人教B版數(shù)學(xué)必修三講義第3章3.4概率的應(yīng)用Word版含答案

3.4概率的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步理解概率的意義及應(yīng)用．(重點(diǎn))2．能用概率的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)概率的應(yīng)用學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．通過(guò)概率解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).概率的應(yīng)用概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個(gè)常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生．1．已知某人在投籃時(shí)投中的概率為50%，則下列說(shuō)法正確的是()A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小為50%D．以上說(shuō)法均錯(cuò)C[概率是指一件事情發(fā)生的可能性大?。甝2．若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有()A．f(n)與某個(gè)常數(shù)相等B．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小C．f(n)與某個(gè)常數(shù)差的絕對(duì)值逐漸減小D．f(n)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定D[隨著n的增大，頻率f(n)會(huì)在概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系．]3．事件A發(fā)生的概率是eq\f(3,5)，則eq\f(3,5)表示的________．事件A發(fā)生的可能性的大小[根據(jù)概率的含義知eq\f(3,5)表示的是事件A發(fā)生的可能性大小．]4．在邊長(zhǎng)為2的正方形當(dāng)中，有一個(gè)封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機(jī)撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入陰影區(qū)域內(nèi)，那么陰影區(qū)域的面積近似為_(kāi)___________.eq\f(12,5)[設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，則eq\f(S,4)≈eq\f(60,100)，S≈eq\f(12,5).]概率在密碼中的應(yīng)用【例1】為了保證信息安全傳輸，有一種稱為密鑰的密碼系統(tǒng)(Private-KeyCryptosystem)，其加密、解密原理如下：明文明文．設(shè)加密密鑰為y＝ax＋1，明文“3”通過(guò)加密后得到密文“16”，接收方收到密文后，通過(guò)解密密鑰解密得到明文“3”．(1)若接收方接到密文為“64”，則解密后的明文是多少？(2)若用數(shù)字1,2,3，…分別表示A，B，C，…(字母表中的順序)，且在英文常用文章中字母“E”(即5)出現(xiàn)的概率為10.5%，則上述密碼系統(tǒng)中，其對(duì)應(yīng)的密文出現(xiàn)的概率是多少？[思路探究](1)由條件給出的信息可得16＝a3＋1，即求出a后，可解決．(2)利用明文與密文之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)合條件給出判斷．[解](1)由題意知，16＝a3＋1，解得a＝2.由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”．(2)因?yàn)槊魑呐c密文之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以其對(duì)應(yīng)密文出現(xiàn)的概率也是10.5%.密碼技術(shù)在軍事、政治、經(jīng)濟(jì)方面有著廣泛的用途.為了使密碼設(shè)計(jì)更難破譯，人們發(fā)明了許多反破譯的方法，利用隨機(jī)序列就是一種極為重要的方法，其原理是：利用取值在1到26之間的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)序列，使每個(gè)字母出現(xiàn)在密碼中的概率都相等.1．現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密碼的要求越來(lái)越高，有一種密碼把英文的明文(真實(shí)文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26個(gè)字母(不論大小寫)依次對(duì)應(yīng)1,2,3，…，26，這26個(gè)自然數(shù)，見(jiàn)表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出下列一個(gè)變換公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除.,\f(x,2)＋13，x∈N，1≤x≤26，x能被2整除.))將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→eq\f(8,2)＋13＝17，即h變成q；5→eq\f(5＋1,2)＝3，即e變成c.(1)按上述規(guī)定，將明文good譯成密文是()A．loveB．eovlC．dhhoD．ohhd(2)按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來(lái)的明文是()A．lhho B．ohhlC．love D．eovl(1)C(2)C[(1)g→7→eq\f(7＋1,2)＝4→d，o→15→eq\f(15＋1,2)＝8→h，d→4→eq\f(4,2)＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.(2)逆變換公式為x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x′－1，x′∈N，1≤x′≤13，,2x′－26，x′∈N，14≤x′≤26，))則s→19→2×19－26＝12→l，h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.]概率在社會(huì)調(diào)查問(wèn)題中的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．社會(huì)調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到他們所提問(wèn)題誠(chéng)實(shí)的回答，但是被采訪者常常不愿如實(shí)作出應(yīng)答(特別是所提問(wèn)題是敏感話題或令人為難時(shí))，這該怎么辦？[提示]1965年StanleyL．Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概率知識(shí)來(lái)消除這種不愿意情緒的方法．Warner的隨機(jī)化應(yīng)答方法要求人們隨機(jī)地回答所提兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)，而不必告訴采訪者回答的是哪個(gè)問(wèn)題．兩個(gè)問(wèn)題中有一個(gè)是敏感的或者是令人為難的；另一個(gè)問(wèn)題是無(wú)關(guān)緊要的．這樣應(yīng)答者將樂(lè)意如實(shí)地回答問(wèn)題，因?yàn)橹挥兴雷约夯卮鸬氖悄膫€(gè)問(wèn)題．2．你認(rèn)為在問(wèn)卷的設(shè)計(jì)中，除了考慮“難以啟齒”問(wèn)題外，還應(yīng)考慮哪些因素？請(qǐng)舉例說(shuō)明．[提示]例如，調(diào)查中問(wèn)題的措辭會(huì)對(duì)被調(diào)查者產(chǎn)生影響，舉例來(lái)說(shuō)，“你在多大程度上喜歡吸煙”與“你在多大程度上不喜歡吸煙”兩種問(wèn)法中，前者會(huì)比后者給出更為肯定的答案．再如，問(wèn)題在問(wèn)卷中的位置也會(huì)對(duì)調(diào)查者產(chǎn)生影響．一般地，比較容易的、不涉及個(gè)人的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)排在比較靠前的位置，較難的、涉及個(gè)人的問(wèn)題放在后面，等等．