基于柔度法的鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)非彈性分析

基于柔度法的鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)非彈性分析

1有限單元柔度法隨著計(jì)算機(jī)性能的快速提高和結(jié)構(gòu)分析理論和技術(shù)的發(fā)展，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析已進(jìn)入詳細(xì)、客觀的方向。我們希望能夠通過可靠的計(jì)算機(jī)模擬來代替一些結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)和抗彎性能。在桿系結(jié)構(gòu)眾多的非彈性單元分析模型中,基于有限單元法的梁柱單元被廣泛認(rèn)為是適應(yīng)求解問題類型最廣、分析精度和分析效率綜合性能較好的單元分析模型之一。其中最為常見的是基于剛度法的單元分析模型。該模型以假定的單元位移插值函數(shù)為出發(fā)點(diǎn),在分析中單元內(nèi)部的位移場分布總是滿足該假定的位移分布形式,而對單元內(nèi)部的截面力場的分布并未要求滿足平衡條件。當(dāng)單元實(shí)際位移場分布形式與假定位移場分布形式有較大差異時(shí),計(jì)算效果便會(huì)受到影響,甚至不能反映問題的真實(shí)本質(zhì),因此往往通過加密計(jì)算網(wǎng)格(一根桿件離散為多個(gè)單元)的方法來逼近真實(shí)位移場。這種處理方式明顯加大了求解問題的規(guī)模,犧牲了計(jì)算的效率,甚至?xí)饠?shù)值分析上的不穩(wěn)定性及收斂性問題的發(fā)生。另外,空間桿系結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析中,由于鋼筋混凝土材料的力學(xué)性能十分復(fù)雜,如何確定梁柱單元在多軸加載狀態(tài)下的截面恢復(fù)力模型,如加載曲面、后繼加載面、破壞曲面以及軟化效應(yīng)等等,在應(yīng)用中是比較困難的問題。目前比較實(shí)用有效的解決方法是采用纖維模型,其主要思路是將分析截面離散化為若干根纖維,假定每根纖維處于單軸應(yīng)力狀態(tài),同時(shí)整個(gè)截面變形采用平截面假定,并根據(jù)相應(yīng)纖維材料的單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來計(jì)算整個(gè)截面的力與變形的非線性關(guān)系。針對上述問題,Mahasuverachai和Powell首次引入柔度對單元形函數(shù)進(jìn)行修正;Zeris和Mahin更進(jìn)一步提出了基于有限單元柔度法建立梁柱單元的思路,以單元截面力插值函數(shù)作為出發(fā)點(diǎn),其特點(diǎn)在于,對于假定的內(nèi)力分布,在不考慮單元分布荷載任意變化的前提下,無論桿件處于何種狀態(tài),即使是進(jìn)入軟化階段,作為單元控制方程之一的平衡條件都是能嚴(yán)格滿足的。如何將基于柔度法的有限單元并入現(xiàn)有的基于剛度法建立的有限元分析程序是實(shí)施這種思想的一個(gè)主要障礙。目前,通過Ciampi、Carlesimo、Taucer、Spacone等人的努力與改進(jìn)已能實(shí)現(xiàn)將這種基于柔度法形成的單元并入基于直接剛度法編制的通用有限元分析程序,并成功地將柔度法與纖維模型梁柱單元結(jié)合起來,提出基于有限單元柔度法的纖維模型梁柱單元。由于有限單元柔度法纖維模型梁柱單元提出時(shí)間不長,而且在整體結(jié)構(gòu)非線性分析中進(jìn)行程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜,因此目前在國內(nèi)還很少有人涉及。