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文檔簡介
勾股定理的驗證沙河中學數(shù)學組勾股定理:
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
a2+b2=c2b2c2a2小練習1、在直角三角形ABC中,∠C=900,已知:a=5,b=12,求c;已知:b=6,c=10,求a;已知:a=7,c=25,求b.
2、已知:△ABC,AB=AC=17,BC=16,則高AD=_,S△ABC=___兩千多年來,人們對勾股定理的證明頗感興趣。因為這個定理太貼近人們的生活實際,以致于古往今來,下至平民百姓,上至帝王總統(tǒng)都愿意探討它的證明,因此不斷涌現(xiàn)新的證法。下面我們一起學習幾種證明勾股定理的方法。趙爽的“弦圖”(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2-4×ab=a2+b2=c2可得:a2+b2-2ab=c2-2abbCa想一想:這四個直角三角形還能怎樣拼?證法一babababacccc想一想:大正方形的面積該怎樣表示?(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2
=c2證法二
在1876年一個周末的傍晚,美國華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景,他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么,時而大聲爭論,時而小聲探討.由于好奇心驅使,伽菲爾德循聲向兩個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么,只見一個小男孩正俯著身子,用樹枝在地上畫一個直角三角形,于是伽菲爾德便問,你們在干什么?只見那個小男孩頭也不抬地說:“請問先生,如果直角三角形的兩條直角邊分別是3和4,那么斜邊長為多少呢?”伽菲爾德答到:“是5呀?!毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少呢?”伽菲爾德不假思索地回答到:“那斜邊的平方,一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說道:“先生,你能說出其中的道理嗎?……”伽菲爾德一時語塞,無法解釋了,心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步,立即回家,潛心探討小男孩給他留下的難題。證法3
(a+b)(b+a)
=
a2+
a2+b2 = c2aabbcc伽菲爾德經過反復的思考與演算,終于弄清楚了其中的道理,并給出了簡潔的證明方法.1876年4月1日,伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年,伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后,人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就稱這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。∟∟∟c2+2()+ab
+b2
=
c2abab
a2+b2=c2a2b2a2c2畢達哥拉斯證法證法4:你還想知道勾股定理的其它證法嗎?
請上網查詢,你一定會有精彩的發(fā)現(xiàn)。若你再能寫一點有關勾股定理的小文章,那就更漂亮了。議一議abcbac(1)(2)
觀察右圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2.鈍角三角形和銳角三角形的三邊長都不滿足a2+b2=c2.例1、如圖是某處公路的示意圖,AB=1500米,AC=900米,AC⊥BC,如果一輛農用車以18千米/時的速度行駛,那么它從A直接到B與從A經過C到B相比較,可以節(jié)約多少時間?ABCBCA解:在Rt△ABC中,由勾股定理可得:
∴BC=1200∴AC+BC-AB=900+1200-1500=600(米)18千米/時=300米/分600÷300=2(分)∴可以節(jié)約2分鐘。9001500例2、已知△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=C已知:a=9,
b=12,求c;已知:a=15,c=17,求b;
已知:b=0
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