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文檔簡介
初中數(shù)學(xué)八年級——勾股定理勾股定理探索與驗證
這是我們中國古代的一道數(shù)學(xué)問題,它的求解,將要涉及今天我們開始學(xué)習(xí)的新的一章《勾股定理》的知識。創(chuàng)設(shè)情境,揭示問題湖靜浪平六月天,荷花半尺出水面;忽來一陣狂風(fēng)急,吹倒荷花水中偃;湖面之上不復(fù)見,入秋漁翁始發(fā)現(xiàn);殘花離根二尺遠(yuǎn),試問水深尺若干。
勾股定理有著悠久的歷史。古巴比倫的人和古代中國人看出了這個關(guān)系;古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個關(guān)系。很多具有古老文化的民族和國家都會說:我們首先認(rèn)識的數(shù)學(xué)定理是勾股定理。人類一直想要弄清其他星球是否存在著“人”,并試圖與“他們”取得聯(lián)系。那么我們怎樣才能與“外星人”接觸呢?我們曾用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號。
勾股定理有著悠久的歷史。古巴比倫的人和古代中國人看出了這個關(guān)系;古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個關(guān)系。很多具有古老文化的民族和國家都會說:我們首先認(rèn)識的數(shù)學(xué)定理是勾股定理。人類一直想要弄清其他星球是否存在著“人”,并試圖與“他們”取得聯(lián)系。那么我們怎樣才能與“外星人”接觸呢?我們曾用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號。
現(xiàn)在我們大家來試一試:我們可不可以發(fā)現(xiàn)勾股定理!溫故知新三角形按邊分類按角分類探索研究,學(xué)習(xí)新知直角邊1直角邊2斜邊1:342:68快樂之旅試一試請你用刻度尺和直角三角尺畫圖:1、用直角三角板畫出直角;2、用刻度尺畫出兩條直角邊,一條長3厘米,另一條為4厘米。3、畫出斜邊,并度量出斜邊的長度。4、再用相同的方法畫出直角邊為6、8的直角三角形,量出斜邊的長度,并將各邊的長度填入下表(不清楚操作過程的看老師在黑板上的操作)510
你想一想:這直角三角形三邊之間有沒有一定的等量關(guān)系?1.在方格紙上畫一個頂點都在格點上的直角三角形ABC,使兩直角邊分別為3cm和4cm,如圖3-79所示,試量出它的斜邊c的長度.探究b=4ACc=?我量的為5cm.Ba=3(圖中每個小方格代表一個單位面積)abcACB9個單位面積9個單位面積18個單位面積直角邊a2+直角邊b2=斜邊c2
在下面的直方格圖中,有一個等腰直角三角形,并分別以三邊為邊長作出了正方形,請你觀察并思考:
(1)你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎?(2)你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流。觀察思考:ABC(單位面積)ABC我們也可以采用計算的方法,找出直角三角形三邊的關(guān)系此處是如何計算出C的面積的?ABC圖1-3反思:注意分割的方法,分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形(面積單位)問題:如果不是等腰直角三角形,是否同樣具有其相同的性質(zhì)呢?我們注意觀察右圖:
SA+SB=SC即:兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積
勾股定理(gou-gutheorem)
如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc勾股弦在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理!概括:
我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的邊稱為股,斜邊稱為弦。在中國古代,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾",下半部分稱為"股"。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”.勾股數(shù)學(xué)醫(yī)院a2+b2=c2是勾股定理的基本表達(dá)式,你可以寫出那些它基本的變化形式呢?把你的想法寫在草稿上,與同學(xué)交流一下.a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2平方形式:abc表達(dá)形式1、判斷:(1)已知a、b、c是三角形的三邊,則a2+b2=c2()(2)在直角三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方。()(3)在直角三角形ABC中,,則a2+b2=c2
()2、填空:在直角三角形ABC中,∠C=900(1)如果a=3,b=4,則c=(2)如果a=6,C=10,則b2=
舉手發(fā)言×××564勾股定理的故事美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.
美國總統(tǒng)能證明勾股定理,我們也能證明勾股定理!1876年、周末、傍晚、美國首都華盛頓的郊外、俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德、散步,欣賞黃昏的美景.一個小石凳上,有兩個小孩正在爭論.只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形.伽菲爾德問他們在干什么?小男孩頭也不抬地說:“請問先生,如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢?”伽菲爾德答到:“是5呀.”小男孩又問道:“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少?”伽菲爾德不加思索地回答到:“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說道:“先生,你能說出其中的道理嗎?”伽菲爾德語塞,無法解釋,心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步,立即回家,潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算,終于弄清楚了其中的道理,并給出了簡潔的證明方法。
我們將利用拼圖法來證明勾股定理:cab
請大家相互合作,用準(zhǔn)備好的四個直角三角形紙板拼成一個正方形,拼一拼看,你們能拼出幾種正方形?
根據(jù)你拼的正方形,你能否就你拼出的圖說明a2+b2=c2?勾股定理的證明合作探究cabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcab∵(a+b)2=
c2+4?ab/2a2+2ab+b2=
c2+2ab∴a2+b2=c2
大正方形的面積可以表示為________;也可以表示為________.(a+b)2c2+4?ab/2想一想:我們?nèi)绾卫蒙厦娴膱D形建立關(guān)于直角三角形的三邊關(guān)系呢?指點迷津
1.將圖沿中間的小正方形的對角線剪開,得到如圖所示的梯形.利用此圖的面積表示式驗證勾股定理.
2.如圖,分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形,然后分別以三個正方形的中心為圓心、正方形邊長的一半為半徑作圓.試探索三個圓的面積之間的關(guān)系.
3.如圖,已知直角三角形ABC的三邊分別為6、8、10,分別以它的三邊為直徑向上作三個半圓,求圖中陰影部分的面積.4.如圖,以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓,試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.反思:我們用面積方法驗證了勾股定理,我們也可以用勾股定理考察面積關(guān)系.對比思考下列各題小小測驗感受新知cabcabcabcab
請你根據(jù)左邊的拼圖,驗證勾股定理。
驗證:小正方形的面積可以表示為(a-b)2;也可以表示為c2-4?ab/2.
∵(a-b)2=c2-4?ab/2a2-2ab+b2=c2-2ab
∴a2+b2=c2學(xué)幾何的人都知道勾股定理.它是幾何中一個比較重要的定理,應(yīng)用十分廣泛.迄今為止,關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種.你要了解更多的有關(guān)勾股定理的知識嗎?請上網(wǎng)查一查吧!本節(jié)課你有什么收獲?1、用數(shù)直方格的方法,利用面積相等,探索了勾股定
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