差進(jìn)行了估計(jì),并利用二元連續(xù)函數(shù)的中心變差與其圖像計(jì)盒維數(shù)之間的關(guān)系,得到了分形插值曲面的計(jì)盒維數(shù)。1定義雙曲迭代函數(shù),型fy,a設(shè)I=,J=,△={(xi,yj,zij):i=0,1,…,N;j=0,1,…,M}為I×J上的插值結(jié)點(diǎn),其中,0=x0<x1<…<xN=1;0=y0<y1<…<yM=1。記Ii=[xi-1,xi],Jj=[yj-1,yj]和K=J×R。對(duì)于i=0,1,2,…,N,假設(shè)ui(y),y∈J,分別是過插值結(jié)點(diǎn)△xi={(xi,yj,zij):j=0,1,2,…,M}的一組連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)給定壓縮因子集S={s1,s2,…,sN},其中,|si|<1?i=1,2,?,Ν|si|<1?i=1,2,?,N。固定y∈J,對(duì)于i=1,2,…,N,令Fy,i(x,z)=siz+by,ix2+cy,i滿足條件:Fy,i(x0,u0(y))=ui-1(y);Fy,i(xN,uN(y))=ui(y),(1)定義映射wy,i:K→K,wy,i(xz)=(Li(x)Fy,i(x,z))=(aix+eisiz+by,ix2+cy,i),i=1,?,Ν,(2)其中,ai=xi-xi-1;ei=xi-1。由條件(1)可得:{siu0(y)+by,ix20+cy,i=ui-1(y);siuΝ(y)+by,ix2Ν+cy,i=ui(y)。(3)定義度量d((x1,z1),(x2,z2))=|x1-x2|+θ|z1-z2|,其中θ=min{1-ai}4max{|by,i|}。易證wy,i在此度量下是壓縮映射。則由文獻(xiàn)可得下面的定理。定理1對(duì)y∈J=,{K,wy,i,i=1,2,…,N}構(gòu)成雙曲迭代函數(shù)系,且存在I上的連續(xù)函數(shù)fy,使得fy的圖像Γ(fy)={(x,fy(x))|x∈Ι}是迭代函數(shù)系{K,wy,i,i=1,2,…,N}的不變集,即Γ=∪Νi=1wy,i(Γ),并且fy(xi)=ui(y),i=1,2,…,N,稱fy是對(duì)應(yīng)于{K,wy,i,i=1,2,…,N}的二次分形插值函數(shù)。定義函數(shù)F:×→R,使得F(x,y)=fy(x)。(4)引理1設(shè)fy、fy′分別為過插值集△y={(xi,y,ui(y)):i=0,1,…,N},△y′={(xi,y′,ui(y′)):i=0,1,…,N}的分形插值函數(shù),且有相同的壓縮因子S={s1,s2,…,sN},則:|fy(x)-fy′(x)|≤3(1+s)1-smax{|ui(y)-ui(y′)|,i=0,1,?,Ν},其中s=max{|si|,i=1,2,?,Ν}。引理2F為式(4)定義的二元連續(xù)函數(shù),則F連續(xù)。證明|F(x,y)-F(x′,y′)|≤|fy(x)-fy(x′)|+|fy(x′)-fy′(x′)|,因?yàn)閒y連續(xù),則|x-x′|<δ1時(shí),?ε>0,|fy(x)-fy(x′)|<ε2,又由引理1得:|fy(x′)-fy′(x′)|≤3(1+s)1-smax{|ui(y)-ui(y′)|,i=1,2,?,Ν},又ui連續(xù),則|y-y′|<δ2時(shí),?ε>0,max{|ui(y)-ui(y′)|<1-s6(1+s)ε。所以,|fy(x′)-fy′(x′)|<ε2。故|x-x′|+|y-y′|<min{δ1,δ2}時(shí),|F(x,y)-F(x′,y′)|<ε,即證F連續(xù)。2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,連續(xù)函數(shù)的變差是量化函數(shù)圖像粗糙性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù),對(duì)于變差的性質(zhì)及它與分形維數(shù)的關(guān)系有了較多的研究,參見文獻(xiàn)。為了方便以后的研究,下面給出中心振幅與中心變差的定義。設(shè)D={ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn):ai≤ξi≤bi,i=1,2,…,n}?Rn,任給ξ∈D,令D[ξ;δ1,δ2,…,δn]=D∩([ξ1-δ1,ξ1+δ1]×[ξ2-δ2,ξ2+δ2]×…×[ξn-δn,ξn+δn])。定義1設(shè)f為D上的連續(xù)函數(shù),實(shí)數(shù)δ1,δ2,…,δn≥0,對(duì)于ξ∈D,稱supξ′∈D[ξ;δ1,δ2,?,δn]|f(ξ′)-f(ξ)|為f在點(diǎn)ξ處的(δ1,δ2,…,δn)-中心振幅,記為Ocf;δ1,δ2,?,δn(ξ)。由振幅的定義,顯然振幅與中心振幅有下面關(guān)系:12Οf;δ1,δ2,?,δn(ξ)≤Οcf;δ1,δ2,?,δn(ξ)≤Οf;δ1,δ2,?,δn(ξ)。(5)定義2稱∫DOcf;δ1,δ2,?,δn(ξ)dξ為函數(shù)f在D上的(δ1,δ2,…,δn)-中心變差,記作Vcf;δ1,δ2,…,δn(D)。特別地,當(dāng)δ1=δ2=…=δn=δ時(shí),簡記為Vcf;δ(D)。