3．調(diào)查人員根據(jù)調(diào)查問(wèn)卷上的調(diào)查數(shù)據(jù)得到了我們想要的問(wèn)題答案，他們這種做法的理論依據(jù)是什么？[提示]用樣本估計(jì)總體，即用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計(jì)總體中該問(wèn)題的概率，從而為決策做出指導(dǎo)．【例2】某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題．問(wèn)題1：你的父親陽(yáng)歷生日日期是不是奇數(shù)？問(wèn)題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，這是一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子．每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸取1個(gè)球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于問(wèn)題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問(wèn)題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無(wú)顧慮地給出符合實(shí)際情況的答案．請(qǐng)問(wèn)：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估計(jì)出此地區(qū)生吸煙人數(shù)的百分比嗎？[思路探究]因?yàn)槊黾t球與白球的可能性相同，所以我們近似地認(rèn)為回答兩個(gè)問(wèn)題的人數(shù)相同，進(jìn)而再求解．[解]由題意可知，每個(gè)學(xué)生從口袋中摸出1個(gè)白球或紅球的概率都是0.5，即我們期望大約有100人回答了第一個(gè)問(wèn)題，另100人回答了第二個(gè)問(wèn)題．在摸出白球的情況下，回答父親陽(yáng)歷生日日期是奇數(shù)的概率是eq\f(186,365)≈0.51.因而在回答第一個(gè)問(wèn)題的100人中，大約有51人回答了“是”．所以我們能推出，在回答第二個(gè)問(wèn)題的100人中，大約有7人回答了“是”．即估計(jì)此地區(qū)大約有7%的生吸煙．社會(huì)調(diào)查問(wèn)題中概率的應(yīng)用1由于概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計(jì)總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率.2實(shí)際生活與生產(chǎn)中常常用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來(lái)估計(jì)某個(gè)生物種群中個(gè)別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等.2．某地政府準(zhǔn)備對(duì)當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)村產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，為此政府進(jìn)行了一次民意調(diào)查.100個(gè)人接受了調(diào)查，他們被要求在“贊成調(diào)整”“反對(duì)調(diào)整”“對(duì)這次調(diào)查不發(fā)表看法”中任選一項(xiàng)，調(diào)查結(jié)果如下表：男女合計(jì)贊成調(diào)整18927反對(duì)調(diào)整122537對(duì)這次調(diào)查不發(fā)表看法201636合計(jì)5050100隨機(jī)選取一個(gè)被調(diào)查者，他對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)或不發(fā)表看法的概率是多少？[解]用A表示事件“對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)”，B表示事件“對(duì)這次調(diào)整不發(fā)表看法”，則A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“對(duì)這次調(diào)整表示反對(duì)或不發(fā)表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36,100)＝0.73.總體估計(jì)中概率的應(yīng)用【例3】為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)谋Ｗo(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．[思路探究]利用古典概型的特征，等可能性可估計(jì)．[解]設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{帶有記號(hào)的天鵝}，則P(A)＝eq\f(200,n). ①第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝eq\f(20,150). ②由①②兩式，得eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500，所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只．用古典概型概率的觀點(diǎn)求隨機(jī)事件的概率時(shí)，首先對(duì)于在試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果的可能性認(rèn)為是相等的，其次是通過(guò)一個(gè)比值的計(jì)算來(lái)確定隨機(jī)事件的概率．3．某家具廠為某游泳比賽場(chǎng)館生產(chǎn)觀眾座椅．質(zhì)檢人員對(duì)該廠所產(chǎn)2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問(wèn)該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？[解]設(shè)有n套次品，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知eq\f(n,2500)≈eq\f(5,100)，解得n≈125.所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是對(duì)概率意義的理解．難點(diǎn)是應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題．2．本節(jié)課要掌握以下幾類問(wèn)題(1)理解概率的意義，應(yīng)用概率解決密碼破譯問(wèn)題．(2)概率在社會(huì)調(diào)查中的應(yīng)用．(3)概率知識(shí)在總體估計(jì)中的應(yīng)用．3．本節(jié)的易錯(cuò)點(diǎn)是不能正確應(yīng)用概率模型解決問(wèn)題．1．思考辨析(1)事件A發(fā)生的概率很小時(shí)，該事件為不可能事件．()(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為0.8，則10個(gè)人去治療，一定有8人能治愈．()(3)平時(shí)的多次比賽中，小明獲勝的次數(shù)比小華的高，所以這次比賽應(yīng)選小明參加．()[答案](1)×(2)×(3)√2．在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率為()A.eq\f(5,6)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)C[10～99中有90個(gè)兩位數(shù)，這些兩位數(shù)中，偶數(shù)有45個(gè)，10～99中有30個(gè)能被3整除的數(shù)，其中奇數(shù)有30÷2＝15(個(gè))，∴所求的概率為eq\f(45＋15,90)＝eq\f(2,3).]3．電腦“掃雷”游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點(diǎn)擊一下，碰到地雷的概率為_(kāi)_______．eq\f(33,160)[由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率為eq\f(99,480)＝eq\f(33,160).]4．中央電視臺(tái)“幸運(yùn)52”欄