本文分別基于有限單元柔度法和有限單元?jiǎng)偠确ǖ牧褐鶈卧治隼碚?采用纖維模型,編制了鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)非彈性分析程序,并通過算例對兩種單元分析方法進(jìn)行比較研究。2梁柱單元分析的基本理論2.1tinax面為截面,nx面元,u.nx,z方向的位移場矢量分別用{F}e和uksvhp4e表示梁柱單元的桿端力和桿端位移矢量。若忽略桿件的剪切及扭轉(zhuǎn)變形,則截面力矢量{F(x)}s和截面變形矢量{d(x)}s可分別表示為Nx(x)為截面軸力,My(x)、Mz(x)分別為繞截面y、z軸的彎矩,εx為截面軸向應(yīng)變,?y(x)、?z(x)分別為繞截面y、z軸的曲率。單元位移場矢量u(x),v(x),w(x)分別為單元桿軸上任一點(diǎn)處的x,y,z方向的位移。以下討論僅限于考慮材料非線性問題,暫不涉及幾何非線性問題。2.2單元?jiǎng)偠染仃嚮贓uler-Bernoulli梁柱理論,對于最為常見的兩結(jié)點(diǎn)單元,其位移插值函數(shù)可采用橫向位移三次埃米特多項(xiàng)式插值、軸向位移拉格朗日線性插值。單元位移場可采用下式描述:式中[Ns(x)]e為單元位移形函數(shù)矩陣。根據(jù)截面變形與位移的幾何關(guān)系可得式中[B(x)]為幾何變換矩陣,可由(4)式求導(dǎo)變換得到。引入一般化截面本構(gòu)關(guān)系:式中[k(x)]s為截面切線剛度矩陣。應(yīng)用虛位移原理及上述幾何、本構(gòu)關(guān)系(5)、(6)式,經(jīng)推導(dǎo)后可得式中單元?jiǎng)偠染仃嘗為單元長度。由式(8)可知,單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e除依賴于截面切線剛度矩陣[k(x)]s外,幾何變換矩陣[B(x)]也對單元?jiǎng)偠染仃囉兄匾绊?。幾何變換矩陣[B(x)]的e準(zhǔn)確性完全依賴于單元位移形函數(shù)矩陣[Ns(x)]e的準(zhǔn)確性,因而在截面切線剛度矩陣準(zhǔn)確的前提下,當(dāng)單元位移形函數(shù)矩陣能較為準(zhǔn)確描述單元實(shí)際位移分布時(shí),便能得到較好的分析結(jié)果。當(dāng)單元進(jìn)入強(qiáng)非線性階段后,由于此時(shí)單元位移場的實(shí)際分布十分復(fù)雜,采用通常的單元位移形函數(shù)矩陣將難于準(zhǔn)確描述,因而此時(shí)一般只能采取加密網(wǎng)格的辦法,即采取多個(gè)單元模擬一根桿件的方式,以提高問題求解精度。2.3截面剛度矩陣在柔度法中需首先給定單元截面力形函數(shù)矩陣,用以描述單元截面力場{F(x)}s。對于梁柱單元,其平衡的微分形式為(qx(x)、qy(x)、qz(x)為單元分別沿x、y、z方向分布荷載)。該平衡方程與單元處于何種狀態(tài)無關(guān),即使單元處于強(qiáng)非線性階段仍能成立。根據(jù)上述平衡關(guān)系及單元力學(xué)邊界條件可得到下式以描述單元截面力場矢量:式中[Nf(x)]為單元截面力形函數(shù)矩陣。例如當(dāng)qx(x)、qy(x)、qz(x)為0時(shí),即無單元荷載情形:其它單元荷載形式可作相應(yīng)變動(dòng)。值得注意的是,基于柔度法的梁柱單元推導(dǎo)時(shí)需在無剛體位移模式下進(jìn)行,此時(shí)桿端力矢量為{F}e=[NxMyiMyjMziMzj]T,單元桿端位移矢量cv6w6xfe也需做相應(yīng)調(diào)整。顯然,當(dāng)所分析問題與上述單元截面力形函數(shù)矩陣假定一致時(shí),其平衡關(guān)系(9)式是準(zhǔn)確的,與單元所處的非線性狀態(tài)無關(guān)。若截面一般化本構(gòu)關(guān)系采用柔度表述的形式:式中[f(x)]s為截面切線柔度矩陣。