由式(5),顯然有:12Vf;δ1,δ2,?δn(D)≤Vcf;δ1,δ2,?δn(D)≤Vf;δ1,δ2,?δn(D)。根據(jù)計(jì)盒維數(shù)與變差的關(guān)系,容易得到計(jì)盒維數(shù)與中心變差的關(guān)系。定理2設(shè)Γ(f,D)是連續(xù)函數(shù)f的圖像,則:ˉdimB(Γ(f,D))=ˉlimδ→0+(n+1-logVcf;δ(D)logδ);dimˉB(Γ(f,D))=limˉδ→0+(n+1-logVcf;δ(D)logδ)。3中心振幅定義引理3設(shè)fy是定理1確定的分形插值函數(shù),則Vcfy;δ(I)在J上關(guān)于y連續(xù)。證明Γ={fy:y∈J}?C()在<C,|?|∞>上緊,則Γ等度連續(xù),即對(duì)每一x0∈I,ε>0,?δ>0,若|x-x0|<δ,對(duì)?y∈J,|fy(x)-fy(x0)|<ε2;|fy0(x)-fy0(x0)|<ε2。|y-y0|<δ時(shí),|fy(x)-fy(x0)|-|fy0(x)-fy0(x0)|≤|fy(x)-fy(x0)|+|fy0(x)-fy0(x0)|,則Ocfy;δ(x)<Ocfy0;δ(x)+ε,因此,Vcfy;δ(I)<Vcfy0;δ(I)+ε。故|Vfy;δ(Ι)-Vfy0;δ(Ι)|<ε,即證Vfy;δ(I)連續(xù)。引理4若對(duì)于某一yc∈J,插值結(jié)點(diǎn){xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共線,則存在閉區(qū)間[a,b]?J,對(duì)于任意y∈[a,b],插值結(jié)點(diǎn){xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共線。證明因?yàn)閧xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共線,存在i0∈{1,…,N-1},使得h(yc)≠0,其中,h(y)=ui0(y)-[u0(y)+(uN(y)-u0(y))xi0]。由于ui0(y)、u0(y)和uN(y)均為區(qū)間J上的連續(xù)函數(shù),從而h(y)在J上也連續(xù)。因此,存在閉區(qū)間[a,b]?J,對(duì)于任意y∈[a,b],函數(shù)h(y)≠0。所以,當(dāng)y∈[a,b]時(shí),點(diǎn)集{xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共線。引理證畢。定理3F是由式(4)定義的二元連續(xù)函數(shù),對(duì)于任意0≤a<b≤1有:VcfyA;δ(Ι)(b-a)≤VcF;δ(Ι×J)≤VcfyB;δ(Ι)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Vcui;δ(J),(6)其中,VcfyB;δ(I)=max{Vfy;δ(I),yB∈J};VcfyA;δ(I)=min{Vfy;δ(I),yA∈[a,b]}。證明任給(x,y)∈D,由中心振幅定義容易證明Ocfy;δ(x)≤OcF;δ(x,y)。另一方面,由于|F(x,y)-F(x′,y′)|≤|f(x,y)-f(x,y′)|+|f(x,y′)-f(x′,y′)|,由引理1得:ΟcF;δ(x,y)≤Οcfy;δ(x)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Οcui;δ(y)。因此,ΟcF;δ(x,y)≤ΟcF;δ(x,y)≤Οcfy;δ(x)+3(1+s)1-sΝ∑i=1Οcui;δ(y)。則:∫JVcfy;δ(Ι)dy≤VcF;δ(Ι×J)≤∫JVcf;δ(Ι)dy+3(1+s)1-sΝ∑i=1Vcui;δ(J)。(7)由引理3知:存在yB∈J和yA∈[a,b],使得:VcfyB;δ(I)=max{Vfy;δ(I),yB∈J},VcfyA;δ(I)=min{Vfy;δ(I),yA∈[a,b]}。由式(7)可得式(6)成立。定理即證。定理4F∶×→R是連續(xù)函數(shù),Γ(F,D)是它的圖像,設(shè)maxdimB(fy)=d1,y∈J,max{dimB(ui),i=1,2,…,N}=d2且d1≥d2,則:dimB(Γ(F,D))=dimB(Γ(F,D))=dimB(Γ(F,D))=1+d1。證明(Ⅰ)∑Νi=1|si|>1,且△y={(xi,y,ui(y)):i=0,1,…,N}不共線時(shí),d1>1,由文獻(xiàn)中結(jié)論及定理2可得,存在正常數(shù)B1、B2和B3,以及δ0>0,使得當(dāng)0<δ<δ0時(shí),有VcfyA;δ(I)≥B1δ2-d1,VcfyB;δ(I)≤B2δ2-d1,Vcui;δ(J)≤B3δ2-d2。再由定理2和定理3得:ˉdim(Γ(F,D))≤ˉlimδ→0+(3-log[B2δ2-d1+3(1+s)1-sB3δ2-d2]logδ)=1+d1;dimˉB(Γ(F,D))≥limˉδ→0+(3-log[(b-a)B1δ2-d1]logδ)=1+d1。(Ⅱ)∑Μj=1|sj|=1時(shí),d1=1,存在正常數(shù)B4和δ0,使得當(dāng)0<δ<δ0時(shí)有:VcfyB;δ(I),Vcui;δ(J)≤(-B4)lnδ·δ,從而,ˉdimB(Γ