2012年-隨機(jī)過程試題

2010級(jí)計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)專業(yè)研究生《隨機(jī)過程》課程試題1設(shè)電話總機(jī)在(0，t)內(nèi)接到電話呼叫數(shù)X(t)是具有強(qiáng)度(每分鐘)為的泊松過程，求(1)兩分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率；(2)“第二分鐘內(nèi)收到第三次呼叫”的概率。2設(shè)到達(dá)某路口的綠、黑、灰色汽車的到達(dá)率分別為l，2，3，且均為怕松過程，它們相互獨(dú)立。若把這些汽車合并成單個(gè)輸出過程(假定無長(zhǎng)度，無延時(shí))，求(1)相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔的概率密度；(2)汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻的間隔概率密度。3某商店每日8時(shí)開始營(yíng)業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客到達(dá)率線性增加，在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為5人／時(shí)，11時(shí)到達(dá)率達(dá)最高峰20人／時(shí)。從11時(shí)到13時(shí)，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人／時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到17時(shí)顧客到達(dá)率為12人。假定在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問在8：30一9：30問無顧客到達(dá)商店的概率是多少?在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望是多少?第3章264設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2戶定居，即＝2。如果每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3，一戶二人的概率為1/3，一戶一人的概率為1/6，并且每戶的人口數(shù)是相互獨(dú)立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。5已知隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(3)及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。6已知本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：(1)；(2)；求下一、二個(gè)月的銷售狀態(tài)分布。7某商品六年共24個(gè)季度銷售記錄如下表(狀態(tài)l一暢銷，狀態(tài)2一滯銷)季度123456789101112銷售狀態(tài)112122111212季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)112211212111以頻率估計(jì)概率。求(1)銷售狀態(tài)的初始分布；(2)三步轉(zhuǎn)移概率矩陣及三步轉(zhuǎn)移后的銷售狀態(tài)分布。8設(shè)老鼠在下圖所示的迷宮中作隨機(jī)游動(dòng)．當(dāng)它處在某個(gè)方格中有k條通道時(shí)．以概率1/k隨機(jī)通過任一通道．求老鼠作隨機(jī)游動(dòng)的狀態(tài)空間、轉(zhuǎn)移概率矩陣及狀態(tài)空間可分解成幾個(gè)閉集。11234567899艾倫菲特斯(Erenfest)鏈。設(shè)甲乙兩個(gè)容器共有2N個(gè)球，每隔單位時(shí)間從這2N個(gè)球中任取一球放入另一容器中，記Xn為在時(shí)刻n甲容器中球的個(gè)數(shù)，則{Xn,n>=0}是齊次馬爾科夫鏈，稱為艾倫菲特斯鏈。求該鏈的平穩(wěn)分布。10設(shè)河流每天BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鰱，狀態(tài)空間I={1．2，3，4}是按BOD濃度為極低、低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣(以一天為單位)為【見筆記】若BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)。(1)證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；(2)求該鏈的平穩(wěn)分布；(3)河流再次達(dá)到圬染的平均時(shí)間4。11設(shè)連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈具有轉(zhuǎn)移概率其中是正數(shù)，表示一個(gè)生物群體在時(shí)刻t的成員總數(shù)。求柯爾莫哥洛夫方程、轉(zhuǎn)移概率。(提示：利用以下結(jié)果，若，k為實(shí)數(shù)，h(t)為連續(xù)函數(shù)，，則。)12一質(zhì)點(diǎn)在1．2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在[t,t+h)內(nèi)，它以概率分別轉(zhuǎn)移到其它二點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫方程、轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。13設(shè)某車間有M臺(tái)車床．由于各種原因車床時(shí)而工作，時(shí)而停止．假設(shè)時(shí)刻t，一臺(tái)正在工作的車床，在時(shí)刻t+h停止工作的概率為，而時(shí)刻t不工作的車床，在時(shí)刻t+h開始工作的概率為，且各車床工作情況是相互獨(dú)立的。若N(t)表示時(shí)刻t正在工作的車床數(shù)。求(1)齊次馬爾可夫過程的平穩(wěn)分布；(2)若，系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)有一半以上車床在工作的概率。14排隊(duì)問題。設(shè)有一服務(wù)臺(tái)，[0,t)內(nèi)到達(dá)服務(wù)臺(tái)的顧客數(shù)是服從泊松分布的隨機(jī)變量，即顧客流是泊松過程。單位時(shí)間到達(dá)服務(wù)臺(tái)的平均人數(shù)為。服務(wù)臺(tái)只有一個(gè)服務(wù)員．對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間是按指數(shù)分布的隨機(jī)變量，平均服務(wù)時(shí)間為1/。如果服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)到達(dá)的顧客立即接受服務(wù)；如果顧客到達(dá)時(shí)服務(wù)員正在為另一顧客服務(wù)，則他必須排隊(duì)等候；如果顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有二人在等侯，則他就離開而不再回來。設(shè)X(t)代表在t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的顧客人數(shù)(包括正在被服務(wù)的顧客和排隊(duì)等侯的顧客)，該人數(shù)就是系統(tǒng)所處的狀態(tài)。于是這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間為I＝{0，1，2，3}；又設(shè)在t=0時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)0，即服務(wù)員空閑著。求過程的Q矩陣及t時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)j的絕對(duì)概率pj(t)所滿足的微分方程。15一條電路供m個(gè)焊工用電，每個(gè)焊工均是間斷用電?，F(xiàn)作如下假設(shè)|：①若一焊工在t時(shí)用電，而在(t，t+Δt)內(nèi)停止用電的概率為Δt+o(Δt)；②若一焊工在t時(shí)沒有用電，而在(t，t+Δt)內(nèi)用電的概率為Δt+o(Δt)。每焊工的工作情況是相互獨(dú)立的。設(shè)X(t)表示在t時(shí)正在用電的焊工數(shù)。(1)求該過程的狀態(tài)空間和Q矩陣；(2)設(shè)X(0)＝0，求絕對(duì)概率pj(t)滿足的微分方程；(3)當(dāng)t→∞時(shí)，求極限分布pj。16設(shè)[0，t)內(nèi)到達(dá)的顧客服從泊松分