應(yīng)用虛力原理及上述平衡、本構(gòu)關(guān)系(9)、(11)式,經(jīng)推導(dǎo)后可得式中單元柔度矩陣對單元柔度矩陣求逆便可得到單元?jiǎng)偠染仃?與基于剛度法的梁柱單元本質(zhì)上不同的是,單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e除同樣依賴于截面切線剛度矩陣[k(x)]s([k(x)]s=[[f(x)]s]-1)外,單元?jiǎng)偠染仃嚨臏?zhǔn)確性依賴于單元截面力形函數(shù)矩陣[Nf(x)]的準(zhǔn)確性。由于單元截面力形函數(shù)矩陣[Nf(x)]的假定通?？偸菧?zhǔn)確的,與單元所處的非線性狀態(tài)無關(guān),因而在對單元進(jìn)入強(qiáng)非線性階段的分析中基于柔度法的梁柱單元較之基于剛度法的梁柱單元具有明顯的計(jì)算優(yōu)勢。3單元抗力-剛度矩陣基于柔度法的梁柱單元在實(shí)際應(yīng)用中的主要難點(diǎn)在于如何將其在采用直接剛度法編制的通用有限單元分析程序中實(shí)施,如何確定在給定結(jié)點(diǎn)位移條件下的單元抗力和單元?jiǎng)偠染仃?即單元狀態(tài)確定問題。在基于剛度法形成的單元中這一問題是很容易解決的。在根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移得到相應(yīng)的單元桿端位移后,直接通過變形插值函數(shù)可求得截面的變形,再根據(jù)截面的本構(gòu)關(guān)系可求得相應(yīng)的截面抗力與切線剛度;然后通過對整個(gè)單元長度范圍內(nèi)的截面抗力與剛度的積分便分別得到單元的抗力與剛度矩陣,從而完成整個(gè)單元層次的狀態(tài)確定工作。對于基于柔度法形成的單元這一過程要復(fù)雜得多。盡管單元?jiǎng)偠染仃嚳捎蓡卧岫染仃嚽竽嫠玫?但是對于單元抗力則難以直接從截面抗力推導(dǎo)得到,通常只能通過迭代的方式獲得。Spacone提出了一種類似于在結(jié)構(gòu)層次求解平衡方程所用NR法(Newton-RaphsonMethod)的迭代方法運(yùn)用于單元層次的狀態(tài)確定。在結(jié)構(gòu)層次,經(jīng)過NR法迭代將每一加載步中的荷載與抗力間的不平衡力減小到足夠小的程度,并由此得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)層次各單元端部結(jié)點(diǎn)處的位移增量。在單元狀態(tài)確定階段的迭代就是將單元的殘余變形減小到足夠小的過程。表1對比了兩種方法在單元狀態(tài)確定階段步驟上的主要區(qū)別。圖1和圖2則用一維量的形式形象直觀地表達(dá)了柔度法在結(jié)構(gòu)層次NR迭代的第j步期間單元狀態(tài)確定和截面狀態(tài)確定之間的關(guān)系。4截面狀態(tài)的確定纖維模型用于建立截面在多軸加載條件下的恢復(fù)力關(guān)系。纖維模型的主要思路是將分析截面離散化為若干個(gè)小單元,即纖維(圖3),并在假定整個(gè)截面符合平截面的同時(shí)假定每根纖維處于單軸應(yīng)力狀態(tài),并根據(jù)相應(yīng)纖維材料的單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來計(jì)算整個(gè)截面的力與變形的非線性關(guān)系?？赏ㄟ^對單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的適當(dāng)修正達(dá)到更好地考慮截面的實(shí)際受力的目的,如箍筋的約束效應(yīng)等。與單元狀態(tài)的確定相類似,截面狀態(tài)的確定包括與截面變形{d(x)}s相應(yīng)的截面抗力{FR(x)}s和切線剛度[k(x)]s的計(jì)算。