一類二元函數(shù)最值的求法

二元函數(shù)最值的求法形如z=f(x,y)的函數(shù)我們稱之為二元函數(shù)。本文主要談?wù)剮в懈郊訔l件g(x,y)=0的二元函數(shù)最值的求法。例1已知x、y≧0，2x+y=6，求z=4x2+3xy+y2－6x－3y的最值?；舅悸罚恨D(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值求解。解析：由y=6－2x≧0及x≧0得0≦x≦3將y=6－2x代入z中得z=2x2－6x+18(0≦x≦3)∵,，∴，。例2已知x≧0、y≧0，且x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。基本思路：數(shù)形結(jié)合，利用圖象求解。解析：設(shè)x2+y2=r2，問題等價于求當以原點為圓心，r為半徑的圓與以A(1,0)、為端點的線段有交點時，r2的最大值與最小值。通過作圖（如右圖）易知，與直線AB相切的圓最小，過點A的圓最大。因此有。∴，。小結(jié)：1）已知x、y的一次式，求x、y的二次式的最值常用消元法或圖解法。例3已知x2+y2=4，求x+2y的最大、最小值?；舅悸罚喝菗Q元，利用正弦函數(shù)的有界性求解。解析：設(shè)，則x+2y?！啵醋畲笾禐?，最小值為。例4已知(x﹣3)2+y2=1，求的最大、最小值。基本思路：數(shù)形結(jié)合，利用圖象求解。解析：設(shè)P(x,y)，則由(x﹣3)2+y2=1知，點P(x,y)在以（3，0）為圓心，1為半徑的圓C上，表示圓C上的點P與原點連線的斜率，通過圖形（如右圖）易知，直線OP的斜率夾在二切線斜率之間，由計算得切線的斜率為?！啵?。小結(jié)：2）已知x、y的二次式，求x、y的一次式、分式的最值常用三角換元或圖解法。例5已知x≧1、y≧1，且，求loga(xy)的最值。解析：且。設(shè)①則②聯(lián)解①、②，問題轉(zhuǎn)化為求方程在上有解的條件。∴。∴所求最大值為，最小值為。小結(jié)：3）本例化簡為例3、例4類型后，轉(zhuǎn)化為用判別式法求含參方程在給定區(qū)間有解的條件。事實上，以上幾例均可用判別式法求解，而消元或三角換元或圖解法也普遍適用于上述題目。同學(xué)們不妨試試并完成以下練習(xí)：若x≧0、y≧0，且x+2y=1，求2x+3y2的最小值。（答案：）若x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值。（答案：5）已知實數(shù)x、y滿足求的最值。（答案：最小值，最大值）已知二元等量關(guān)系，求二元目標函數(shù)的最值——1、消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)（如017，8）（進一步已知三元等量關(guān)系，求三元函數(shù)的最值，如p112,經(jīng)典2)【消元策略在解三角形中求二元函數(shù)如sinAsinB,

sinA+sinB最值；消元策略在解析幾何中，如已知b=c,

e=1/2等可以對橢圓或直線方程進行減元，降低運算量】2、利用基本不等式，構(gòu)建目標式的不等關(guān)系（如017，8）3、換元后變?yōu)閷ΨQ方程或?qū)ΨQ目標函數(shù)（如017，8）4、利用柯西或基本不等式（如p112,經(jīng)典1）5、三角換元后（如圓和橢圓方程的等量關(guān)系），利用三角函數(shù)的有界性（復(fù)習(xí)指、對函數(shù)過定點，構(gòu)建等量關(guān)系）6、利用幾何意義，直線在y軸上的截距、斜率、2點間的距離（如017，14）【學(xué)生易錯地方是