從圖3可知截面中任意點(diǎn)(x,y,z)的應(yīng)變值為式中[l(y,z)]=1[z-y]根據(jù)應(yīng)變所在位置處的材料本構(gòu)關(guān)系便可得到相應(yīng)的材料切線模量Etan(x,y,z)及應(yīng)力值σ(x,y,z)。再根據(jù)虛位移原理便可推導(dǎo)截面切線剛度矩陣[k(x)]s及抗力{FR(x)}s如下式所示:式中yi、zi、Ai、Eitan、ói分別為纖維的幾何中心坐標(biāo)、面積、材料切線模量及應(yīng)力。5比較分析的例子5.1計(jì)算結(jié)果對比懸臂梁如圖4所示,討論對于三種不同材料模型(圖5),分別采用有限單元?jiǎng)偠确ê腿岫确▋煞N不同方法分析。比較分析中無論是非線性方程組求解方法還是積分方法等均相同,以便考察僅由于單元分析方法的不同而導(dǎo)致的計(jì)算效率與精度的不同。圖6、7、8中FM1表示采用柔度法1個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算,SM1、SM2、SM4表示采用剛度法將懸臂梁分別離散為1、2、4個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算。由圖可看出,當(dāng)結(jié)構(gòu)處于線彈性階段時(shí),柔度法和剛度法的分析結(jié)果一致;當(dāng)所用材料的非線性特征較突出時(shí),剛度法要用4個(gè)單元才能較準(zhǔn)確地模擬該懸臂梁的反應(yīng),對于軟化階段,剛度法如只采用1個(gè)單元?jiǎng)t不能再現(xiàn)梁的軟化性能。而柔度法只用1個(gè)單元就能取得很好的分析結(jié)果。5.2模擬結(jié)果及分析驗(yàn)證Takizawa試驗(yàn)系列主要模擬在雙向水平地震作用下鋼筋混凝土構(gòu)件受到雙向彎曲變形時(shí)的耦合作用。其中試件4在定軸力作用下,沿兩水平位移方向采用了較為復(fù)雜的加載歷史,如圖10所示。盡管該試驗(yàn)由于采用人工加載方式,未能按原定意圖準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)加載控制,但試驗(yàn)結(jié)果仍很好地反映了雙向彎曲間的耦合作用效應(yīng)。圖11是Takizawa試件4的反力—位移試驗(yàn)曲線和原文基于塑性理論直接采用截面恢復(fù)力—變形關(guān)系的模擬分析結(jié)果;不難看出這種方法對雙向彎曲的模擬分析效果不是很好。圖12和圖13分別是本文基于剛度法和柔度法采用1個(gè)單元的模擬分析結(jié)果。從滯回曲線的形狀看,兩種方法的效果接近?；谟邢拊ǖ睦w維模型明顯優(yōu)于文獻(xiàn)中基于退化三線型擴(kuò)展的塑性理論模型。定量地看,剛度法盡管較好地再現(xiàn)了在復(fù)雜加載歷史下雙向彎曲間的耦合作用關(guān)系,但明顯高估了構(gòu)件的實(shí)際抗力,其誤差平均達(dá)到25%左右,初始時(shí)更是達(dá)到50%之多。這說明計(jì)算模型明顯偏于剛硬,需采用更多單元才能解決這一問題。計(jì)算表明,通常需采用4個(gè)單元才能有較為理想的分析結(jié)果?；谌岫确ǖ姆治瞿Ｐ蛣t表現(xiàn)出與試驗(yàn)結(jié)果良好的一致性。以上僅是構(gòu)件層次的比較分析和驗(yàn)證。目前已完成了基于柔度法和剛度法纖維模型梁柱單元的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)三維非線性地震反應(yīng)程序的編制工作,結(jié)構(gòu)層次的非線性全過程分析及多維地震輸入下的地震反應(yīng)分析的比較研究,將另文討論。6纖維模型梁柱單元本文通過對鋼筋混凝土空間框架結(jié)構(gòu)非彈性分析中兩種有限元方法進(jìn)行的比較研究,得出以下主要結(jié)論:對于結(jié)構(gòu)處于強(qiáng)非線性階段,尤其是對于處理下降段(軟化)問題,基于柔度法的